1、高考数学(浙江专用),12.3 离散型随机变量及其分布列,考点 均值与方差 1.(2018浙江,7,4分)设0p1,随机变量的分布列是,A组 自主命题浙江卷题组,五年高考,则当p在(0,1)内增大时, ( ) A.D()减小 B.D()增大 C.D()先减小后增大 D.D()先增大后减小,答案 D 本小题考查随机变量的分布列,期望、方差的计算及函数的单调性. 由题意得E()=0 +1 +2 = +p, D()= + + = (1+2p)2(1-p)+(1-2p)2+(3-2p)2p =-p2+p+ =- + . 由 得0p1, D()在 上单调递增,在 上单调递减,故选D.,2.(2017浙江
2、,8,4分)已知随机变量i满足P(i=1)=pi,P(i=0)=1-pi,i=1,2.若0D(2) C.E(1)E(2),D(1)E(2),D(1)D(2),答案 A 本题考查随机变量的概念及其分布列,随机变量的期望、方差的计算,考查推理运 算能力,利用作差比较法比较两式的大小,构造函数,利用函数的单调性比较两式的大小. 解法一:E(1)=0(1-p1)+1p1=p1, 同理,E(2)=p2,又00,(p1-p2)(1-p1-p2)0. D(1)D(2).故选A. 解法二:同解法一知E(1)E(2),D(1)=p1- ,D(2)=p2- , 令f(x)=x-x2,则f(x)在 上为增函数,0p
3、1p2 ,f(p1)f(p2),即D(1)D(2).故选A.,3.(2014浙江,9,5分)已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m个红球和n个蓝球(m3,n3), 从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中. (a)放入i个球后,甲盒中含有红球的个数记为i(i=1,2); (b)放入i个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为pi(i=1,2). 则 ( ) A.p1p2,E(1)E(2) C.p1p2,E(1)E(2) D.p1p2,E(1)E(2),答案 A 当i=1时,若从乙盒中抽取的1个球为红球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为A1,则 P(A1)= . 若从乙盒中抽取的1个球为蓝
4、球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为A2,则P(A2)= =,而A1与A2互斥,则p1=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)= .此时,1的取值为1或2,P(1=1)=,P(1=2)= ,则E(1)=1 +2 = .当i=2时,若从乙盒中抽取的2个球都为 红球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B1,则P(B1)= . 若从乙盒中抽取的2个球为1个红球和1个蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B2,则P(B2) = . 若从乙盒中抽取的2个球都是蓝球,记从甲盒中取1个球是红球的事件为B3,则P(B3)= .因 为B1,B2,B3互斥,则p2=P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+
5、P(B3)= = =,.则p1-p2= 0,即有p1p2.此时,2的取值为1,2,3.P(2=1)= ,P(2=2)= ,P(2= 3)= , 则E(2)=1 +2 +3 = =3p2= , 则有E(1)p2,E(1)E(2),故选A.,评析 本题考查随机事件的概率,组合数的计算,离散型随机变量的分布列和期望.考查分类讨 论思想和运算求解能力,属于难题.,4.(2014浙江,12,4分)随机变量的取值为0,1,2.若P(=0)= ,E()=1,则D()= .,答案,解析 设P(=1)=p,则P(=2)= -p,从而由E()=0 +1p+2 =1,得p= .故D()=(0-1)2 +(1-1)2
6、 +(2-1)2 = .,考点一 离散型随机变量及其分布列 1.(2017课标全国理,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放 回地抽取100次,X表示抽到的二等品件数,则DX= .,B组 统一命题、省(区、市)卷题组,答案 1.96,解析 本题主要考查二项分布. 由题意可知XB(100,0.02),由二项分布可得DX=1000.02(1-0.02)=1.96.,2.(2017课标全国理,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶 4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经 验,每天需求
7、量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最 高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月 份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:,以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位: 瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?,解析 本题考查随机变量的分布列,数学期望. (1)由题意知,X所有可能取值为200,300,
8、500,由表格数据知 P(X=200)= =0.2,P(X=300)= =0.4,P(X=500)= =0.4. 因此X的分布列为,(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200n500. 当300n500时, 若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温位于区间20,25),则Y=6300+2(n-300)-4n=1 200-2n; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n0.4+(1 200-2n)0.4+(800-2n)0.2=640-0.4n. 当200n300时, 若最高气温不低于
9、20,则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20,则Y=6200+2(n-200)-4n=800-2n. 因此EY=2n(0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n. 所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.,3.(2017天津理,16,13分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且 在各路口遇到红灯的概率分别为 , , . (1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望; (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.,解析 本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,事件
10、的相互独立性,互斥事件的 概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. (1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=0)= = , P(X=1)= 1- 1- + 1- 1- + = , P(X=2)= + + = , P(X=3)= = . 所以,随机变量X的分布列为,随机变量X的数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 = . (2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为 P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0) =P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0) = + = . 所以,这2辆车
11、共遇到1个红灯的概率为 . 技巧点拨 解决随机变量分布列问题的关键是正确求出随机变量可以取哪些值以及取各个 值时对应的概率,只有正确理解随机变量取值的意义才能解决这个问题,理解随机变量取值的 意义是解决这类问题的必要前提.,4.(2017山东理,18,12分)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影 响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙 种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有 6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种
12、心理暗示,另 5人接受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率; (2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.,解析 本题考查离散型随机变量的分布列,期望. (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M, 则P(M)= = . (2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)= = , P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= = , P(X=4)= = . 因此X的分布列为,X的数学期望是 EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4
13、)=0+1 +2 +3 +4 =2. 解后反思 (1)求离散型随机变量X的分布列的步骤: 理解X的含义,写出X所有可能的取值. 求X取每个值时的概率; 写出X的分布列. (2)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量取各个值时对应的概率,在求解时,要注意 应用计数原理,古典概型概率公式等知识.,5.(2015重庆,17,13分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有10个粽子,其中豆沙粽2 个,肉粽3个,白粽5个,这三种粽子的外观完全相同.从中任意选取3个. (1)求三种粽子各取到1个的概率; (2)设X表示取到的豆沙粽个数,求X的分布列与数学期望.,解析 (1)令A表示事件“三种粽子各
14、取到1个”,则由古典概型的概率计算公式有P(A)= = . (2)X的所有可能取值为0,1,2,且 P(X=0)= = ,P(X=1)= = , P(X=2)= = . 综上知,X的分布列为,故E(X)=0 +1 +2 = .,6.(2015四川,17,12分)某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛,A中学推荐了3名男生、2名女 生,B中学推荐了3名男生、4名女生,两校所推荐的学生一起参加集训.由于集训后队员水平相 当,从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队. (1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率; (2)某场比赛前,从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛,设X表示
15、参赛的男生人数,求X的分布 列和数学期望.,解析 (1)由题意,参加集训的男、女生各有6名. 参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为 = . 因此,A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1- = . (2)根据题意,X的可能取值为1,2,3. P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= = . 所以X的分布列为,因此,X的数学期望为 E(X)=1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3) =1 +2 +3 =2.,评析 本题主要考查随机事件的概率、古典概型、随机变量的分布列、数学期望等基础知 识,考查运算求解能力、应用意识,考查运用概率与统计的知
16、识与方法分析和解决实际问题的 能力.,7.(2015陕西,19,12分)设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T,T只与道路畅通状况有关, 对其容量为100的样本进行统计,结果如下:,(1)求T的分布列与数学期望ET; (2)刘教授驾车从老校区出发,前往新校区作一个50分钟的讲座,结束后立即返回老校区,求刘 教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率.,解析 (1)由统计结果可得T的频率分布为,以频率估计概率得T的分布列为,从而ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32(分钟). (2)设T1,T2分别表示往、返所需时间,T1,T2的取值相互独立,且与T的分布列
17、相同. 设事件A表示“刘教授共用时间不超过120分钟”,由于讲座时间为50分钟,所以事件A对应于 “刘教授在路途中的时间不超过70分钟”. 解法一:P(A)=P(T1+T270)=P(T1=25,T245)+P(T1=30,T240)+P(T1=35,T235)+P(T1=40,T2 30) =0.21+0.31+0.40.9+0.10.5=0.91. 解法二:P( )=P(T1+T270)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40) =0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09. 故P(A)=1-P( )=0.91.,8.(2014湖北,
18、20,12分)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料 显示,水库年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上. 其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年.将年入 流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立. (1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并 有如下关系:,若某台发电机运行,则该台年利润为5 000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元
19、.欲 使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?,解析 (1)依题意,p1=P(40120)= =0.1. 由二项分布知,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p= (1-p3)4+ (1-p3)3p3=+4 =0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y(单位:万元). (i)安装1台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5 000,E(Y)=5 000 1=5 000. (ii)安装2台发电机的情形. 依题意知,当40X80时,一台发电机运行,此时Y=5 000-800=4 200,因此P(Y=4 200)=P(40X
20、80) =p1=0.2;当X80时,两台发电机运行,此时Y=5 0002=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X80)=p2 +p3=0.8,由此得Y的分布列如下:,所以,E(Y)=4 2000.2+10 0000.8=8 840. (iii)安装3台发电机的情形. 依题意,当40120时,三台发电机运行,此时Y=5 0003=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X 120)=p3=0.1,由此得Y的分布列如下:,所以,E(Y)=3 4000.2+9 2000.7+15 0000.1=8 620. 综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.,评析 本题考查了
21、概率和离散型随机变量的分布列.考查了分类讨论方法和运算求解能力.,考点二 均值与方差 1.(2018课标全国理,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方 式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)P(X=6),则p= ( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3,答案 B 本题考查相互独立事件及二项分布. 由题知XB(10,p),则DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.4或0.6.又P(X=4)0.5,p=0.6,故选B.,2.(2016四川,12,5分)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时
22、,就说这次 试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是 .,答案,解析 同时抛掷两枚质地均匀的硬币,至少有一枚硬币正面向上的概率为1- = ,且XB , 均值是2 = .,评析 判断X服从二项分布是解题的关键.,3.(2018课标全国理,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用 户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20 件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率 都为p(0p1),且各件产品是不是不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p
23、)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产 品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿 费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?,解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)= p2(1-p)18. 因此f (p)= 2p(1-p)18-18p2(1-p)17=2 p(1-p)17(1-10p). 令f (p)=0,得p=0.1,当
24、p(0,0.1)时, f (p)0; 当p(0.1,1)时, f (p)400,故应该对余下的产品作检验.,4.(2018天津理,16,13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分 层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检 查. (i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望; (ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概 率.,解析
25、 本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率 加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322,由于采用分层抽样的方法从中抽 取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人. (2)(i)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=k)= (k=0,1,2,3). 所以,随机变量X的分布列为,随机变量X的数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 = . (ii)设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取 的3人中,睡眠充足的员工
26、有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=BC,且B与C互斥. 由(i)知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), 故P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)= . 所以,事件A发生的概率为 . 名师点睛 超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到某类个体的个数.超几何分 布的特点: (1)考察对象分两类; (2)已知各类对象的个数; (3)从中抽取若干个个体,考察某类个体个数X的概率分布. 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型.,5.(2015福建,16,13分)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将 被锁定.
27、小王到该银行取钱时,发现自己忘记了银行卡的密码,但可以确认该银行卡的正确密码 是他常用的6个密码之一,小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试.若密码正确,则结束尝 试;否则继续尝试,直至该银行卡被锁定. (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率; (2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X,求X的分布列和数学期望.,解析 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A, 则P(A)= = . (2)依题意得,X所有可能的取值是1,2,3. 又P(X=1)= ,P(X=2)= = ,P(X=3)= 1= , 所以X的分布列为,所以E(X)=1 +2 +3 = .,评析 本题主要考查古典概型、相
28、互独立事件的概率、随机变量的分布列、数学期望等基 础知识,考查运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想.,6.(2014大纲全国,20,12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、 0.5、0.5、0.4,各人是否需使用设备相互独立. (1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率; (2)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.,解析 记Ai表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2, B表示事件:甲需使用设备, C表示事件:丁需使用设备, D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备. (1)D=A1BC+A2B+A2 C, P(B)=0
29、.6,P(C)=0.4,P(Ai)= 0.52,i=0,1,2, (3分) 所以P(D)=P(A1BC+A2B+A2 C) =P(A1BC)+P(A2B)+P(A2 C) =P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P( )P(C) =0.31. (6分) (2)X的可能取值为0,1,2,3,4,则 P(X=0)=P( A0 ) =P( )P(A0)P( ) =(1-0.6)0.52(1-0.4),=0.06, P(X=1)=P(BA0 + A0C+ A1 ) =P(B)P(A0)P( )+P( )P(A0)P(C)+P( )P(A1)P( ) =0.60.52(1-0.4)+
30、(1-0.6)0.520.4+(1-0.6)20.52(1-0.4)=0.25, P(X=4)=P(A2BC)=P(A2)P(B)P(C)=0.520.60.4=0.06, P(X=3)=P(D)-P(X=4)=0.25, P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)-P(X=4) =1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38, (10分) 数学期望EX=0P(X=0)+1P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)=0.25+20.38+30.25+4 0.06=2. (12分),C组 教师专用题组,考点一 离散型随机变量及其分布列 1.(2016山东
31、,19,12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个 成语.在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1分; 如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是 ,乙每轮猜对的概率是 ;每 轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求: (1)“星队”至少猜对3个成语的概率; (2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X).,解析 (1)记事件A:“甲第一轮猜对”,记事件B:“乙第一轮猜对”,记事件C:“甲第二轮猜 对”,记事件D:“乙第二轮猜对”,记事件E:“星队至少猜对3个成语
32、”. 由题意,E=ABCD+ BCD+A CD+AB D+ABC , 由事件的独立性与互斥性,得 P(E)=P(ABCD)+P( BCD)+P( CD)+P( D)+P( ) =P(A)P(B)P(C)P(D)+P( )P(B)P(C)P(D)+P(A)P( )P(C)P(D)+P(A)P(B)P( )P(D)+P(A)P(B)P(C) P( ) = +2 = . 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为 . (2)由题意,随机变量X可能的取值为0,1,2,3,4,6. 由事件的独立性与互斥性,得 P(X=0)= = ,P(X=1)=2 = = , P(X=2)= + + + = , P(X=3)
33、= + = = , P(X=4)=2 = = , P(X=6)= = = . 可得随机变量X的分布列为,所以数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 +4 +6 = . 评析 本题考查了随机事件发生的概率及离散型随机变量的分布列与数学期望,确定随机变 量可能的取值是解题的关键.属于中档题.,2.(2015湖北,20,12分)某厂用鲜牛奶在某台设备上生产A,B两种奶制品,生产1吨A产品需鲜牛奶 2吨,使用设备1小时,获利1 000元;生产1吨B产品需鲜牛奶1.5吨,使用设备1.5小时,获利1 200元. 要求每天B产品的产量不超过A产品产量的2倍,设备每天生产A,B两种产品时间之和不超过12 小时
34、.假定每天可获取的鲜牛奶数量W(单位:吨)是一个随机变量,其分布列为,该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产,使其获利最大,因此每天的最大获利Z(单位:元)是 一个随机变量. (1)求Z的分布列和均值; (2)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立,求3天中至少有1天的最大获利超过10 000元的概率.,解析 (1)设每天A,B两种产品的生产数量分别为x吨,y吨,相应的获利为z元,则有 目标函数为z=1 000x+1 200y. 当W=12时,表示的平面区域如图1,三个顶点分别为 A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0). 当z=1 000x+1 200y变形为y=- x+ , 当x=2.4,
35、y=4.8时,直线l:y=- x+ 在y轴上的截距最大, 最大获利Z=zmax=2.41 000+4.81 200=8 160. 当W=15时,表示的平面区域如图2,三个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(7.5,0). 将z=1 000x+1 200y变形为y=- x+ ,当x=3,y=6时,直线l:y=- x+ 在y轴上的截距最大, 最大获利Z=zmax=31 000+61 200=10 200.当W=18时,表示的平面区域如图3, 四个顶点分别为A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0). 将z=1 000x+1 200y变形为y=- x+ ,当x=6,y=4时,直线
36、l:y=- x+ 在y轴上的截距最大, 最大获利Z=zmax=61 000+41 200=10 800. 故最大获利Z的分布列为,因此,E(Z)=8 1600.3+10 2000.5+10 8000.2=9 708. (2)由(1)知,一天最大获利超过10 000元的概率 p1=P(Z10 000)=0.5+0.2=0.7, 由二项分布,3天中至少有1天最大获利超过10 000元的概率为p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973. 评析 本题考查了线性规划,离散型随机变量的分布列与均值及概率的计算等基础知识.考查 运用概率知识解决实际问题的能力.,3.(2014天津,16,13分)某大学
37、志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来 自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随 机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.,解析 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则 P(A)= = . 所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为 . (2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=k)= (k=0,1,2,3). 所以随机变量X的分布
38、列是,随机变量X的数学期望E(X)=0 +1 +2 +3 = . 评析 本题主要考查古典概型及其概率计算公式,互斥事件、离散型随机变量的分布列与数 学期望等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.,4.(2014江西,21,14分)随机将1,2,2n(nN*,n2)这2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数. A组最小数为a1,最大数为a2;B组最小数为b1,最大数为b2.记=a2-a1,=b2-b1. (1)当n=3时,求的分布列和数学期望; (2)令C表示事件“与的取值恰好相等”,求事件C发生的概率P(C); (3)对(2)中的事件C, 表示C的对立事件,判断P(C)和P( )
39、的大小关系,并说明理由.,解析 (1)当n=3时,的所有可能取值为2,3,4,5. 将6个正整数平均分成A,B两组,不同的分组方法共有 =20种,所以的分布列为,E=2 +3 +4 +5 = . (2)和恰好相等的所有可能取值为n-1,n,n+1,2n-2. 又和恰好相等且等于n-1时,不同的分组方法有2种; 和恰好相等且等于n时,不同的分组方法有2种; 和恰好相等且等于n+k(k=1,2,n-2)(n3)时,不同的分组方法有2 种, 所以当n=2时,P(C)= = , 当n3时,P(C)= . (3)由(2)知当n=2时,P( )= ,因此P(C)P( ),而当n3时,P(C)P( ).理由
40、如下: P(C)P( )等价于4 2+ . 用数学归纳法来证明: 1当n=3时,式左边=4(2+ )=4(2+2)=16,式右边= =20,所以式成立. 2假设n=m(m3)时式成立,即4 2+ 成立,那么,当n=m+1时, 左边=4 2+ =4 2+ +4 +4 = + = = =右边, 即当n=m+1时式也成立.,综合1,2得,对于n3的所有正整数,都有P(C)P( )成立. 评析 本题主要考查随机变量的分布列、数学期望及概率和数学归纳法,同时考查学生的逻 辑推理能力及分析、解决问题的能力.属难题.,5.(2015湖南,18,12分)某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖
41、.每次抽 奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个 球.在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获 奖. (1)求顾客抽奖1次能获奖的概率; (2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学 期望.,解析 (1)记事件A1=从甲箱中摸出的1个球是红球, A2=从乙箱中摸出的1个球是红球, B1=顾客抽奖1次获一等奖, B2=顾客抽奖1次获二等奖, C=顾客抽奖1次能获奖. 由题意,A1与A2相互独立,A1 与 A2互斥,B1与B2互斥,且B1=A1A2,B2=A1
42、+ A2,C=B1+B2. 因为P(A1)= = ,P(A2)= = , 所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)P(A2)= = , P(B2)=P(A1 + A2)=P(A1 )+P( A2) =P(A1)P( )+P( )P(A2) =P(A1)1-P(A2)+1-P(A1)P(A2) = + = . 故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)= + = .,(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为 , 所以XB . 于是P(X=0)= = , P(X=1)= = , P(X=2)= = , P(X=3)= = . 故X的分
43、布列为,X的数学期望为E(X)=0 +1 +2 +3 = .,6.(2014重庆,18,13分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡 片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片. (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率; (2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X的分布列与数学期望. (注:若三个数a,b,c满足abc,则称b为这三个数的中位数),解析 (1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为 P= = . (2)X的所有可能值为1,2,3,且 P(X=1)= = ,P(X=2)= = , P(X=3)= = , 故X的分布列为,从而E
44、(X)=1 +2 +3 = . 评析 本题考查概率的计算,随机变量的分布列及数学期望.其中概率的计算要求较高,不过整 体难度不大,属中等偏易题.,7.(2014山东,18,12分)乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域 A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回 球.规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其他情况记0分.对落点在A上的来球,队员小 明回球的落点在C上的概率为 ,在D上的概率为 ;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C 上的概率为 ,在D上的概率为 .假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回
45、球互不 影响.求: (1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.,解析 (1)记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3), 则P(A3)= ,P(A1)= ,P(A0)=1- - = . 记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”(i=0,1,3), 则P(B3)= ,P(B1)= ,P(B0)=1- - = . 记D为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”. 由题意,D=A3B0+A1B0+A0B1+A0B3, 由事件的独立性和互斥性,得 P(D)=P(A3B0+A1B0+A
46、0B1+A0B3) =P(A3B0)+P(A1B0)+P(A0B1)+P(A0B3) =P(A3)P(B0)+P(A1)P(B0)+P(A0)P(B1)+P(A0)P(B3) = + + + = , 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为 . (2)由题意,随机变量可能的取值为0,1,2,3,4,6,由事件的独立性和互斥性,得 P(=0)=P(A0B0)= = , P(=1)=P(A1B0+A0B1)=P(A1B0)+P(A0B1)= + = , P(=2)=P(A1B1)= = , P(=3)=P(A3B0+A0B3)=P(A3B0)+P(A0B3)= + = , P(=4)=
47、P(A3B1+A1B3)=P(A3B1)+P(A1B3)= + = , P(=6)=P(A3B3)= = . 可得随机变量的分布列为,所以数学期望E=0 +1 +2 +3 +4 +6 = .,考点二 均值与方差 1.(2014福建,18,13分)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励,规 定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和 为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: (i)顾客所获的奖励额为60元的概率; (ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场
48、对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种 球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的 预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说 明理由.,解析 (1)设顾客所获的奖励额为X元. (i)依题意,得P(X=60)= = , 即顾客所获的奖励额为60元的概率为 . (ii)依题意,得X的所有可能取值为20,60. P(X=60)= ,P(X=20)= = , 即X的分布列为,所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)=200.5+600.5=40(元). (2)根据商场的预算
49、,每个顾客的平均奖励额为60元. 所以,先寻找期望为60元的可能方案. 对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最 大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所 以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能 的方案是(20,20,40,40),记为方案2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X1元,则X1的分布列为,
