1、第六章 时 变 电 磁 场,2,6-1 传导电流、运流电流和位移电流 6-2 全电流定理 6-3 电磁感应定律 6-4 麦克斯韦电磁场方程组 6-5 时变电磁场中不同媒质交界面的边界条件、解的唯一性定理 6-6 电磁场能量、坡印廷矢量及能量流 6-7 电磁动态位及其微分方程,第六章 时变电磁场,本章所研究的对象，为时变电磁场。场中各物理量不仅是空间坐标的函数，而且也是时间的函数。本章将要研究统一的电磁场同时存在的两个方面随时间变动的电场与随时间变动的磁场。,3,1.传导电流 传导电流是由自由电荷在导电媒质中作有规则的运动而形成的电流。,6-1 传导电流、运流电流和位移电流,传导电流服从于欧姆定
2、律。,2.运流电流 电荷在无阻力空间的运动(或由于电场力的作用，或由于机械原因而产生)形成运流电流。,运流电流将不服从于欧姆定律。,设无阻力空间某微小区域内，存有以速度 运动的电荷体密度，在此空间作一无限小六面体。,图6-1 空间无限小六面体,(6-1),4,dt时间内穿过微小侧面积dS的电量为,微小面元dS上任一点的电流密度为,考虑到运流电流的方向沿正电荷运动方向，故空间任一点的运流电流密度,则穿过的电流为,(6-2),(6-3),(6-4),(6-5),需要注意的是，这里的 是任一点处的总的电荷密度， 是这些电荷的整体移动速度。,5,可以证明，如果把 看做导体中载流子的电荷密度， 看做载流
3、子的漂移速度，那么 也等于传导电流密度。,当有几种载流子并存时，传导电流密度可以表示为,这个规律无论是在有非电性场处（电源内部）还是无非电性场处（电源外部）都是成立的。,其中 是第i种载流子的电荷密度， 是第i种载流子的漂移速度。,6,3.极化电流 处于电介质中的电场，在其变动过程中，电介质的极化强度将发生变化，从而引起电偶极子正、负电荷的振荡，于是会形成一种电流，这种电流叫做极化电流。极化电流由束缚电荷的振荡形成，而非自由电荷的运动形成。由于这种电流是束缚电荷发生微观位移的结果，因而称之为位移电流。,可以证明，极化电流密度 。可见，只要极化强度随时间变化，就会有极化电流。极化电流也具有磁效应
4、。,极化电流概念及其密度公式是由麦克斯韦建立的。,7,图6-2 电源以传导 电流形式给导体供电,4.真空位移电流 为了把安培环路定理修正为在非稳恒情形也成立的规律，需要寻找连续流，即流过任意闭合曲面的代数量等于零的电流。,考虑如图6-2所示的两个导体，其间具有电容，现把它们连接到带有开关的直流电源上。,在开关闭合的瞬间，电源将向两导体电容系统充电，导体所带的自由电量q系由电源以传导电流的形式供给。根据电荷守恒定律，流入闭合曲面S内的传导电流等于导体上自由电量随时间的增加率，即,8,为了构造连续流，麦克斯韦假定，高斯定理在一般情 形仍然成立。所以，,(6-7),(6-6),（6-7）式两边对时间
5、求导数，得,(6-7*),由（6-6）和（6-7*）式，得,9,可见， 和 构成连续流。 叫做位移电流密度，用 表示。,(6-9),(6-8),由于 ，所以位移电流密度,其中 就是极化电流密度。,故,10,(6-10),电介质内可以有极化电流，导体内也可以有极化电流，但真空中没有极化电流。,叫做真空位移电流密度。 真空位移电流同样显示出 磁效应。,真空位移电流和极化电流 统称为位移电流。,图6-2 电源以传导 电流形式给导体供电,在图（6-2）所示的情况下，传导电流和位移电流构成连续流。,11,例6-1 空间某点的电位移矢量依照 的规律变化。求该点的位移电流密度表达式。解 按位移电流密度 ，故
6、空间任一点的位移电流密度为,例6-2 雷云放电以前，与地面感应电荷形成一均匀电场，设此均匀电场的电场强度为5000V/cm，若雷云放电时间为1s，求放电时此区域内位移电流密度之值。解 由于雷云放电时间为1s，故电场强度(由5000V /cm降为零)的变化率的绝对值,12,例6-3 点电荷q沿半径为R的圆周以角速度转动。写出其在圆心处位移电流密表达式。解 此点电荷转动过程中，其在圆心所产生的电位移矢量为,图6-4 例6-3图,式中： 为随时间变化的矢量。 的模不变，其方向随时间而变。由位移电流密度表达式，得,其中 为圆的切向单位矢量，指向角度增大的一侧。,13,6-2 全电流定理,在空间绕任意导
7、体作任意闭合曲面S，此时若有电源以传导电流形式向该导体充电，同时有自由体积电荷进入该闭合曲面，那么根据电荷守恒定律，穿入曲面S的传导电流与运流电流应等于曲面S内自由电量q随时间的增加率,图6-5 全电流示意,全电流连续性原理,或,(6-12),(6-11),此时穿出曲面S的位移电流则为,(6-13),14,由于,(6-14),(6-15),所以,故,或,其中 叫做全电流密度。 是非电性场强度。,（6-15）式叫做积分形式的全电流连续性原理。,15,穿过不闭合的曲面S的全电流,全电流连续性原理表明：在时变场中，全电流密度矢量线无源，它们是永远闭合的，具体地说即在传导电流中断处，必有运流电流、或位
8、移电流接续。,微分形式的全电流连续性原理为,(6-16),需要注意的是， 虽然被叫做全电流密度，但是其中并未包含磁化电流密度 。,16,全电流定理 磁介质中的安培环路定理是表征恒定磁场的基本方程之一，它的积分形式为 ，其中I是流过回路l所围曲面的传导电流。 只要传导电流连续，安培环路定理必定成立。在时变场中，由于传导电流不一定处处连续，安培环路定理就失去了存在的前提。但是如果把闭合回路所交链的电流的概念加以拓广，把它理解为全电流，即有,(6-17),上式称之为全电流定理，或者叫做全电流的安培环路定理。它说明，磁场强度沿任意闭合有向曲线的线积分，等于穿过该有向曲线所界定的曲面的全电流。该式又称为
9、麦克斯韦第一积分方程。,17,如果计及磁化电流，那么（6-17）式变成,（6-17）式还可以表示为,(6-17*),或者,(6-17*),(6-17*),提出位移电流概念，从而把安培环路定理修正为在普遍情形下成立的规律，是麦克斯韦在电磁理论方面的第一大理论成就。,18,由斯托克斯定理，有,式(6-19)即为麦克斯韦第一微分方程。麦克斯韦第一方程表明，不仅运动电荷将产生涡旋磁场，变动的电场也将产生变动的涡旋磁场。它说明电与磁二者间的关系，因而麦克斯韦第一方程是描述时变电磁场中不同的两个方面电场与磁场关系的方程之一，它是解决时变电磁场问题的一个基本依据。,(6-18),于是,(6-19),19,电
10、磁感应定律 经过法拉第、楞茨的实验探索和纽蒙、韦伯理论研究，总结出导体回路内所产生的电动势，等于回路交链磁通的变化率的负值，即表达式中的负号说明，导体回路内变化磁通产生的电动势，总是企图产生这样的感应电流，使感应电流所产生的磁通，去抵消或者补偿引起感应电动势的磁通量的变化。或者使感应电流激发的磁场，去反抗引起感应电动势的原因。,6-3 电磁感应定律,例如当线圈回路的正向磁通增长时 ，感生电动势 。感应电流的方向使它激发的磁场穿过回路的磁通去抵消引起感应电动势的磁通量的增加。,(6-20),20,图6-6 磁通与电动势的正方向,图6-7 感生电动势的实际方向,这表明线圈回路所产生的感应电动势，其
11、真实方向与线圈回路电动势的正方向相反。,21,麦克斯韦第二方程 静电场和恒定电场是位场，位场中电场力作功与路径无关，位电场强度沿回路的线积分等于零。当场域中存在非位电场时，总电场强度的环路积分并不为零，而等于非位电场强度 的环路积分非位电场即是其它形式能量转换为电场能量的场所。,麦克斯韦认为，处在变化磁场中的不动的导体回路中产生的感应电动势（即感生电动势），就等于有旋电场强度在导体回路中的环量，即,(6-21),位电场又叫做库仑场。非位电场是由变化的磁场激发的，它又叫做涡旋电场（或有旋电场）。涡旋电场这一概念是由麦克斯韦提出来的。,22,所以，,(6-22),根据电磁感应定律，导体回路中的感生
12、电动势,(6-23),(6-24),麦克斯韦认为，即使这个不动的回路不是由导体材料构成，而是由电介质构成，或者干脆就是一个假想的几何回路，只要它处在变化的磁场中，其中就有可能产生感生电动势，电磁感应定律对它仍然成立。和导体回路的差别仅仅是其中没有感生电流。所以(6-24)式对不动的假想回路依然成立。,23,把上述原理运用于电路理论中，可以导出基尔霍夫第二定律。,另外，(6-24)式涉及的是电场强度沿回路的线积分，以及磁感应强度随时间的减少率穿过回路所围曲面的通量，所以，即使假想的回路相对于我们在其中测量磁场和电场的参考系作运动，(6-24)对它仍然成立。,(6-24),(6-24)式叫做麦克斯
13、韦第二积分方程。提出涡旋电场概念，并且把电磁感应定律改写成(6-24)式，是麦克斯韦在电磁理论方面的第二大理论成就。,24,对电磁感应定律的补充说明：,右边第一项是由于磁场变化而产生的感应电动势，叫做感生电动势；第二项是由于导体回路运动而产生的感应电动势，叫做动生电动势。,对于运动的回路l所围的曲面S，穿过它的磁通随时间的变化率,所以，对于在变化的磁场中运动的导体回路，其中的感应电动势,其中的 是回路上的线元 的运动速度。,25,根据斯托克斯公式，故得 此即麦克斯韦第二微分方程，或称为微分形式电磁感应定律。麦克斯韦第一方程阐明了变动的电场产生变动的磁场，而麦克斯韦第二方程则阐明了变动的磁场产生
14、变动的电场。因而麦克斯韦第一与第二方程从不同的方面揭示了时变电磁场中电场与磁场之间的相互联系。变动的电场将在空间产生变动的磁场，而变动的磁场又将在空间产生变动的电场，麦克斯韦就是根据这一结论，预见了电磁波的存在。,麦克斯韦第一、第二方程是我们解决时变电磁场问题的基本依据。,(6-25),(6-26),26,例6-4 设空间磁场的磁感应强度 垂直于磁场的平面上，有一形状如数字8的闭合回路，图中斜线区域的面积分别为 求闭合线路中的感生电动势。 解 如图6-8所示，穿过面积 与 的磁通分别为,图6-8 例6-4图,由于上述两磁通在闭合线路中的感生电动势方向相反，取闭合回路感生电动势e的正方向同e1的
15、正方向一致，则,27,例6-5 均匀磁场内，磁通密度B=Bmcost。设磁场内有一面积为S的平面线圈回路，t=0时其初始位置于=0处。当线圈按角速度1转动时，求此平面回路中所产生的感应电动势。,图6-9 例6-5图,解 如图6-9，穿过平面回路所界定的面积S的磁通,回路中感应的电动势为,28,将前几节中所导得的公式稍加汇总，加上媒质的特性方程(或称为辅助方程) ，就可得到时变电磁场的一组完整的方程式。即为麦克斯韦方程组或电磁场的完整方程组。 ,6-4 麦克斯韦电磁场方程组,(6-30),(6-29),(6-28),(6-27),(6-33),(6-32),(6-31),29,麦克斯韦第一及第二
16、方程描述着统一电磁场两个矛盾着的方面电场与磁场相互依存(一方存在必以它方存在为前提)、相互制约(数量上、方向上以及变化规律上是相互约制的)而又相互转化(变动电场转化为变动磁场，变动磁场转化为变动电场)。,式(6-29)说明统一的电磁场的两个方面之一磁场本身所具有的另一规律无散度，亦即磁场不可能为单极磁荷所激发。,式(6-30)说明统一电磁场的另一方面电场本身所具有的另一规律有散度，亦即电场可以由点源电荷所激发。,式(6-31)、式(6-32)及式(6-33)说明统一的电磁场与其所处空间媒质的关系。,30,将麦克斯韦方程组的积分方程式分别应用于场的不同媒质交界面，即可得到时变电磁场的边值关系。不
17、同电介质交界面的边值关系 省略导出边值关系的过程，此时边值关系为,6-5 时变电磁场中不同媒质交界面的边值关系、解的唯一性定理,(6-34),(6-35),(6-36),(6-37),31,导体表面介质中有,图6-11 理想导体表面的电场,电介质与理想导体交界面的边值关系 由于电磁波不能透入理想导体内部，故导体内将不存在电场与磁场，亦即 。,32,沿导体表面无运流电流，亦无位移电流沿导体表面流动，得 。此处 表示垂直流过单位长度上的面电流值。,图6-12 介质与理想导体 交界面的磁场,最后将磁通连续性原理的积分表达式运用于场的边界，则得 。 小结：介质与理想导体交界面处的边界条件为,（6-41
18、）,（6-40）,（6-39）,（6-38）,33,解的唯一性定理 时变电磁场的求解问题，同样是一个求解偏微分方程满足定解条件的解的问题，是一个既有初始条件又有边界条件的定解问题，或称为混合问题。,时变电磁场同样存在着唯一性定理，所求定解问题满足下述条件的解具有唯一性，其具体内容如下：设被边界所界定的场域中，若已知：1. t=0时，场域中每点电场强度E的初始值与磁场 强度H的初始值； 2. 当t0的所有时间内，边界面上电场强度的切线分量Et或者磁场强度的切线分量Ht。则麦克斯韦电磁场方程组具有唯一确定解。亦即时变电磁场的解，由电磁场初始值，及t0时边界上的电场强度切线分量或者磁场强度切线分量所
19、唯一确定。,34,电磁场能量 在时变电磁场中，电场与磁场同时存在，因此任何一瞬间，空间任一点的电磁能量密度应为此时电场能量密度与磁场能量密度之和，即,6-6 电磁场能量、坡印廷矢量及能量流,这是麦克斯韦由逻辑推理所得的假设之一，至今尚无直接实验证明，不过建立在此假设之上的许多理论，却为实践所证实。时变电磁场中场量是随时间而变动的，场的能量状态亦是随时间而变动的。,对于线性媒质,(6-43),35,坡印廷矢量及能量流 时变电磁场中，由于电场与磁场的不断变化，并由空间一点传递到另一点，因而形成传播于空间携带着电磁能量的电磁波，无论是电讯系统或电力系统，它们的功率传输过程都是电磁能量在空间的传播过程
20、。下面研究电源外部的电磁场：设空间某点的电磁能量密度为,则该点电磁能量密度随时间的变化率为,(6-44),(6-45),(6-46),36,该点所在处单位体积内电场用以增加运流电流体电荷的动能所供给的功率,该点电磁能量密度随时间的增加率,该点所在处单位体积内传导电流引起的焦尔热损耗功率,所以等式左端代表该点电磁场能量密度随时间的增加率以及单位体积内电磁场能量耗散功率之和。,37,(6-49),两边求体积分，得,(6-50),对,根据高斯公式，（6-49）式右边的,所以,38,图6-13 穿出闭合曲面的坡印廷矢量图,即为单位时间内穿入闭 合曲面S的电磁能量,为单位时间内穿出闭 合曲面S的电磁能量
21、,（6-50）式左端是体积V内电磁场能量随时间的增加率以及电磁场能量的耗散功率之和。由于体积V内没有电源可以提供电磁能量，根据能量守恒定律，V中单位时间内增加的电磁能与损耗的电磁能的总和，应等于单位时间内穿过V的边界面S流入V中的电磁场能量。 所以,(6-50),39,它的大小等于单位时间内垂直穿过单位面积的电磁能量，方向沿着电磁能量传输的方向。显然， 垂直于 和 所组成的平面。 的单位为瓦特每平方米(W/m2)。,坡印矢量描述了电磁能在空间传播的规律：无论是电力传输或电讯传输，都必须是通过空间电磁场来实现能量传送的。,图6-14坡印廷矢量的确定,单位时间内流过曲面S的电磁能量等于,所以电磁能
22、流密度矢量（坡印廷矢量）为,40,忽略导线的电阻和电阻压降，设双输电线所加电压为u，流过的电流为i。设两根导线之间的距离远远大于导线的半径，那么电轴对于导线几何轴线的偏离可,图6-15 两平行输电线的电场和磁场内穿过面元dS的能量,平行双输电线的功率传输,以忽略。于是，在两轴线的垂面内，到两轴线的距离的比值为常数的点既组成磁感线，也组成等位线。它们都是两簇偏心圆。因为电场线与等位线处处正交，而磁感线与等位线重合，所以此时电场线与磁感线处处正交，将空间划分为无数正交网孔。,41,图6-15 两平行输电线的电场和磁场内穿过面元dS的能量,取任一网孔k，令其沿电场线方向的边长为dn，沿磁感线方向的边
23、长为dm。网孔的面积为dS=(dndm)。单位时间内穿过此面元dS的电磁能量,(6-52),(6-53),由于两根磁感线（亦即两根等位线）之间的电位差是一样的,Edn是两根磁感线之间的电位差,能流密度矢量垂直纸面向里,传输功率,42,在以上的推导过程中忽略了导线的电压降。如果考虑导线电压降，取电场强度E的轴线分量Ez进行计算，知道电磁能量还会渗漏进导线中。,图6-16 两平行输电线电场,可见，输电线所传输的能量，并非由导线内部传送，而是通过线外的空间，以电磁波的方式（稳恒情形是恒定能量流的形式）传播的，此时传输线仅起引导作用。,43,电磁矢量动态位的达朗贝尔方程 在时变电磁场中，可引入电磁矢量
24、动态位 ，并定义,具有多值性， 可附加任意标量场的梯度而不影响 的单值性。,(6-55),(6-56),(6-57),(6-58),(6-59),6-7 电磁动态位及其微分方程,称之为电磁标量动态位，简称为电磁标量位。,44,若空间媒质为线性时，在不考虑运流电流的情况下，引用麦克斯韦第一方程，则有,当媒质均匀时,(6-60),(6-61),由矢量公式,(6-63),(6-62),45,对于所引入的 场，给其散度 以一约束条件，这一约束条件的选择当然应使求解的方程简化，并能单值地确定电磁矢量位与电磁标量位。这一约束条件可以选择洛伦兹条件，即,上式即为电磁矢量位应满足的达朗贝尔方程。,(6-64)
25、,(6-65),当空间不存在传导电流时，则得电磁矢量位所满足的波动方程，即,(6-66),其中的,于是,46,且 ,由于 ,电磁标量位的达朗贝尔方程 在媒质为均匀时，运用麦克斯韦方程组中电位移矢量的散度方程，并考虑洛伦兹约束条件可得电磁标量位的达朗贝尔方程。,上式即为电磁标量位所应满足的达朗贝尔方程。,(6-67),(6-68),(6-69),(6-70),故,即,(6-71),考虑洛伦兹条件,得,47,当空间不存在自由体电荷密度时，则得电磁标量位所满足的波动方程(6-72) 时变电磁场边值问题的求解，可从求解达朗贝尔方程着手。实际问题中，由于空间传导电流并不存在，因此通常需要求解的只是波动方
26、程。,48,滞后位 波动方程解的形式如何，它与静态场的解究竟有什么不同之处？设均匀媒质空间，有一点电荷q，其量值随时间t变化。在此情况下，对于场源以外空间各点，均满足波动方程。在选择球面坐标情况下，电磁标量位波动方程具有如下形式：,由于场量以电荷所在点为中心而具有球面对称关系，因而场量仅为半径r和t的函数，所以上式变成,49,(6-74),(6-73),上述表达式与电路中无损耗均匀输电线方程相似，比照无损耗均匀输电线方程的解，上式的解有如下形式：,(6-75),(6-76),也可写成,故,50,可见电磁标量位是一个由入射波(直波)分量与反射波(回波)分量所组成的具有波动性质的量。入射波分量由点
27、电荷源沿半径方向四周发散，而反射波分量则由四周沿半径相反方向向点电荷源汇集。任何一个分量的波阵面都是一个球面，因此称这种波为球面波。,在无限大均匀媒质空间，由于此时无反射波存在，故有,(6-77),将上式变形，则,(6-78), 电磁动态位方程的特例，即电磁矢量位、电磁标量位将满足各自的静态方程 。也就是说恒定磁场与静电场不过是时变电磁场在场源不随时间变化情况下的特例。,51,此函数 称为电磁标量滞后位，它说明：空间任一点的电磁标量位的变化，较之引起此变化的点源电荷的变化，要滞后一个传播时间r/v。亦即经过时间r/v，场点才感受到场源发生的变化。,将此式与式(6-78)比较，可见 应具有与相同
28、的量纲，因而式(6-78)应为,(6-79),(6-80),若场源点电荷值q不随时间变化，则,52,当电荷在某体积作体密度分布时，源点 处的体元 中的电荷在 时刻的值对场点 处的标量位在 时刻的值有贡献。其中 是源点到场点的距离。所以,根据叠加原理，有,(6-81),上式即为电磁标量位所满足的达朗贝尔方程,的解。由于标量位在时间上由推迟效应，所以这种位函数叫做滞后位或者推迟位。,53,下面来考虑电磁矢量位的达朗贝尔方程,的求解。该方程的分量方程是,也可写成,其中i=1、2、3，分别代表x、y、z。,与标量位的达朗贝尔方程,(6-65),(6-82),(6-83),54,以及它的解,比较，知道方
29、程(6-83)的解是，,即,(6-84),故矢量位的达朗贝尔方程的解是,(6-85),55,如果电流作线分布，则,(6-86),根据叠加原理，反过来可以写出电流元激发的矢量位元,(6-87),(6-88),矢量位也有滞后效应，因此也叫做滞后位。至此我们知道，电磁作用以有限速率v传播， 。,56,迅变场、缓变场及似稳条件 空间各点场量的相位滞后不仅与空间各点至场源的距离有关，而且与场源的交变频率有关。在均匀输电线理论中，当频率为50Hz时，一个波的波长是6000km，即相距一个波长6000km的两点，其相移(相位差)为2 rad(弧度)。若频率为100Hz时，则波长为3000km，此时相距3000km的两点其相移亦为2 rad。倘若频率为1MHz时，则相距仅0.3m的两点其相移亦为2 rad。空间两点的相移将随频率而变化。根据频率与空间各点至场源的距离，将场域划分为缓变区与迅变区。,57,计算表明，在R的区域称为远区或迅变区。 工频(50Hz)电磁场即是似稳场。似稳场的电磁辐射能量极小，一般问题中可以不加考虑。而迅变电磁场能辐射强劲的电磁能。因而无线通讯中采用高频发射。,58,例6-6 距辐射偶极子很远的球面行波的磁场强度 ，电场强度 ，求这一时刻该点处的电场及磁场的能量密度，以及能流密度。,解,
