1、20142018年全国中考题组 考点一 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 (2017上海,17,4分)如图,已知RtABC中,C=90,AC=3,BC=4.分别以点A、B为圆心画圆,如果 点C在A内,点B在A外,且B与A内切,那么B的半径长r的取值范围是 .,五年中考,答案 8r10,解析 C=90,AC=3,BC=4,AB=5. A与B内切,且点B在A外, r-rA=AB,r=5+rA. 3rA5,8r10.,解题关键 明确两圆内切时,两圆半径与圆心距的关系.,1.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50, 则BOD等于 ( )A.
2、40 B.50 C.60 D.80,考点二 切线的判定与性质,答案 D 由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180 及ACB=50可得 BAC=40,由OA=OD得ODA=BAC=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和可得BOD=ODA+OAD=80.,2.(2018重庆,9,4分)如图,已知AB是O的直径,点P在BA的延长线上,PD与O相切于点D,过点 B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若O的半径为4,BC=6,则PA的长为 ( )A.4 B.2 C.3 D.2.5,答案 A 连接DO,PD与O相切于点D,PDO=90.BCPC,PCB=90,DO BC
3、,PODPBC, = , = ,PA=4,故选A.,思路分析 利用切线的性质得出PDO=90,再利用相似三角形的判定和性质求出结果.,3.(2017吉林,6,2分)如图,直线l是O的切线,A为切点,B为直线l上一点,连接OB交O于点C.若 AB=12,OA=5,则BC的长为 ( )A.5 B.6 C.7 D.8,答案 D 因为AB是圆O的切线,所以OAAB,由勾股定理可得,OB=13,又因为OC=5,所以BC= OB-OC=13-5=8,故选D.,4.(2015重庆,9,4分)如图,AB是O的直径,点C在O上,AE是O的切线,A为切点,连接BC并延 长交AE于点D.若AOC=80,则ADB的度
4、数为 ( )A.40 B.50 C.60 D.20,答案 B AE是O的切线,BAE=90,B= AOC=40,ADB=90-B=50,故 选B.,5.(2018内蒙古包头,17,3分)如图,AB是O的直径,点C在O上,过点C的切线与BA的延长线交 于点D,点E在 上(不与点B,C重合),连接BE,CE.若D=40,则BEC= 度.,答案 115,解析 如图,连接OC,AC,CD是O的切线,DCO=90, 1=90-D=50. OA=OC,2= (180-1)=65. BEC=180-2=180-65=115.,6.(2016黑龙江哈尔滨,18,3分)如图,AB为O的直径,直线l与O相切于点C
5、,ADl,垂足为D, AD交O于点E,连接OC、BE.若AE=6,OA=5,则线段DC的长为 .,答案 4,解析 设OC与BE相交于点F,AB是O的直径,AEB=90,AO=5,AB=10.在RtAEB 中,AE=6,BE= =8.直线l是O的切线,OCCD,又ADCD,AEEB,四边 形CDEF为矩形,DC=EF= BE=4.,7.(2015辽宁沈阳,11,4分)如图,在ABC中,AB=AC,B=30,以点A为圆心,以3 cm为半径作A, 当AB= cm时,BC与A相切.,答案 6,解析 作ADBC于点D.当BC与A相切时,AD=3 cm. 在RtABD中,AD=3 cm,B=30,AB=
6、=6 cm. 当AB=6 cm时,BC与A相切.,8.(2018辽宁沈阳,22,10分)如图,BE是O的直径,点A和点D是O上的两点,过点A作O的切 线交BE延长线于点C. (1)若ADE=25,求C的度数; (2)若AB=AC,CE=2,求O半径的长.,解析 (1)连接OA,AC为O的切线,OA是O的半径, OAAC, OAC=90, ADE=25, AOE=2ADE=50, C=90-AOE=90-50=40. (2)AB=AC, B=C, = ,AOC=2B,AOC=2C, OAC=90,AOC+C=90, 3C=90,C=30, OAC=90, OA= OC, 设O的半径为r, CE=
7、2, r= (r+2), r=2, O的半径为2.,9.(2018天津,21,10分)已知AB是O的直径,弦CD与AB相交,BAC=38. (1)如图,若D为 的中点,求ABC和ABD的大小; (2)如图,过点D作O的切线,与AB的延长线交于点P,若DPAC,求OCD的大小.,解析 (1)AB是O的直径, ACB=90. BAC+ABC=90. 又BAC=38, ABC=90-38=52. 由D为 的中点,得 = . ACD=BCD= ACB=45. ABD=ACD=45. (2)如图,连接OD.,DP切O于点D, ODDP,即ODP=90. 由DPAC,又BAC=38, P=BAC=38.
8、AOD是ODP的外角, AOD=ODP+P=128. ACD= AOD=64. 又OA=OC,得ACO=BAC=38. OCD=ACD-ACO=64-38=26.,10.(2018湖北武汉,21,8分)如图,PA是O的切线,A是切点,AC是直径,AB是弦,连接PB、PC,PC 交AB于点E,且PA=PB. (1)求证:PB是O的切线; (2)若APC=3BPC,求 的值.,解析 (1)证法一:连接OP,OB. 在OAP和OBP中, OAPOBP, OAP=OBP, PA是O的切线,OBP=OAP=90, PB是O的切线. 证法二:连接OB. PA是O的切线,PAO=90. OA=OB,PA=P
9、B, OAB=OBA,PAB=PBA. PBO=PAO=90, PB是O的切线. (2)连接BC,设OP交AB于点F,AC是O的直径,ABC=90. PA,PB是O的切线, PO垂直平分AB,PO平分APB, BCPO, OPC=PCB. APC=3BPC, OPC=BPC,PCB=BPC, BC=BP. 设OF=t,则BC=BP=2t, 由PBFPOB,得PB2=PFPO, 即(2t)2=PF(PF+t). 解得PF= t(取正值).PFECBE, = = .,11.(2018陕西,23,8分)如图,在RtABC中,ACB=90,以斜边AB上的中线CD为直径作O,分 别与AC、BC相交于点M
10、,N. (1)过点N作O的切线NE与AB相交于点E,求证:NEAB; (2)连接MD,求证:MD=NB.,解析 (1)连接ON,则OC=ON. DCB=ONC. 在RtABC中,D为斜边AB的中点, CD=DB, DCB=B, ONC=B, ONAB. (2分) NE是O的切线, NEON, NEAB. (4分) (2)连接ND,则CND=CMD=90. ACB=90, 四边形CMDN是矩形, (6分) MD=CN.,由(1)知,CD=BD, CN=NB, MD=NB. (8分),12.(2017陕西,23,8分)如图,已知O的半径为5,PA是O的一条切线,切点为A,连接PO并延长, 交O于点
11、B,过点A作ACPB交O于点C、交PB于点D,连接BC.当P=30时, (1)求弦AC的长; (2)求证:BCPA.,解析 (1)连接OA.PA是O的切线,切点为A, PAO=90, P=30, AOD=60. ACPB,PB过圆心, AD=DC. 在RtODA中,AD=OAsin 60= . AC=2AD=5 . (2)证明:ACPB,P=30,PAC=60. AOP=60, BOA=120, BCA=60, PAC=BCA. BCPA.,13.(2017江西,21,9分)如图1,O的直径AB=12,P是弦BC上一动点(与点B,C不重合),ABC=30 ,过点P作PDOP交O于点D. (1)
12、如图2,当PDAB时,求PD的长; (2)如图3,当 = 时,延长AB至点E,使BE= AB,连接DE. 求证:DE是O的切线; 求PC的长.,解析 (1)如图a,连接OD.图a OPPD,PDAB, POB=90. (1分) O的直径AB=12, OB=OD=6. 在RtPOB中,PBO=30, OP=OBtan 30=6 =2 . (2分) 在RtPOD中, PD= = =2 . (3分) (2)证明:如图b,连接OD,交CB于点F,连接BD,图b = , DBC=ABC=30, ABD=60. OB=OD,OBD是等边三角形, ODBF,OF=FD. (4分) BE= AB, OB=BE
13、, BFED, (5分) ODE=OFB=90,即ODDE, 又OD为O的半径,DE是O的切线. (6分) 由知,ODBC, CF=FB=OBcos 30=6 =3 . (7分) 在RtPOD中,OF=DF, PF= OD=3, (8分) PC=CF-PF=3 -3. (9分),14.(2017四川成都,20,10分)如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径作圆O,分别交BC于点D,交 CA的延长线于点E,过点D作DHAC于点H,连接DE交线段OA于点F. (1)求证:DH是圆O的切线; (2)若A为EH的中点,求 的值; (3)若EA=EF=1,求圆O的半径.,解析 (1)证明:连接OD,
14、AD.AB是O的直径,ADB=90, 在ABC中,AB=AC,ADBC, D为BC的中点, 在ABC中,O为AB的中点,D为BC的中点, ODAC且OD= AC, ODH=CHD=90, OD为圆O的半径, DH是圆O的切线. (2)在O中,E=B,在ABC中,AB=AC,C=B,C=E, CDE为等腰三角形, 又DHEC,EH=CH, 设EA=x(x0), 点A为EH的中点,AH=x,HC=2x, 由(1)知OD= AC= x,ODAC, FAEFOD, = = = . (3)EA=EF,EFA=EAF, 又EFA=BFD,BDF=EAF, BFD=BDF, BDF是等腰三角形. ODAC,
15、EAF=DOF,又EAF=EFA=OFD, DOF=OFD, FOD为等腰三角形. 设FD=OD=r,BD=BF=DC=DE=FD+1=r+1, 又BF=r+OF,OF=1, 在FOD与FDB中,OFD=FOD=FDB, FODFDB, FD2=FOFB, 即r2=1(1+r), 解得r= , O的半径为 .,考点三 圆的外切三角形、外切正多边形 (2017湖北武汉,9,3分)已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为 ( ) A. B. C. D.2,答案 C 如图,AB=7,BC=5,AC=8.过点A作ADBC于点D, 设BD=x,则CD=5-x. 由勾股定理得AB2-BD
16、2=AD2,AC2-CD2=AD2, 则72-x2=82-(5-x)2, 解得x=1, AD=4 . 设ABC的内切圆的半径为r, 则有 (5+7+8)r= 54 , 解得r= . 故选C.,考点一 点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系 (2015江苏连云港,24,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y= x-2 与x轴、y轴分别交 于A、B两点,P是直线AB上一动点,P的半径为1. (1)判断原点O与P的位置关系,并说明理由; (2)当P过点B时,求P被y轴所截得的劣弧的长; (3)当P与x轴相切时,求出切点的坐标.,教师专用题组,解析 (1)由直线AB的函数关系式y= x-2 ,得直
17、线AB与两坐标轴的交点:A(2,0),B(0,-2 ). 在直角OAB中,tanOBA= = ,OBA=30.如图1,过点O作OHAB交AB于点H.在OBA中,OH=OBsinOBA= .图1 因为 1,所以原点O在P外. (3分) (2)如图2,当P过点B,点P在y轴右侧时,P被y轴所截得的劣弧所对圆心角为120,所以该劣 弧长为 = . 同理,当P过点B,点P在y轴左侧时,劣弧长同样为 . 所以当P过点B时,P被y轴所截得的劣弧长为 . (6分),图2 (3)如图3,当P与x轴相切,且位于x轴下方时,设切点为D,连接DP,图3 在直角DAP中,AD=DPtanDPA=1tan 30= .
18、此时D点坐标为 . (8分),当P与x轴相切,且位于x轴上方时,根据对称性可以求出切点坐标为 . (10分),1.(2015江苏南京,6,2分)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=5,AD、AB、BC分别与O相切于E、 F、G三点,过点D作O的切线交BC于点M,切点为N,则DM的长为 ( )A. B. C. D.2,考点二 切线的判定与性质,答案 A 在矩形ABCD中,O分别与边AD、AB、BC相切,又DM为O的切线,所以由切线 长定理得AE=AF=BF=BG,DE=DN,MN=MG,且易知BG=2,DN=3,设MN=MG=x,在RtDCM中, DM2=MC2+DC2,即(3+x)2=(3
19、-x)2+42,解得x= ,则DM=3+ = .故选A.,2.(2018山西,15,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=8,点D是AB的中点,以CD为直径 作O,O分别与AC,BC交于点E,F,过点F作O的切线FG,交AB于点G,则FG的长为 .,答案,解析 如图,连接OF.FG为O的切线,OFFG. RtABC中,D为AB中点, CD=BD,DCB=B. OC=OF,OCF=OFC,CFO=B, OFBD,ABFG. O为CD的中点,F为BC的中点,CF=BF= BC=4. RtABC中,AB= =10, sinB= = , 在RtBGF中,FG=BFsinB=4 =
20、.,3.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若点D是AB的中点, 则DOE= .,答案 60,解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D 是AB的中点,BD= AB= BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边 形ADOE中,DOE=360-90-90-120=60.,4.(2015江苏镇江,10,2分)如图,AB是O的直径,OA=1,AC是O的弦,过点C的切线交AB的延长 线于点D.若BD= -1,则ACD= .,答案 112.5,解析 连接OC,因为DC是O的切线,所以O
21、CCD.因为OC=OB=OA=1,OD=OB+BD= ,所 以DC= =1,所以OC=CD,所以COD=45,所以ACO=OAC= COD=22.5,所 以ACD=22.5+90=112.5.,5.(2015浙江宁波,17,4分)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=12,过A,D两点的O与BC边相切于 点E,则O的半径为 .,答案,解析 连接EO并延长,交AD于点H,连接AO.四边形ABCD是矩形,O与BC边相切于点E, EHBC, ADBC,EHAD. 根据垂径定理,得AH=DH. AB=8,AD=12,AH=6,HE=8. 设O的半径为r,则AO=r,OH=8-r. 在RtOAH中,由
22、勾股定理得(8-r)2+62=r2,解得r= . O的半径为 .,6.(2018四川成都,20,10分)如图,在RtABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,O为AB上一 点,经过点A,D的O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G. (1)求证:BC是O的切线; (2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长; (3)若BE=8,sin B= ,求DG的长.,解析 (1)如图,连接OD. AD为BAC的平分线,BAD=CAD, OA=OD,ODA=OAD,ODA=CAD,ODAC. 又C=90,ODC=90,ODBC,BC是O的切线. (2)连接DF. 由(1
23、)可知,BC为O的切线. FDC=DAF,CDA=CFD,AFD=ADB, 又BAD=DAF,ABDADF, = ,AD2=ABAF,AD2=xy,AD= .,(3)连接EF. 在RtBOD中,sin B= = , 设圆的半径为r, = ,r=5,AE=10,AB=18. AE是直径,AFE=90,又C=90, EFBC,AEF=B,sinAEF= = , AF=AEsinAEF=10 = , AFOD, = = = ,DG= AD, AD= = = , DG= = .,7.(2018内蒙古呼和浩特,24,10分)如图,已知BCAC,圆心O在AC上,点M与点C分别是AC与O 的交点,点D是MB
24、与O的交点,点P是AD延长线与BC的交点,且 = . (1)求证:PD是O的切线; (2)若AD=12,AM=MC,求 的值.,解析 (1)证明:连接OD、OP, = ,A=A, ADMAPO, ADM=APO, MDPO,1=4,2=3, OD=OM,3=4, 1=2,又OP=OP,OD=OC, ODPOCP,ODP=OCP,BCAC,OCP=90, ODP=90,ODAP, 又OD为半径,PD是O的切线. (2)由(1)知PC=PD,连接CD, AM=MC,AM=2MO=2R(R为O的半径). 在RtAOD中,OD2+AD2=OA2, R2+122=9R2,R=3 . OD=3 ,MC=6
25、 , = = , AP=18,DP=6. 又MDPO,O是MC的中点, = = , 点P是BC的中点, BP=CP=DP=6,又MC是O的直径, BDC=CDM=90, 在RtBCM中, BC=2DP=12,MC=6 , BM=6 . 易知BCMCDM, = ,即 = . MD=2 , = = .,8.(2018江西,20,8分)如图,在ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切 于点C,过点A作ADBO交BO的延长线于点D,且AOD=BAD. (1)求证:AB为O的切线; (2)若BC=6,tanABC= ,求AD的长.,解析 (1)证明:过点O作OEAB于点E,即O
26、EB=90. BC切O于点C,OCB=OEB=90. ADBD,ADB=90. AOD=BOC,CBD=OAD. D=90,AOD=BAD, OAD=ABD,ABD=CBO. OE=OC. AB为O的切线. (2)BC=6,tanABC= ,ACB=90, AC=BCtanABC=8. AB= =10. AB与BC均为O的切线, BE=BC=6.AE=AB-BE=10-6=4. 设OC=OE=x,则在RtAEO中,有(8-x)2=42+x2,解得x=3. OB= = =3 . SBOA= ABOE= BOAD, ABOE=BOAD. 103=3 AD,AD=2 .,9.(2018云南昆明,21
27、,8分)如图,AB是O的直径,ED切O于点C,AD交O于点F,AC平分BAD,连接BF. (1)求证:ADED; (2)若CD=4,AF=2,求O的半径.,解析 (1)证法一:连接OC. (1分) ED切O于点C, OCDE, OCE=90, OA=OC, OAC=OCA. AC平分BAD, OAC=DAC, OCA=DAC, (3分) OCAD, D=OCE=90, ADED. (4分) 证法二:连接OC, (1分) ED切O于点C,OCDE, OCD=90, OA=OC, OAC=OCA, AC平分BAD, OAC=DAC, OCA=DAC, (3分) OCA+ACD=90, DAC+AC
28、D=90, D=90, ADED. (4分),(2)解法一:设线段OC与BF的交点为H. AB是O的直径, AFB=HFD=90, (5分) OCD=D=90, 四边形HFDC是矩形, CHF=90,即OCBF,FH=DC=4, (6分) FB=2FH=8. (7分) 在RtBFA中,AFB=90,AF=2, 由勾股定理可得AB= = =2 , O的半径为 . (8分) 解法二:过点O作ONAF于点N. (5分) OCDE,ADED, OND=D=OCD=90, 四边形ONDC是矩形, (6分),ON=CD=4, ONAF,AF=2, AN= AF=1. (7分) 在RtOAN中,ONA=90
29、,由勾股定理可得OA= = = , O的半径为 . (8分),10.(2017黑龙江哈尔滨,26,10分)已知:AB是O的弦,点C是 的中点,连接OB、OC,OC交AB 于点D. (1)如图1,求证:AD=BD; (2)如图2,过点B作O的切线交OC的延长线于点M,点P是 上一点,连接AP、BP,求证: APB-OMB=90; (3)如图3,在(2)的条件下,连接DP、MP,延长MP交O于点Q,若MQ=6DP,sinABO= ,求 的值.,考点三 圆的外切三角形、外切正多边形,图1 图2 图3,解析 (1)证明:如图a,连接OA,图a C是 的中点, = ,AOC=BOC, OA=OB,ODA
30、B,AD=BD. (2)证明:如图b,延长BO交O于点T,连接PT,图b BT是O的直径,BPT=90, APT=APB-BPT=APB-90, BM是O的切线,OBBM,ABO+MBA=90, 又由(1)得,OMB+MBA=90,ABO=OMB, 又ABO=APT,OMB=APT, APB-90=OMB,即APB-OMB=90. (3)解法一:如图c,连接MA,MO垂直平分AB, MA=MB,MAB=MBA, 作PMG=AMB,在射线MG上截取MN=MP,连接PN、BN. 则AMP=BMN,APMBNM, MP=MN,AP=BN,MAP=MBN, 延长PD至点K,使DK=DP,连接AK、BK
31、. 则四边形APBK是平行四边形, AP=BK,APBK, PAB=ABK,APB+PBK=180, 由(2)得APB-(90-MBA)=90,APB+MBA=180,PBK=MBA, MBP=ABK=PAB, MAP+PAB=MBP+PBA, MAP=PBA=MBN, NBP=KBP,又PB=PB,BN=AP=BK, PBNPBK,PN=PK=2DP, 过点M作MHPN于点H,图c PN=2PH,PH=DP,PMH=OMB=ABO, sinPMH= ,sinABO= , = . = ,设DP=3a,则MP=5a,MQ=6DP=18a, = . 解法二:如图c,连接OP,图c MB是O的切线,
32、 OBM=90, 由(1)得ODAB,OMB+DBM=90, 又DBO+DBM=90,DBO=OMB. sinOMB=sinABO= , 即 = = , P、B是O上的点,OP=OB, = = . 在ODP和OPM中, = ,DOP=POM, ODPOPM, = = , 设DP=3a,则MP=5a,MQ=6DP=18a, = .,11.(2017内蒙古呼和浩特,24,9分)如图,点A,B,C,D是直径为AB的O上的四个点,C是劣弧 的中点,AC与BD交于点E. (1)求证:DC2=CEAC; (2)若AE=2,EC=1,求证:AOD是正三角形; (3)在(2)的条件下,过点C作O的切线,交AB
33、的延长线于点H,求ACH的面积.,解析 (1)证明:C是劣弧 的中点,DAC=CDB, 又ACD=DCE,ACDDCE, = ,DC2=CEAC. (2)证明:AE=2,CE=1, AC=3,DC2=3,DC= , 如图,连接OC,C是劣弧 的中点, OC平分DOB, BC=DC= , AB是O的直径,AB= =2 , OB=OC=OD= , BOD=120,DOA=60, 又OA=OD,AOD是正三角形. (3)CH是O的切线,OCCH, COH=60,H=30,CAB=30, CH=AC=3, SACH= 3 = .,12.(2017内蒙古包头,24,10分)如图,AB是O的直径,弦CD与
34、AB交于点E,过点B的切线BP与CD 的延长线交于点P,连接OC,CB. (1)求证:AEEB=CEED; (2)若O的半径为3,OE=2BE, = ,求tanOBC的值及DP的长.,解析 (1)证明:连接AD,如图. A=BCD,AED=CEB,AEDCEB, = ,AEEB=CEED. (3分)(2)O的半径为3,OA=OB=OC=3. OE=2BE,OE=2,BE=1,AE=5. = ,可设CE=9x,DE=5x(x0). AEEB=CEED, 51=9x5x,x= (舍负). CE=3,DE= . (5分) 过点C作CFAB于点F,OC=CE=3,OF=EF= OE=1. BF=2.
35、在RtOCF中,CFO=90, CF2+OF2=OC2,CF=2 . 在RtCFB中,CFB=90, tanOBC= = = . (8分) CFAB,CFB=90. BP是O的切线,AB是O的直径, EBP=90,CFB=EBP. 又EF=BE=1,CEF=PEB, CEFPEB,EP=CE=3. DP=EP-ED=3- = . (10分),13.(2017湖北黄冈,20,7分)已知:如图,MN为O的直径,ME是O的弦,MD垂直于过点E的直线 DE,垂足为点D,且ME平分DMN. 求证:(1)DE是O的切线; (2)ME2=MDMN.,证明 (1)OM=OE,OME=OEM. ME平分DMN,
36、OME=DME. OEM=DME. (2分) MDDE,MDE=90. DEM+DME=90. DEM+OEM=90,即OED=90, OEDE, (3分) 又OE为O的半径, DE是O的切线. (4分) (2)连接NE.MN为O的直径,MEN=90. MEN=MDE=90. (5分) 又由(1)知,NME=DME, DMEEMN, (6分) = , ME2=MDMN. (7分),14.(2017四川绵阳,23,11分)如图,已知AB是圆O的直径,弦CDAB,垂足为H,与AC平行的圆O的 一条切线交CD的延长线于点M,交AB的延长线于点E,切点为F,连接AF交CD于点N. (1)求证:CA=C
37、N; (2)连接DF,若cosDFA= ,AN=2 ,求圆O的直径的长度.,解析 (1)证明:连接OF,ME与圆O相切于点F,OFME,即OFN+MFN=90, (1分) OFN=OAN,OAN+ANH=90, MFN=ANH, (3分) 又MEAC,MFN=NAC,ANH=NAC, CA=CN. (5分)(2)cosDFA= ,DFA=ACH,cosACH= , (6分) 在RtAHC中,设AC=5a,HC=4a,则AH=3a. 由(1)知CA=CN,NH=a, (7分) 在RtANH中,利用勾股定理,得AH2+NH2=AN2, 即(3a)2+a2=(2 )2,解得a=2, (8分),连接O
38、C,在RtOHC中,利用勾股定理,得OH2+HC2=OC2, 设圆O的半径为R,则(R-6)2+82=R2,解得R= , (10分) 圆O的直径的长度为2R= . (11分),15.(2017河南,18,9分)如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O交AC边于点D,过点C作CF AB,与过点B的切线交于点F,连接BD. (1)求证:BD=BF; (2)若AB=10,CD=4,求BC的长.,解析 (1)证明:AB=AC,ABC=ACB. CFAB,ABC=FCB. ACB=FCB,即CB平分DCF. (3分) AB是O的直径,ADB=90,即BDAC. BF是O的切线,BFAB. (5分)
39、 CFAB,BFCF,BDCBFC. BD=BF. (6分) (2)AC=AB=10,CD=4,AD=AC-CD=10-4=6. 在RtABD中,BD2=AB2-AD2=102-62=64. (8分) 在RtBDC中,BC= = =4 , 即BC的长为4 . (9分),16.(2017北京,24,5分)如图,AB是O的一条弦,E是AB的中点,过点E作ECOA于点C,过点B作 O的切线交CE的延长线于点D. (1)求证:DB=DE; (2)若AB=12,BD=5,求O的半径.,解析 (1)证明:BD是O的切线,OBD=90. CEOA,ACE=90. OBA+EBD=A+AEC=90. OA=O
40、B,A=OBA,EBD=AEC. 又AEC=BED,BED=EBD,DB=DE. (2)如图,连接OE,则OEAB,AE=BE=6. 过点D作DMAB于点M,DE=DB, BM= BE=3, 在RtBMD中,由勾股定理得,DM=4. 易证OBE=BDM, 又BEO=DMB,RtOBERtBDM, = ,OB= .,17.(2017云南,23,12分)已知AB是O的直径,PB是O的切线,C是O上的点,ACOP,M是直 径AB上的动点,A与直线CM上的点连线距离的最小值为d,B与直线CM上的点连线距离的最小 值为f. (1)求证:PC是O的切线; (2)设OP= AC,求CPO的正弦值; (3)设
41、AC=9,AB=15,求d+f的取值范围.,解析 (1)证明:如图,连接OC,OA=OC,A=OCA, ACOP,A=BOP,ACO=COP,COP=BOP, PB是O的切线,OBP=90. 在POC与POB中, COPBOP,OCP=OBP=90, OC是O的半径,PC是O的切线.(2)如图,过O作ODAC于D, 则ODC=OCP=90,CD= AC,ACOP, OCA=COP,ODCPCO, = ,CDOP=OC2, OP= AC,OP=3CD,即CD= OP, OPOP=OC2, = , sinCPO= = . (3)如图,连接BC, AB是O的直径,ACBC, AC=9,AB=15,B
42、C= =12, A与直线CM上的点连线距离的最小值即为点A到直线CM的垂线段的长,B与直线CM上的点连 线距离的最小值即为点B到直线CM的垂线段的长. 当M与A重合时,d=0, f=BC=12,d+f=12, 当CMAB时,d=AM, f=BM,d+f=AB=15,当M与B重合时,d=9, f=0,d+f=9, d+f的取值范围是9d+f15.,18.(2017新疆乌鲁木齐,23,10分)如图,AB是O的直径,CD与O相切于点C,与AB的延长线交 于点D. (1)求证:ADCCDB; (2)若AC=2,AB= CD,求O的半径.,解析 (1)证明:连接CO.CD是O的切线,OCD=90. (1
43、分) 又AB是O的直径,ACB=90, (2分) OA=OC,CAO=ACO. ACO=90-OCB,DCB=90-OCB, ACO=DCB, CAD=BCD,又ADC=CDB,ADCCDB. (5分) (2)设CD=x(x0),则AB= x,OC=OB= x, OCD=90,OD= = = x, BD=OD-OB= x. (6分),由(1)知ADCCDB, = , 即 = ,CB=1, (8分) 在RtACB中,AB= = ,O的半径为 . (10分),19.(2016北京,25,5分)如图,AB为O的直径,F为弦AC的中点,连接OF并延长交 于点D,过点 D作O的切线,交BA的延长线于点E
44、. (1)求证:ACDE; (2)连接CD,若OA=AE=a,写出求四边形ACDE面积的思路.,解析 (1)证明:连接OC,如图.OA=OC,F为AC的中点, ODAC. DE是O的切线, ODDE, ACDE. (2)求解思路如下: 在RtODE中,由OA=AE=OD=a,可得ODE,OFA为含30角的直角三角形;,由ACD= AOD=30,可知CDOE; 由ACDE,可知四边形ACDE是平行四边形; 由ODE,OFA为含有30角的直角三角形,可求DE,DF的长,进而可求四边形ACDE的面积.,20.(2016广西南宁,23,8分)如图,在RtABC中,C=90,BD是ABC的平分线,点O在AB上,以 点O为圆心,OB为半径的圆经过点D,交BC于点E. (1)求证:AC是O的切线; (2)若OB=10,CD=8,求BE的长.,
