1、,数学,第36课时 二次函数综合题,第36课时 二次函数综合题,知识考点对应精练 【知识考点】 （1）二次函数的最值问题； （2）二次函数的存在性问题； （3）二次函数的平移； （4）二次函数和圆.,【对应精练】 1.如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（-1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作P交y轴的正半轴于点C. （1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式； （2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC的解析式； （3）试说明直线MC与P的位置关系，并证明你的结论.,第36课时 二次函数综合题,【解析】 （1）点A(4,0)和B(-1,0)都在x
2、轴上，且OA=4，OB=1； （2）以AB的中点P为圆心，AB为直径作P交y轴的正半轴于点C，即ABC是直角三角形，由相似三角形可得OC=OAOB，即可求OC和点C的坐标； （3）可设交点式y=a(x+1)(x-4)，将点C坐标，代入求a即可； （4）点M是抛物线顶点坐标，将M和C的坐标代入直线y=kx+b即可求直线MC的解析式； （5）连接CP，判断CP是垂直MC，需要由勾股定理逆定理，判断CDP是否为直角三角形即可.,第36课时 二次函数综合题,【答案】 （1）A(4,0) ，B(-1,0) AB5，且PCPBPA OP ，即P 在RtCPO中，OC ，即C点的坐标为（0，2）， 设抛物线
3、的解析式为y=a(x+1)(x-4)，则 -4a=2，即a= 抛物线的解析式为 (x+1)(x-4)，即y=- x2+ x+2 . （2）由 ，得 顶点坐标M为 设直线MC的解析式为y=kx+b，则 ， 解得k= ，b=2 ， 直线MC的解析式为 x+2；,第36课时 二次函数综合题,【答案】 （3）MC与P相切，理由如下： 设直线MC与x轴交于点D，则D ， ， CD2+PC2=PD2 PCD=90，即PCDC ， 又PC为半径 MC是P的切线,第36课时 二次函数综合题,【方法总结】 （1）看到点坐标，想到点坐标的位置或点到坐标轴的距离或两点之间距离； （2）看到求二次函数的解析式，想到寻
4、找三个条件（点坐标）或对称轴或抛物线与x轴的交点，相应地有一般式、顶点式、交点式； （3）看到求抛物线的顶点或最值问题，想到配方法转化抛物线为顶点式； （4）抛物线的平移规律：上加下减，左加右减； （5）解题思考方向：点坐标线段长度面积条件；条件线段长度点坐标； 【失点盲点】 （1）在解决二次函数有关单调性，最值问题时，忽略二次项系数； （2）在解决与二次函数有关的实际问题时，一是不能建立正确的函数关系缺乏建模思想；二是对自变量取值范围的忽略； （3）对于二次函数的最值问题，误认为自变量取对称轴与 的交点时，函数值有最值.,第36课时 二次函数综合题,真题演练层层推进 1.（2012广东珠海）
5、如图，二次函数y=（x2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B （1）求二次函数与一次函数的解析式； （2）根据图象，写出满足kx+b（x2）2+m的x的取值范围,第36课时 二次函数综合题,【答案】 （1）将点A（1，0）代入y=（x2）2+m得，（12）2+m=0，解得m=1， 二次函数解析式为y=（x2）21， 当x=0时，y=41=3，C点坐标为（0，3）， 二次函数y=（x2）21的对称轴为x=2， C和B关于对称轴对称， B点坐标为（4，3）， 将A（1，0）、B（4，3）代入
6、y=kx+b得，解得 ， 一次函数解析式为y=x1； （2）A、B坐标为（1，0），（4，3）， 当kx+b（x2）2+m时，直线y=x1的图象在二次函数y=（x2）21的图象上方或相交，此时1x4.,第36课时 二次函数综合题,2.（2012广东）如图，抛物线y= x2- x-9与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，连接BC、AC （1）求AB和OC的长； （2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作直线l平行BC，交AC于点D设AE的长为m，ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接CE，求CDE面积的最大
7、值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留）,第36课时 二次函数综合题,【答案】 （1）在y= x2- x-9中， 令x=0，得y=9，C（0，9）； 令y=0，即 x2- x-9 ，解得：x1=3，x2=6， A（3，0）、B（6，0），AB=9，OC=9。 （2）EDBC，AEDABC， ，即： ， s= m2（0m9）。,第36课时 二次函数综合题,【答案】 （3）SAEC= AEOC= m，SAED =s= m2， SEDC=SAECSAED= 。 CDE的最大面积为 ， 此时，AE=m= ，BE=ABAE= 。 又 ， 过E作EFBC于F，则RtBEFRtBCO，得
8、： ， 即： 。 。 以E点为圆心，与BC相切的圆的面积 SE=EF2= 。,第36课时 二次函数综合题,3.（2012广州）如图，抛物线 与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C （1）求点A、B的坐标； （2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等于ACB的面积时，求点D的坐标； （3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式,【答案】 （1）在 中，令y=0，即 ， 解得x1=4，x2=2。 点A在点B的左侧， A、B点的坐标为A（4，0）、B（2，0）；,第36课时 二次函数综合题
9、,【答案】 （2）由 得，对称轴为x=-1. 在 中，令x=0，得y=3. OC=3，AB=6， . 在RtAOC中, 设ACD中AC边上的高为h，则有 ACh=9，解得h= 。 如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h= ，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=1的两个交点即为所求的点D 设L1交y轴于E，过C作CFL1于F，则CF=h= ， 。,第36课时 二次函数综合题,【答案】 （2）（接上页） 设直线AC的解析式为y=kx+b， 将A（4，0），B（0，3）坐标代入，得，解得 。 直线AC解析式为y= x+3。 直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度
10、单位( 个长度单位)而形成的， 直线L1的解析式为 ， 则D1的纵坐标为 。D1（4， ）， 同理，直线AC向上平移 个长度单位得到L2，可求得D2（1， ）， 综上所述，D点坐标为：D1（4， ），D2（1， ）；,第36课时 二次函数综合题,【答案】（3）如图2，以AB为直径作F，圆心为F过E点作F的切线，这样的切线有2条 连接FM，过M作MNx轴于点N， A（4，0），B（2，0），F（1，0）， F半径FM=FB=3，又FE=5， 则在RtMEF中，ME= ，sinMFE= ，cosMFE= ， 在RtFMN中，MN=MNsinMFE=3 = ， FN=MNcosMFE=3 = ， 则
11、ON= 。M点坐标为（ ， ）， 直线l过M（ ， ），E（4，0）， 设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有 ，解得 ， 直线l的解析式为y= x+3， 同理，可以求得另一条切线的解析式为y= x3， 综上所述，直线l的解析式为y= x+3或y= x3.,第36课时 二次函数综合题,4.(2014深圳)如图，直线AB的解析式为y=2x+4，交x轴于点A，交y轴于点B，以A为顶点的抛物线交直线AB于点D，交y轴负半轴于点C（0，4） （1）求抛物线的解析式； （2）将抛物线顶点沿着直线AB平移，此时顶点记为E，与y轴的交点记为F， 求当BEF与BAO相似时，E点坐标； 记平移后抛物线与AB另
12、一个交点为G，则SEFG与SACD是否存在8倍的关系？若有请直接写出F点的坐标,第36课时 二次函数综合题,【答案】 （1）直线AB的解析式为y=2x+4， 令x=0，得y=4；令y=0，得x=2 A（2，0）、B（0，4） 抛物线的顶点为点A（2，0）， 设抛物线的解析式为：y=a（x+2）2， 点C（0，4）在抛物线上，代入上式得：4=4a，解得a=1， 抛物线的解析式为y=（x+2）2,第36课时 二次函数综合题,【答案】 （2）平移过程中，设点E的坐标为（m，2m+4）， 则平移后抛物线的解析式为：y=（xm）2+2m+4， F（0，m2+2m+4） 点E为顶点，BEF90， 若BEF
13、与BAO相似，只能是点E作为直角顶点， BAOBFE， ，即 ，可得：BE=2EF 如答图21，过点E作EHy轴于点H，则点H坐标为：H（0，2m+4） B（0，4），H（0，2m+4），F（0，m2+2m+4）， BH=|2m|，FH=|m2| 在RtBEF中，由相似三角形性质得：BE2=BHBF，EF2=FHBF，,第36课时 二次函数综合题,【答案】 （2）又BE=2EF，BH=4FH， 即：4|m2|=|2m| 若4m2=2m，解得m=- 或m=0（与点B重合，舍去）； 若4m2=2m，解得m= 或m=0（与点B重合，舍去），此时点E位于第一象限，BEF为钝角，故此情形不成立 m=-
14、，E（- ，3） 假设存在联立抛物线：y=（x+2）2与直线AB：y=2x+4， 可求得：D（4，4），SACD= 44=8， SEFG与SACD存在8倍的关系，SEFG=64或SEFG=1 联立平移抛物线：y=（xm）2+2m+4与直线AB：y=2x+4， 可求得：G（m2，2m） 点E与点M横坐标相差2，即： ,第36课时 二次函数综合题,【答案】 （2）如答图22，SEFG =SBFG SBEF= BF BF = BF（ ）=BF B（0，4），F（0，m2+2m+4），BF=|m2+2m| |m2+2m|=64或|m2+2m|=1， m2+2m可取值为：64、64、1、1 当取值为64
15、时，一元二次方程m2+2m=64无解，故m2+2m64 m2+2m可取值为：64、1、1 F（0，m2+2m+4）， F坐标为：（0，60）、（0，3）、（0，5） 综上所述，SEFG与SACD存在8倍的关系，点F坐标为（0，60）、（0，3）、（0，5）,第36课时 二次函数综合题课时作业,一、选择题 1.抛物线y=2x2，y=-2x2，y= x2共有的性质是( )A.开口向下 B.对称轴是y轴 C.都有最低点 D. 随x的增大而减小,2.对于二次函数y=(x-1)2+2的图象，下列说法正确的是( )A.开口向下 B.对称轴是x=-1C.顶点坐标中(1,2) D.与x轴有两个交点,3.二次函
16、数y=ax2+bx+c(a0)的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（ ）A.函数有最小值 B.对称轴是x=C.当x0,B,C,D,第36课时 二次函数综合题课时作业,4.已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+cm=0没有实数根，有下列结论：b24ac0；abc0；m2 其中，正确结论的个数是（ ）A.0 B.1 C.2 D.3,5.已知a、h、k为三数，且二次函数ya(xh)2k在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点若a0，0h10，则h之值可能为下列何者？( )A.1 B.3 C.5 D.7,D,D,第36课时 二次函
17、数综合题课时作业,二、填空题 6.抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标是 ,7.已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：则当y5时，x的取值范围是 ,8.如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1,0)，(3,0)两点，則它的对称轴为 ,9.如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴x=1，若点P(4,0)在该抛物线上，则4a-2b+c的值为 ,（1，2）,0x4,x2,0,第36课时 二次函数综合题课时作业,10.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解，解决下面问
18、题： 若m,n(mn)是关于x的方程(x-a)(x-b)=1的两根，且ab，则a,b,m,n的大小关系是( )A. mabn B. amnb C. ambn D. mabn,A,第36课时 二次函数综合题课时作业,三、解答题 11.如图，已知二次函数 的图象经过原点O（0，0），A（2，0） （1）写出该函数图象的对称轴； （2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60到OA，试判断点A是否为该函数图象的顶点？,第36课时 二次函数综合题课时作业,【答案】 （1）抛物线的对称轴为x=1； （2）点A是该函数图象的顶点理由如下： 由（1）可知，抛物线 的顶点坐标为(1, )， 如图，作ABx轴于点B，
19、线段OA绕点O逆时针旋转60到OA， OA=OA=2，AOA=2， 在RtAOB中，OAB=30， OB= OA=1， AB= OB= ， A点的坐标为(1, )， 点A为抛物线 的顶点,第36课时 二次函数综合题课时作业,12.二次函数图象的顶点在原点O，经过点A ；点F(0,1)在y轴上直线 y=-1与y轴交于点H （1）求二次函数的解析式； （2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=-1交于点M，求证：FM平分OFP； （3）当FPM是等边三角形时，求P点的坐标,第36课时 二次函数综合题课时作业,【答案】 （1）解：二次函数图象的顶点在原点O， 设二次函数的解析式为y
20、=ax2， 将点A(1, )代入y=ax2得，a= ， 二次函数的解析式为y= x2； （2）证明：点P在抛物线y= x2上， 可设点P的坐标为(x, x2) ， 如图，过点P作PBy轴于点B，则BF= x2-1，PB=x， RtBPF中，PF= = x2+1， PM= x2+1， PF=PM，PFM=PMF， 又PMx轴，MFH=PMF，PFM=MFH， FM平分OFP；,第36课时 二次函数综合题课时作业,【答案】 （3）解：当FPM是等边三角形时，PMF=60， FMH=30， 在RtMFH中，MF=2FH=22=4， PF=PM=FM， x2+1=4， 解得：x=2 ， x2= 12=
21、3 ， 满足条件的点P的坐标为(-2 ,3) 或(2 ,3),第36课时 二次函数综合题课时作业,13.如图，抛物线y=-x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作MEy轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为(-1,0) （1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标 （2）求EMF与BNE的面积之比,【答案】 （1）将A(-1,0)代入y=-x2+2x+c，得c=3， 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3， y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4 抛物线的顶点坐标为(1,4)； （2）A(-1,0)，抛物线的对称轴为直线x=1， 点B(3,0)，EM=1，B
22、N=2， EMBN， EMFBNF， ,第36课时 二次函数综合题课时作业,14.九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1x50）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元 （1）求出y与x的函数关系式； （2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果,第36课时 二次函数综合题课时作业,【答案】 （1）当1x50时，y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x=200 当50x90时，y=(200-2x)(90-3
23、0)=-120x+12000； （2）当1x50时，将二次函数配方：y=-2x2+180x+200=-2(x-45)2+6050 当x=45时，y有最大值，最大值为6050； 当50x90时，函数y=-120x+12000是一次函数，y随x的增大而减小， 当x=50时，y有最大值，y最大值为6000； 综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元； （3）当y=4800时，对于-2(x-45)2+6050=4800，有x=20或x=60 当20x50时，y4800； 当y=4800时，对于120x+120004800，有x60； 综上所述，当20x60时，每天销售利润不低于4800元,结束,谢谢！,
