1、41 圆 的 方 程,41.1 圆的标准方程,1平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆 圆心为C(a，b)，半径为r的圆的方程为 ，此方程称为圆的标准方程 圆心在原点，半径为r的圆的方程为 . 2点与圆的位置关系 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r. 当 时，点在圆外；当 时，点在圆上； 当 时，点在圆内 3若点P(m，n)在圆x2y2r2的内部，则m、n、r的关系式是 .若点P(m，n)在圆x2y2r2的外部，则m、n、r的关系式是 .,(xa)2,(yb)2r2,x2y2r2,dr,m2n2r2,m2n2r2,dr,dr,4以(3,4)为圆心，且过点(0,0)的圆的方程为( ) Ax2y
2、225 Bx2y25 C(x3)2(y4)225 D(x3)2(y4)225 答案 C,5根据下列条件，求圆的方程填空： (1)圆心C(2,1)过点A(2，2)，_； (2)圆心C(1,3)与直线3x4y60相切，_；答案 (1)(x2)2(y1)225 (2)(x1)2(y3)29 (3)(x1)2(y1)25或(x1)2(y3)25 分析 只要确定了圆心坐标和半径就可以写出圆的方程,(3)设圆心坐标为(a，b)，圆的方程为 (xa)2(yb)25. 已知圆过点(0,1)，(2,1)，代入圆的方程中得，所求圆的方程为(x1)2(y1)25或(x1)2(y3)25.,本节学习重点：圆的标准方程
3、的推导以及根据具体条件正确的求出圆的标准方程 本节学习难点：运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题,1确定圆的几何要素： 圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，只要圆心和半径确定下来，圆也就确定下来了 求圆的方程主要用待定系数法，圆的标准方程中含有三个待定系数a、b、r，故确定圆需要三个独立条件，若条件中涉及圆心、半径、弦长或圆心位于特殊位置时，一般考虑应用圆的标准方程,(1)当圆心在某条直线上时，(一)可设出圆心坐标，将圆心用一个字母表示(二)也可以考虑若圆心在另一条直线上，则圆心为两直线的交点 (2)当圆经过不共线三点时，(一)可由两边的中垂线求得圆心，进而求出半径(二)也可设标准方程，将三
4、点坐标代入，解三元一次方程组求得a、b、r.,2注意圆的几何性质(如圆心到圆上点的距离等于圆的半径；圆心到圆的切线的距离等于圆的半径；圆心在弦的垂直平分线上；垂径定理：半径2半弦2弦心距2)等等在解决圆的问题中的作用 3通过求圆的方程进一步明确求曲线(轨迹)的方程的步骤、注意事项 坐标法求曲线的轨迹方程步骤：建系设点列式化简证明，最后一步证明可省略，但实际解决问题时，最后一般要注意曲线的范围，即剔除不合要求的点和找回失去的点，有的题目还要分类讨论,例1 已知两点P1(0,5)和P2(4,1)，求以P1P2为直径的圆的方程，并判断M(1,6)，Q(3,5)是在圆上？圆外？圆内？ 分析 (1)根据
5、所给已知条件可得圆心坐标和半径 (2)判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点与圆心的距离与半径的大小关系来判断,例2 求经过两点A(1,4)、B(3,2)，且圆心在y轴上的圆的方程 解析 解法1：圆心在y轴上， 可设圆的标准方程是x2(yb)2r2. 该圆经过A、B两点，,弦AB的垂直平分线方程为y32(x1)， 即y2x1,总结评述：求圆的标准方程就是求圆心坐标和圆的半径，解法1是先设出圆的标准方程，而后用待定系数法求出圆心坐标和圆半径，解法2抓住圆的性质及题目的特点，求出线段AB的垂直平分线方程并与y轴的方程联立组成方程组，先求出了圆心的坐标，而后求出圆的半径 如果照顾到圆心在一条直
6、线上(y轴)，故圆心坐标可用一个未知数来表示，由圆心到A、B两点距离相等，可求出此未知数自己解一下，并求解下题 求过点A(6,0)，B(1,5)，且圆心在直线l：2x7y80上的圆的方程 答案：(x3)2(y2)213,与x轴切于点(5,0)，并且在y轴上截取弦长为10的圆的方程为_,解法2：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2(r0) 圆与x轴相切于点(5,0)， r|b|， a5， 圆在y轴上截得的弦长为10，,点评 圆与x轴相切时，圆的半径r与圆心的纵坐标的关系是r|b|.圆与y轴相切时圆的半径r与圆心的横坐标的关系是r|a|. 解法1根据题意直接设圆的方程为(x5)2(yb)2b2
7、，利用弦长得出了b的方程，解出b求得圆的方程,例3 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同，某居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：包括运费和价格的总费用较低求P地居民选择A地或B地购货总费用相等时“点P”所在曲线的形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点？ 解析 以A、B所在直线为x轴，线段AB的中点为原点，建立直角坐标系，则A(5,0)，B(5,0)(如下图),如图所示，一座圆拱桥，当水面在如图位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽_
8、米？,解析 以圆拱拱顶为坐标原点，以过拱顶点的铅垂直线为y轴，建立直角坐标系，设圆心为C，水面所在弦的端点为A、B，则由已知得A(6，2) 设圆的半径为r，则C(0，r)， 即圆的方程为x2(yr)2r2 将点A的坐标(6，2)代入方程，解得r10 圆的方程x2(y10)2100 ,总结评述：1.求圆的方程有两类方法： (1)几何法，即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系，进而求得圆的基本量(圆心、半径)的方程； (2)代数法，即用“待定系数法”求圆的方程其一般步骤是： 根据题意选择方程的形式标准形式或一般形式(本例题中涉及圆心及弦长，故设标准形式较简单)； 利用条件列出关于a、b、r
9、或D、E、F的方程组； 解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程，圆的一般形式方程下节学习,2下面就圆的几何性质的应用作一探索： (1)圆心在弦的垂直平分线上 过点A(1,2)，B(2,2)和C(1,4)的圆的方程为_,(2)圆上任一点到圆心的距离等于圆的半径 圆心为C(1,3)，且过点M(1,0)的圆的方程为_答案 (x1)2(y3)213 (3)圆心到圆的切线的距离等于圆的半径,若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( ),解析 设圆心坐标为(x，y)， 由题意知x0，y1.答案 B,一、选择题 1台风中心从A地以每小时20千米的速度
10、向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为( ) A0.5小时 B1小时 C1.5小时 D2小时 答案 B,解析 以A为原点，正东方向为x轴，正北方向为y轴，建立直角坐标系，则台风中心P(10t,10t)，B(40,0) 以B城市为圆心，30km为半径的圆方程为(x40)2y2302，当点P在圆内时，B城市处于危险区内，,二、填空题 2根据下列所给不同条件求圆的方程 (1)圆心为C(1,3)，半径为2的圆的方程为_ (2)圆心为C(1,3)，与直线xy4相切的圆的方程为_ (3)圆心为C(1,3)，且过点M(0,2)的圆的方程为_
11、 (4)过点A(1,2)、B(3,2)和C(1,6)的圆的方程为_,(5)过点A(1，4)和B(3，2)，半径为2的圆的方程为_ (6)A(2,4)，B(4,2)，以线段AB为直径的圆的方程为_ (7)过点A(0,4)和B(4,0)，圆心在直线yx上的圆的方程为_ (8)过点A(2,4)，B(1,1)被直线x2y0平分的圆的方程为_ (9)已知ABC的三个顶点的坐标为(0,0)，(1,0)和(0,2)，则ABC的内切圆方程为_,(10)过点P(1,0)且与y轴相切于点Q(0,3)的圆的方程为_ 答案 (1)(x1)2(y3)24 (2)(x1)2(y3)218 (3)(x1)2(y3)22 (4)(x2)2(y4)25 (5)(x1)2(y2)24或(x3)2(y4)24 (6)(x1)2(y3)210 (7)x2y216 (8)(x2)2(y1)29,(5)设圆心C(a，b)，则|CA|CB|2，,圆方程为x2y216. 解法2：圆心C在线段AB的垂直平分线l：xy0上，又在直线yx上，,
