1、信 号 与 系 统,第2章 连续时间系统的时域分析,第2章 主要内容,LTI连续系统的响应 微分方程的建立和求解 从 0- 到 0+ 状态的变化 零输入响应和零状态响应 冲激响应和阶跃响应 冲激响应 阶跃响应,卷积积分 信号的时域分解和卷积 卷积的图解 卷积积分的性质 卷积代数 奇异信号的卷积特性 卷积的微积分性质 卷积的时移特性 (t)函数性质归纳,1. 微分方程的建立和求解,LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。,1.1 建立微分方程对具体的物理系统
2、，要按照元件的约束特性和系统结构的约束特性来建立对应的微分方程。,一、LTI连续系统的响应,例1：如图所示为RLC并联电路，求并联电路的端电压 与激励源 之间的关系。,解 根据元件的电路电压关系有：,根据基尔霍夫电流定律有,整理得到,1.2 微分方程的经典解如果构成系统的元件都是参数恒定的线性元件（无储能），则构成线性时不变系统，对应的方程形式为线性常系数常微分方程。方程的解由齐次解和特解组成。,齐次解表示的是系统的自由响应，特征根称为系统的“固有频率”，它决定了自由响应的形式。特解称为系统的强迫响应，只与激励函数有关。整个系统的完全响应是由系统自身特性决定的自由响应和与外部激励信号有关的强迫
3、响应两部分组成。,给定微分方程和激励信号，方程有惟一解还必须给出一组求解区间的边界条件。对n阶微分方程，若 是 时刻加入，则把求解区间定为 ，一组边界条件(n个)可以给定为此区间任一时刻 ，要求满足 的各值。通常取 ，这时对应的一组边界条件称为初始条件。,若例2的方程给定下列初始条件： 则可以求出惟一解：,2. 从 0- 到 0+ 状态的变化,激励在t = 0时刻加入，激励加入之前瞬间系统的状态，这组状态 反映了系统的历史情况而与激励无关， 称为系统的起始状态（0-状态）。在激励加入之后，确定待定系数 需要用 t =0+时刻的初始值，即,通常，对于具体的系统，初始状态（0-状态）一般容易求得。
4、为求解微分方程，就需要从已知的初始状态设法求得 。,0 0：冲激函数匹配法 原理：根据t = 0时刻微分方程左右两端 及其各阶导数应该平衡相等。,例3：描述某系统的方程为已知 ， ， ，求 和,解 将 代入方程得设 则 而 在t = 0处连续 代入上面方程，得所以,当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时， 响应r(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。如果右端 不含时，则不会跃变。,练习：用冲激函数匹配法求解 在 时的变化,信 号 与 系 统,第2章 连续时间系统的时域分析（续）,第2章 主要内容,LTI连续系统的响应 微分方程的建立和求解 从 0- 到 0+ 状态的变化 零
5、输入响应和零状态响应 冲激响应和阶跃响应 冲激响应 阶跃响应,卷积积分 信号的时域分解和卷积 卷积的图解 卷积积分的性质 卷积代数 奇异信号的卷积特性 卷积的微积分性质 卷积的时移特性 (t)函数性质归纳,3. 零输入响应和零状态响应,线性时不变系统的响应还可以分解为零输入响应和零状态响应的叠加。,零输入响应,没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应，它满足的方程为,零输入响应的形式 其中的常数可以由 确定。,零状态响应,不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号所产生的响应，它满足的方程为,零输入响应的形式 其中 是特解，起始状态 。,例1：描述某系统的方程
6、为已知 ， ， ，求零输入响应和零状态响应。,解 1)零输入响应 的激励为0，故 满足,该齐次方程的特征根为 -1，-2，所以 代入初始值得,例2：描述某系统的方程为已知 ， ， ，求零输入响应和零状态响应。,续 2)零状态响应 满足,上式右端包含 函数，设 代入方程可得,所以有,对t 0有,不难求得齐次解为 特解为 3,代入初始值可得,所以,“自由响应”与“强迫响应” V.S. “零输入响应”与“零状态响应”,二、冲激响应和阶跃响应,1. 冲激响应 由单位冲激信号 引起的零状态响应称为冲激响应，记为 。,例3：描述某系统的方程为 求其冲激 响应。 解 根据 的定义，有,利用冲激函数匹配法，有
7、,对t 0有,方程的特征根为2和3，故系统的冲激响应为,代入初始值可得,所以,2. 阶跃响应 由单位阶跃信号 引起的零状态响应称为阶跃响应，记为 。,例4：描述某系统的方程为 求其阶跃响应。 解 系统的阶跃响应 满足方程,利用冲激函数匹配法，有,对t 0有,方程的特征根为-2和-3，特解为 2/5 故系统的阶跃响应为,代入初始值可得,由于 和 为微积分关系，则阶跃响应 和冲激响应 也满足：,例4也可以先求出系统的冲激响应，再通过积分，求出 系统的阶跃响应。,三、卷积积分,知识回顾：,信号分解成冲激函数的组合：,任意信号作用下的零状态响应：,LTI系统零状态,(定义),(时不变性),(齐次性),
8、(叠加性),(卷积积分),1. 卷积的定义 定义在 上的两个函数 和 ，则定义积分 为 和 的卷积积分，简称卷积， 记为,注意为积分变量，t为参变量，结果是t的函数,例5：已知求,解,当 t t）时，,2. 卷积的图解法卷积过程可分为四步： 换元：t换为 反褶平移：由 反转 ，右移t 乘积： 积分：从-到对乘积项积分,例6：已知 如图所示，求,解 图形比较复杂，进行换元换元 ，反褶平移, t0, 0t1, 1t2，, 2t3，, t3，,图解法一般比较繁琐，但若只求某一时刻卷积值时还是比较方便的。确定积分的上下限是关键。,补充作业： 已知 f1(t)和 f2(t)， f(t)= f1(t)*f
9、2(t)，求f(2)（图解法）,信 号 与 系 统,第2章 连续时间系统的时域分析(续),第2章 主要内容,LTI连续系统的响应 微分方程的建立和求解 从 0- 到 0+ 状态的变化 零输入响应和零状态响应 冲激响应和阶跃响应 冲激响应 阶跃响应,卷积积分 信号的时域分解和卷积 卷积的图解 卷积积分的性质 卷积代数 奇异信号的卷积特性 卷积的微积分性质 卷积的时移特性 (t)函数性质归纳,四、卷积积分的性质,1. 卷积代数,满足乘法三定律：,交换律： 分配律：,结合律：,2. 奇异信号的卷积特性,1. 2. 3.,推广：,k取正整数表示导数阶数，k取负整数表示重积分次数,3. 卷积的微积分性质
10、,1. 2.,推广：,设,则有,i，j取正整数时为导数的阶次，取负整数数时为重积分的次数。,如：,4. 卷积的时移特性,若,则,例：f1(t)如图， 求,解：,例：f1(t)和f2(t)如图，求,解：,因为,根据时移特性,求解卷积的方法可归纳为： 利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。 图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。 利用性质。比较灵活。 三者常常结合起来使用。,五、 (t)函数性质归纳,1. 相加 2. 相乘 3. 反褶 4. 比例变换 5. 平移,（ 无定义）,6. 卷积7. 复合函数,（f(t)为普通函数）,若f(t)=0有n个不等的实根，则有,例：求 解： 有两个实根，分别是则有所以,注意：如果f(t)有重根，f(t)无意义。,8. 积分：阶跃函数 9. 一阶微分：冲激偶函数 1. 奇函数 2. 相乘3. 比例变换4. 卷积,
