1、第三篇 空间解析几何,内容提要：,空间直角坐标系,一些空间曲面与曲线,矢量代数,平面与直线,横轴,纵轴,竖轴,定点,空间直角坐标系,三个坐标轴的正方向符合右手系.,一、空间直角坐标系,第一节 空间直角坐标系,面,面,面,空间直角坐标系共有八个卦限,二、空间两点间的距离,特殊地：若两点分别为,三. 曲面与方程,定义：,例1,解,例2,解,从以上二例可见：,四.曲线与方程,空间曲线的一般方程,一、矢量的概念,第二节 矢量代数,矢量：,矢量表示：,矢量的模：向量的大小.,零矢量：模长为0的向量.,既有大小又有方向的量.,或,或,或,单位矢量：模长为1的向量.,自由向量：,不考虑起点位置的向量.,相等
2、向量：,大小相等且方向相同的向量.,负向量：,大小相等但方向相反的向量.,向径：,非零向量 的方向角：,向量的模与方向余弦的坐标表示式,非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.,由图分析可知,向量模长的坐标表示式,方向余弦通常用来表示向量的方向.,当 时，,向量方向余弦的坐标表示式,方向余弦的特征,特殊地：单位向量的方向余弦为,所求向量有两个，一个与 同向，一个反向,或,解,例1 求平行于向量,的单位向量的分解式.,空间一矢量在轴上的投影,关于向量的投影定理,证,二、矢量的加减法,1 加法：,（平行四边形法则）,（平行四边形法则有时也称为三角形法则）,特殊地：若,分为同向和反向,矢量的加法
3、符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）结合律：,（3）,2 减法,三、矢量的数乘,数与矢量的乘积符合下列运算规律：,（1）结合律：,（2）分配律：,两个向量的平行关系,证,充分性显然；,必要性,两式相减，得,按照向量与数的乘积的规定，,上式表明：一个非零向量除以它的模的结果 是一个与原向量同方向的单位向量.,例 化简,解,四、矢量的数积,实例,启示,两向量作这样的运算, 结果是一个数量.,定义,关于数积的说明：,证,证,数积符合下列运算规律：,（1）交换律：,（2）分配律：,（3）,若 、 为数：,若 为数：,设,数量积的坐标表达式,两向量夹角余弦的坐标表示式,由此可知两向量垂直的充要条件
4、为,解,证,五、矢量的矢积,实例,定义,的方向既垂直于,，又垂直于,，指向符合,右手系,.,/,关于矢积的说明：,（3）若 为数：,证,/,/,矢积符合下列运算规律：,（2）分配律：,（1）,设,向量积的坐标表达式,矢积还可用三阶行列式表示,/,由上式可推出,例如，,补充,解,三角形ABC的面积为,解,六、矢量的混合积,混合积的坐标表达式,设,定义,关于混合积的说明：,（1）矢量混合积的几何意义：,例,解,解,式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.,一.平面方程,定义：,由于：,第三节 平面与直线,设,又,例1,解,例2,解,返回,问题：,如：,特别地：,例3,解,例4,解,返回,二.空间直
5、线的方程,1.空间直线的一般式方程,注意,反过来，,2.空间直线的对称式方程和参数方程,方向向量：,设,几点说明：,续,例5,解,续,例6,解,返回,三.两平面的位置关系,定义：,例7,解,例8,解,四.两直线的位置关系,夹角：,注意,结论：,例9,解,返回,五.直线与平面的位置关系,定义：,结论：,设,特别地,例10,解,返回,例11,解,如：,返回,六. 平面束,定义：,例12,解,续,返回,七.关于直线、平面杂例,例13,法一,又由点积得：,法二,法三,例14,解,例15,法一,法二,例16,解,返回,一.柱面方程及其特点,第四节 一些空间曲面与曲线,图,一般地：,问：,画法：,通常：,
6、如：,画法：,返回,二.旋转曲面及其方程,定义：,形成旋转曲面,平面曲线C,绕定轴旋转,例1,解,在这里，,同理，,一般地，,欲求将平面曲线绕某轴旋转的曲面方程，只需将其对应的坐标不动，而另一变量换成其余二变量的完全平方和之正负方根的形式。,例2,解,例3,解,图,旋转双曲面,返回,三.二次曲面,定义：,椭球面,1.椭球面,讨论：,续,截距，与坐标面的截口线,平行于xoy面的截面,截面为同心椭圆,平行于yoz面的截面,截面为同心椭圆,平行于zox面的截面,截面为同心椭圆,2.抛物面,讨论：,续,续,抛物面,特别地，,旋转抛物面,注意画法,双曲抛物面,3.双曲面,定义：,特点：,讨论方法类同，此略，其图如下：,例4,解,单叶双曲面,双叶双曲面,4.空间曲线的参数方程,因为：,例5,解,例6,解,例7,解,续,5.空间曲线在坐标面上的投影,则,投影,x,y,z,O,空间曲线C,投影C1,例8,解,前视,右视,顶视,图,例9,解 如图,返回,
