1、1,第五章 连续时间信号与系统的频域分析,2,目录,3,目录,4,目录,5,用时间作为变量描述信号我们称为信号的时域表示，显示信号随时间变换的快慢、出现先后、存在时间的长短以及信号是否按一定的时间间隔重复出现等。 用频率作为变量描述信号称为频域描述，揭示了信号各个频率分量的大小，信号的能量主要集中在哪个频率范 围等特性。信号的时域表示和频域表示是从信号的两个不同方面对信号进行描述， 在正交函数的基础上对时域信号的进行分解。最常用的分解就是傅立叶分解，也称为信号的傅立叶分析。,引言,6,5-1 信号的分解,在时域系统中任何信号都可以表示为移位冲激信号,的线性、加权组合，即,冲激信号的响应 是单位
2、冲激响应 若 对应的冲激响应表示成则系统的零状态响应为,7,5-1-1信号的正交分解,和,三角函数,，以及复指数函数,与,也是正交基底函数，同样可以对信号进行,分解。当我们选用三角函数,复指数函数作为基本信号 来对信号与系统进行分解,这就是傅立叶频域分析法.,对信号进行分解处理的信号(函数)称为基底函数.,图5-1 二维信号的正交分解 图5-2 三维信号的正交分解,8,信号的正交分解,设 , 为两个任意信号,如图所示5-3,(5-3),若设, 则误差函数,在此定义 为两个信号的相关系数.,两个任意信号间的关系:,图5-3 信号的波形,9,5-1-1 信号的正交分解,在对信号的分解过程中，需要遵
3、循信号能量误差最小的原则，也就是说 f e(t)的均方值 应该最小。令 为误差函数的均 方值 , 则,若 C12为零，由上式分母不能为零，成立的条件是：,从而求得相关系数C12的大小:,10,5-1-1 信号的正交分解,此时，f1(t) 、f2(t) 称为互为正交的函数，表示 f 1(t) 函数 中不含有 f2(t)的信息或者分量，同理， f2(t) 函数 中不含有f1(t) 的 的信息或者分量，反过来讲，如果两个信号不正交，就有相关关系，必能从一个信号中抽出另外一个信号的分量。我们对上面的分析重新表述为下列两式:(5-7)(5-8)凡是满足（5-7）与（5-8）两式的函数称为正交函数，当然在
4、复变函数中仍然可以讨论两个函数之间的正交性，在此不再赘述。,、,11,5-1-1 信号的正交分解,信号的分解是在正交基底函数下进行分解，那么任意信号f(t)就可以分解为n 维正交函数之和：等式左边表示原函数，等式右边表示近似函数， 称为相互正交的基底函数，上式适用于任何正交函数集。式中,12,5-1-1信号的正交分解,表示信号f(t) 与基底函数间的相关系数,是相互独立的，互不影响，计算时先抽取哪一个都可以，非正交函数就无此特性。,13,5-1-2 完备正交函数集,能使信号 f(t)进行正交分解的基底函数，并且分解后均方差为零的一组正交基底函数称为完备的正交函数集。一个信号可用完备的正交函数集
5、表示，正交函数集有许多，如： 正弦函数集 指数函数集 walsh函数集 正交函数集有许多重要的用途，例如进行频谱分析、信道编码等。,14,周期信号的定义是在（ ）区间，满足(5-11),最小的 称为周期信号 的基波周期， 角频率 称为 的基波角频率， 称为 的基波频率,5-2 周期信号的傅立叶级数分析,( ， 表示一个固定的常数， 注意符号与变量 的区别),15,当周期信号 满足狄里赫利条件时，就可以用复指数函数集或三角函数集的线性组合来表示，这种线性组合的表示称为傅立叶级数展开。 狄里赫利条件：在一个周期内，信号绝对可积；在一个周期内，极大值与极小值数目为有限个；在一个周期内，信号的间断点数
6、目应是有限个， 工程中所遇到的信号都满足狄氏条件。,16,5-2-1 指数形式的傅立叶级数分析,复指数函数集 是一个完备的正交基底函数集，任意满足狄里赫利条件的信号 f(t)可以用复指数函数集进行分解， (5-12) （5-12）式称为周期信号 的指数形式的傅立叶级数。 表明周期信号 可以分解成无穷多项，不同频率的指数函数的线性组合。,17,当 n0时，信号分解出负频率，在现在人们的认知范围不存在负频率。这是因为 是一个实数信号，在引入复数分解信号 时必须出现共轭项才能完整表示信号 ，因此负频率在这里只有数学含义。式中的 称为傅立叶系数，又称为频谱函数或复系数,18,5-2-1 指数形式的傅立
7、叶级数分析,从（5-12）中可以看出，周期信号 在复指数函数集上分解的各分量称为谐波分量。n=0 时, 称为直流分量；时，频率取 ，称为一次谐波（也称为基波）； 时， 称为二次谐波;以此类推，可知各次谐波是基波 的整数倍。,19,对（5-12）上式两边同时乘以 ，然后再一个周期内积分，即,或者写为式（5-13）式表明，周期信号 的指数形式的傅立叶级数的系数是一个复数，所以 也可以表示成,(5-13),20,5-2-2 三角形傅立叶级数,通过欧拉公式得到傅立叶级数的正弦形式表达式 若n为 之间的整数，则(5-15)其中(5-16)(5-17)(5-18),21,5-2-2 三角形傅立叶级数,式（
8、5-15）称为周期信号 的正弦形式的傅立叶展开式也经常写成(5-19)或 (5-20) 由欧拉公式可知：(5-21) 代入（5-13）式可得(n取 间的整数),22,5-2-2 三角形傅立叶级数,(5-22)（n取 之间的整数）通过比较可以得到指数形式的傅里叶系数与三角形式的傅里叶系数有以下关系：,23,5-2-2三角形傅立叶级数,24,5-2-3 信号的对称性与傅立叶级数的关系,周期信号的对称性大致分为两类，一类是整个周期对称，如奇函数或偶函数。另一类对称性是半波对称，即波形前半周期与后半周期是否相同或形成镜像关系。 1、偶函数 如果实周期信号 ，若满足 关系 ，则 是关于时间 t的偶函数，
9、其波形是关于纵轴对称，例如图5-4所示。,图5-4 偶函数,25,显然，不一定为零2 奇函数 如果实周期信号 ，若满足 关系 ，则 是关于时间 t的奇函数，其波形是关于原点对称的图形。,26,例如图5-5所示,根据式（5-16）、（5-17）可知,图5-5 奇函数,27,奇函数的三角形式的傅立叶级数只有正弦分量，其频谱函数 是虚函数。 3 半波镜像函数 如果实周期信号 ， 若满足 关系 则称 是半波镜像函数，,28,信号 不论是左移还是右移半个周期后再关于时间轴对称，得到信号 ，那么 与原信号重合。半波镜像周期信号的三角形式傅里叶级数只有奇次谐波分量，而无直流分量和偶次谐波分量。,的傅立叶级数
10、的偶次谐波为零, 即,29,4 半波重叠函数 如果实周期信号 ，若满足 关系，则称 为半波对称函数。从图中可以看出对信号 ，原波形向前或向后移动半个周期，得 ，并且与原波形重合。 对 进行傅立叶级数展开，即：,图5-7 半波重叠信号,30,半波重叠周期信号的三角形式傅里叶级数的奇次谐波项为零，只有偶次谐波分量。,31,5-3 周期信号的频谱分析,5-3-1 频谱的概念频谱就是信号中包含的所有频率成分的大小。信号分解为振幅不同和频率不同的正弦信号，这些正弦信号的幅值按频率排列的分布曲线，叫做频谱。 如果把 对 的关系绘成如图5-8（a）所示的线图，就可以清楚直观地看出各频率分量的相对大小，这种图
11、称为信号的幅度频谱，简称为幅度谱。 图中的每条线代表某一频率分量的幅度，成为谱线。 连续各谱线顶点的虚线称为包络线，它反映了各分量幅度变化的情况。,32,似还可以画出相位 对频率 的线图，称为相位频谱，或简称为相位谱，如图5-8（b）所示。 幅度谱和相位谱统称为信号的频谱图。,(a) 幅度谱 （b) 相位谱,周期信号的频谱只会出现在0， 等离散频率点，这种谱线称为离散谱.,33,5-3-2 周期信号的频谱特征,指数形式傅立叶级数的频谱图那么可以画出幅度 间的关系，也可画出 间的关系，如图5-9所示。,图5-9 周期信号指数形式的频谱图,幅度谱,相位谱,34,从图5-9可以看出，对于指数函数的谱
12、系数， 的幅度谱 为偶对称 ，而 的相位谱 为奇对称。 信号的频谱清晰地描述了信号中的频率成分，即构成信号的各谐波分量的幅度和相位。 频谱提供了另一种描述信号的方法，即信号的频域描述。信号的时域和频域描述从不同的角度展现了信号的特征。,35,【例题5-1】 已知周期性矩形脉冲号 ，如图5-10所示，试求 的傅立叶级数展开形式，并画出频谱图。,图5-10 例题5-1的信号,解： 周期矩形脉冲信号进行傅立叶级数展开，既可以展开成指数形式，也可以展开成三角函数形式，下面就两种形式分别展开。,36,1）先求展开成指数形式的傅立叶级数，为求展开式，先求谱系数 。,37,则 的傅立叶级数展开形式频谱图：画
13、出 和相位谱 ，如图5-11所示。(a),38,从上述分析我们可以看到 （1）周期信号 是时域表达式， 是变量，频谱函数 是周期信号 在频域中的表达式， 是变量； （2）周期信号 是连续信号，但它的频谱函数 是离散的， 只存在于频率为0， 这些离散点上。,39,5-3-2周期信号的频谱特性,（3）频谱函数 的幅度具有收敛性，随着频率增加， 逐渐减小； （4）指数形式的频谱图是双边谱，幅度谱 是偶函数，相位谱 是奇函数。 （5） 与 具有唯一对应性， 包含了信号 的全部信息。下面求三角形式的傅立叶级数与频谱 根据三角形式傅立叶级数展开形式去掉直流分量 ，则 为奇函数，如图5-12所示,40,5-
14、3-2周期信号的频谱特性,所以,图5-12 去掉直流分量的周期信号,41,5-3-2周期信号的频谱特性,三角形式傅立叶级数的频谱图，如图5-13所示。,将（1）式化为,（1）,42,5-3-2周期函数的频谱特性,从三角形式的频谱图可以看到： （1）周期信号 三角形式的傅立叶级数是频谱图仍然具有离散性， （2）幅度 具有收敛性， 随 增大而减小。,（a) 幅度谱 (b) 相位谱,43,5-3-2周期信号的频谱特性,（3）三角形式的傅立叶级数的频谱是单边谱； （4）比较三角形式与指数形式傅立叶级数的频谱，可以看 到，三角形式幅度谱线的高度是指数形式幅度谱线高度的 二倍，（注意：n=0 除外），也就
15、是说把负频率上的谱线 与正频率上的谱线加起来，即是 的谱线。,44,5-3-3信号的有效带宽,分析周期矩形脉冲信号的频谱。则其指数形式的傅里叶级数的系数,图5-14 周期矩形脉冲信号,45,5-3-3信号的有效带宽,因为周期矩形脉冲信号是偶函数，所以求出的谱系数 是实函数。 对于实函数，当 ，其谐波分量的相位为零； 当 相位为 ，如图5-15所示。因此可以将其幅度谱和相位谱画在同一张图中。如图5-16所示。（注意：只有在傅里叶级数 是实函数时，才可以这样画。,46,在一般情况下，如果 是复函数，则必须分别画出幅度谱和相位谱两张图）,5-3-3信号的有效带宽,图5-15 周期矩形脉冲信号的幅度谱
16、和相位谱,47,5-3-3 信号的有效带宽,从周期矩形脉冲信号的频谱图中我们可以看出幅度谱的包络线是 函数波形。最大值出现在 时，为 频率间隔为 频谱包络线在当 时，曲线通过零点。,。,48,5-3-3信号的有效带宽,其中第一个零点在 。 在 区间，信号包含了90%的能量（具体推导见例题5-2）。 超过第一个零点，则谐波的幅度衰减得很快。因此对于矩形脉冲信号，我们将包含主要谐波分量的 这段频率范围称为其有效频带宽度（简称带宽），以符号 （单位rad/s）或者 （单位Hz）表示，即有,49,从式（5-24）中可以看出，信号的有效带宽与信号时域持续时间 成反比。即 越大，带宽 越窄；越小，带宽 越
17、宽。 对于一般周期信号，将其幅度谱中幅度下降为 的频率区间定义为频带宽度。 语音信号的有效频率为3003400Hz，它属于低频信号。,50,5-3-4 平均功率,(1)周期信号的平均功率与谱系数 的关系 周期信号的平均功率为 由于周期信号 的指数形式傅里叶级数为 将其代入周期信号的功率计算式，有,51,5-3-4 平均功率,（5-25）,交换求和与积分的次序，得,（5-25）式也称为帕斯瓦尔定理。,52,表示信号中所包含所有频率成分的功率，与频谱类似，但是横坐标是频率，纵坐标是功率。 显然，周期信号的功率谱也是离散谱。 从周期信号的功率谱中不仅可以看到各个功率分布的情况，而且同样可以确定周期信
18、号的有效带宽。,分布的特性曲线称为周期信号的功率谱。,53,(2)周期信号的平均功率与三角形式的傅里叶系数的关系 周期信号的平均功率为由于周期信号 f(t) 的三角形式傅里叶级数为,代入平均功率的计算式中，有,54,5-3-4 平均功率,交换积分和求和次序，由于三角函数的正交性，,55,5-3-4 平均功率,由上式可以看出，周期信号的平均功率等于傅立叶级数展开式各谐波分量有效值的平方和。从另一个方面也反映出时域和频域功率守恒。,和,所以,56,【例题5-2】图5-17所示的周期矩形脉冲信号，已知 ，计算信号的总功率，以及前5次谐波的功率之和。解： 信号的总功率 周期信号的谱系数,图5-17 例
19、题5-2的信号,57,所以 rad/s。 而第一个零值点 。 即在0到第一个零值点之间含有5次谐波。,5-3-4平均功率,58,同理可得,59,5-3-4平均功率,前5次谐波得,通过计算我们验证了在信号的有效带宽（ ）内含有信号的绝大部分能量。有效带宽外信号的能量迅速衰减，在工程上可以忽略。,60,5-4 非周期信号的频谱分析傅立叶变换,当周期信号的周期T趋于 时，周期信号就转变为了非周期信号，设周期矩形脉冲信号 f(t)（其中角标T为周期信号的表示，以期区别与非周期信号的表示），如图5-11所示。,图5-18 周期矩形脉冲信号,61,5-4 非周期信号的频谱分析傅立叶变换,为周期，脉宽为 ，
20、基频为 ，用指数形式傅立叶级数展开可得,（5-27）,62,5-4 非周期信号的频谱分析傅立叶变换,由（5-27）式可知，当 变为非周期信号 时，周期T趋于无穷大，此时 趋于零， 趋于无穷小， 也就是说随着T的增大，谱线幅度越来越小，谱线也间隔越来越小。 当 时，谱线幅度无穷小，离散的频谱将变成连续谱， 这时无法用傅立叶级数展开对非周期信号进行频谱分析，但是谱线幅度仍然具有相对大小的特性，为了分析非周期信号的频谱，下面引入傅立叶变换。,63,假设有周期信号 ，其周期为T，频率 ，则谱系数则展开成级数有,64,当周期 ，周期信号演变成非周期信号 ,谱线间隔 ，即离散谱变成连续谱，原来的离散量 演
21、变成连续量 。离散求和 运算 变成连续积分 运算 ，即,式（5-28）（5-29）是一对傅立叶变换对，式（5-28）称为非周期信号 的傅立叶正变换或称为频谱密度函数.,（5-28）,（5-29）,65,傅里叶正变换 傅里叶反变换,也可表示为,式（5-28）表明，非周期信号可以分解成无穷多个虚指数函数 之和，指数分量的谐系数振幅是一个无穷小量 ，它占据了从 到 的整个频域。,66,5-4-2 非周期信号的频谱,非周期信号 的傅立叶变换 还可以写为：（5-30）,定义,则,显然， 是一个复数，其实部 是频率 的偶函数， 虚部 是频率 的奇函数。,67,幅度频谱 相位频谱,幅模 表示了信号 的各频率
22、分量的比例关系，称 的关系为幅度频谱，如图5-19(a)所示。,幅角 表示了信号 的各频率分量的初相角，称的关系为相位频谱，如图5-19（b）所示。,68,根据信号 的奇偶性，还可以写出频谱函数 的特殊形式。若 是偶函数，则 只含有实部 ， 若 是奇函数，则 只含有虚部,另外，利用 与 的关系，还可以把 写成,69,5-4-2 非周期信号的频谱,上式说明非周期信号也可以分解成无限多个，无穷小量不同频率的正弦信号之和。各频率分量的振幅为它占据了从0到 的频率范围，从各分量的振幅总可以 看出 是单位频率上的幅度，所以频谱函数 又称为频谱密度函数。,70,5-4-3 傅立叶变换存在的条件,当信号 在
23、无限区间内满足绝对可积的条件时，则它的傅立叶变换 存在，则(5-32)这是傅立叶变换存在的充分条件，而不是必要条件，因为有些不满足绝对可积条件的信号，但当引入了冲激函数 之后，就可以大大地扩展傅立叶变换的范围。,71,5-5典型信号的傅立叶变换,1 单个门函数 图5-20中的门函数 ，图5-20 单个门函数 其幅度为A，宽度为 ， ， 则,72,5-5典型信号的傅立叶变换,（5-33） 式（5-32）表明单个门函数的傅立叶变换是一个抽样函数。 当 时 ， 。 取 ， 的第一个零点的频率为 ， 定义 （或者 ）之间的频率范围称为信号宽度。,73,5-5典型信号的傅立叶变换,（5-34）式（5-3
24、3）式表明，信号在时域中 越窄，信号带宽越宽；反之， 越小，带宽越窄。 非周期信号 是一个偶函数，其傅立叶变换 是 的实函数，所以频谱函数 的幅度频谱 和相位频谱 可以画在同一个图上，如图5-14所示。,74,5-5典型信号的傅立叶变换,当然， 也可以分别画在两个图上，即幅度谱 和相位谱 ，如图5-22所示。,图5-21 矩形脉冲信号的频谱图,图5-22 幅度谱 相位谱,75,5-5典型信号的傅立叶变换,2 单边e指数函数如图5-23所示，它的傅立叶变换为即（5-35） 可进一步表示为,76,其中幅度频谱,相位频谱,77,5-5典型信号的傅立叶变换,3 单位冲激信号单位冲激信号 的傅立叶变换,
25、即,78,5-5典型信号的傅立叶变换,4 直流信号 直流信号不满足绝对可积条件，所以不能用傅立叶积分式求其傅立叶变换。但是频谱函数引入冲激信号 之后，这些信号的频谱存在。 频谱函数为 的原函数是时域中的一个直流信号，即所以 或写成 则直流信号A的傅立叶变换为,79,5-5 典型信号的傅立叶变换,直流信号及其频谱函数，如图5-25所示。,80,5 符号函数 符号函数的定义式为,上式还可以用指数函数的极限来定义，如图5-26所示对上式取傅立叶变换得,81,5-5典型信号的傅立叶变换,即 （5-39） 正负号函数及其频谱如图5-27所示。,图5-27,82,5-5典型信号的傅立叶变换,6 单位阶跃信
26、号 单位阶跃信号 同样不满足绝对可积条件，因此我们可以写成直流与负号函数的线性组合其傅立叶变换为（5-40）,即,83,5-5典型信号的傅立叶变换,阶跃信号及其频谱如图5-28所示。图5-28,84,5-6周期信号的傅立叶变换,1. 正弦型信号的傅里叶变换利用欧拉公式下面我们利用定义式求 的傅里叶变换所以，其频谱、相位谱分别如图5-29（a）、（b）所示,85,5-6周期信号的傅立叶变换,图5-29 （a）幅度谱 （b）相位谱,86,5-6周期信号的傅立叶变换,2. 一般周期信号则周期信号 为 对上式取傅立叶变换得交换运算顺序,设周期信号一般周期信号 ，基频 ，其复系数,（5-41）,87,5
27、-6周期信号的傅立叶变换,利用定义式计算得所以 也就是周期信号的傅立叶变换为（5-42） 从（5-42）式可清楚地看出：周期信号的频谱函数是离散的，但是它不同于傅立叶级数。 单个脉冲的傅立叶变换与周期性脉冲信号的傅立叶级数之间的关系。从周期信号 中取一个周期的信号称单个,88,5-6周期信号的傅立叶变换,脉冲信号 ，其傅立叶变换为（5-43） 比较（5-41）与（5-43）两式，可得到关系式（5-44）,上式表明：若求周期信号的复系数 ，可先求单个脉冲的傅立叶变换 ，然后将其变换式中的 用 替代，再乘以 即可。,89,【例题5-3】：如图5-32（a）所示，求周期冲激序列 的傅里叶变换。,图5
28、-32（a）冲激序列,解： 已知 的傅里叶变换为 ，根据（5-43）可知：,90,冲激序列的傅里叶变换频谱如图5-31（b）所示,91,【例题5-4】如图5-31所示，求矩形脉冲序列的傅里叶变换,解：已知单个矩形脉冲的傅里叶变换,92,5-6 周期信号的傅立叶变换,根据（5-42）式可 知：,93,5-7 傅立叶变换的性质,傅立叶变换的性质 1 线性 傅里叶变换是一种线性运算，因此它的线性特性表示为 若 则 （5-45） 上式表明，两个时间信号的线性组合，其频谱函数等于两个时间信号的频谱函数的线性组合。在线性时不变系统中，这个性质是显而易见的。（5-44）式可以推广到多个信号的线性组合。,94
29、,5-7傅立叶变换的性质,2、共轭对称特性 若 则 证明： 由于,95,5-7傅立叶变换的性质,显然,为偶函数,为奇函数,根据定义，有,96,5-7傅立叶变换的性质,3 互易对称性 若 则 （5-49） 证明： 根据傅立叶反变换式，,97,5-7傅立叶变换的性质,用 -t置换式中的t ，则变为再将上式中的 与 t 互换，即 用 置换 t ，则上式变为或者写成 在上一节中我们研究直流信号与冲激信号的频谱函数时，已经看到了这种对称性，如图5-22所示即,98,5-7傅立叶变换的性质,图5-32 傅里叶的对称性 从图5-32也清楚地表明了单个门函数抽样函数的对称性。,99,5-7傅立叶变换的性质,图
30、5-33 门函数与抽样函数的对称特性,100,5-7傅立叶变换的性质,对于偶函数有 ， ，,所以通过对称性，我们可以求出函数的频谱函数 ，是一个矩形的频谱。,101,5-7傅立叶变换的性质,【例题5-5】求信号 的傅里叶变换。 解： 符号函数的傅里叶变换 则利用傅里叶变换的对称性质，把符号函数的频谱 再将符号函数的时域表达式中的变量 ，则有它的幅度谱和相位谱如图5-34所示。,102,5-7傅立叶变换的性质,图5-34 信号 的幅度谱和相位谱图,103,5-7傅立叶变换的性质,4 尺度变换 若 则 ，a为实常数 （5-50） 证明：假设 的变换式为,令 对上式进行变量置换，得,104,5-7傅
31、立叶变换的性质,若 ，用同样的方法可以很容易证明 综合以上两种情况，即证明了式（5-47）。 式（5-47）表明，信号在时域中持续的时间与在频域中占有的频宽成反比。也就是说，信号在时域内有线性标度因子a的变换，相应它在频域内则有线性因子 的变换，,105,5-7傅立叶变换的性质,其幅度则应乘以因子1/a 。 在通讯中，为了加快通讯速度，就得压缩信号占有的时间，这样信号占有的频带宽度就得加宽，所以通讯设备必须有足够的宽带，才能保证信号传输不失真。因此，通讯速度与频宽这一对矛盾必须兼顾考虑，这是通讯系统分析中的一个重要问题。,106,107,5-7傅立叶变换的性质,假若有一信号 ，且存在频谱函数
32、，并满足， ，即信号与其频谱函数都是衰减的函数。的傅立叶变换式为,上式表明， 等于时间信号曲线下面的面积值，,则,（5-51）,108,同样， 的逆变换式为则 上式表明，频谱函数 曲线下的面积值等于,（5-52）,109,5-7傅立叶变换的性质,若令 为时间信号 的等效宽度， 为频谱函数 的等效宽度，则信号 曲线下的面积等效为 ，而频谱函数 曲线下的面积等效为 ，如图5-36所示（5-35）（5-36）式也可写为,图5-36 的等效宽度 与 的等效带宽,110,5-7傅立叶变换的性质,由此可以得到一个重要的公式,（5-53）,（5-53）式进一步阐明了信号的等效宽度 与所占有的等效带宽 的反比
33、关系。,111,5 时移特性 若 则 （5-54） 证明 对时移信号 进行傅立叶变换，,令 ，进行变量置换，则,112,5-7傅立叶变换的性质,时移特性还可以表示为,上式说明了信号在时间轴上时移 （ 或 ） 并没有改变它的幅度频谱，只是在相位频谱中引入了相移 。,113,5-7傅立叶变换的性质,【例题5-6】求图中三脉冲信号的频谱,解： 取中间的 为矩形脉冲信号 则其频谱函数为,114,因为,则，根据时移性质有,115,5-7傅立叶变换的性质,6 频移特性 若 则证明因为,116,5-7傅立叶变换的 性质,图5-39频谱搬移性质 频移特性是傅里叶变换的一个重要的性质，它表明信号在时域中乘上一个
34、因子 ，它的频谱函数沿频率轴向右移动 ，这种频谱搬移技术，在通讯系统中得到了广泛的应用，它是调制、解调和变频等技术的理论基础。,117,5-7傅立叶变换的性质,7 卷积定理 （1）时间卷积定理 若 则 证明 若 ， 对其等式两边取傅立叶变换交换积分顺序,118,5-7傅立叶变换的性质,也就是 时域内的卷积对应在频域内是相乘，这个性质是傅立叶变换中最重要的性质之一，在分析LTI系统中有着重要的意义，它是滤波技术的理论基础。,119,5-7傅立叶变换的性质,（2）频域卷积定理 若 则 其证明方法与时间卷积定理的证明过程类同，读者可自行证明，这个性质说明两个时间信号乘积的频谱等于各个信号的频谱函数卷
35、积再乘以 。 一个信号乘另一个信号，可以看作是一个信号调制另一个信号的振幅，因此称为幅度调制，这个性质是通信系统中调制理论的基础，关于调制的概念在后面将专门分析。,120,8 时间微分和时间积分 （1）时间微分性质 若 ， 则 推广到n阶导数，可有,121,5-7傅立叶变换的性质,证明 由傅立叶逆变换式,将等式两边对t 求导，则有,由此可以看出 和 是一对傅立叶变换对。,122,5-7傅立叶变换的性质,【例题5-7】求冲激偶 的频谱函数 解：首先我们用定义式求冲激偶 的频谱函数,123,5-7傅立叶变换的性质,用微分性质求冲激偶 的频谱函数因为所以 （2）时间积分性质若 ，则,124,证明 时
36、间信号 的积分可以看作是 与阶跃信号 的卷积，即,利用时间卷积定理，则,其中,125,5-7傅立叶变换的性质,（3）利用微分和积分性质计算傅立叶变换 对于分段定义的信号，若通过定义式很难计算出频谱函数。但是若经过微分可以出现冲激函数或者出现原信号和冲激函数，则应用微分性质计算频谱函数，十分方便。 因为 ， 则,126,5-7傅立叶变换的性质,【例题5-8】求如图5-40所示三角函数的频谱解： ， 如图5-41所示,5-40 三角函数,图5-41,127,5-7傅立叶变换的性质,如图 5-42所示,图 5-42,可见，二次微分函数的频谱函数是很容易求出来,128,5-7傅立叶变换的性质,有因为,
37、129,5-7傅立叶变换的性质,其频谱函数如图5-34所示,图5-43,130,【例题5-9】求下图5-44所示区间正弦波的频谱函数,解： 分别求出 的 和 如图5-45所示,图5-44,图5-45,131,5-7 傅立叶变换的性质,132,5-7傅立叶变换的性质,(4)若信号 含有确定的直流信号（恒定分量）,即 （常数）,证明 ： 若对 的微分信号 求积分,可以看作是 与 的卷积,其傅立叶变换为,133,5-7傅立叶变换的性质,因为,显然有等式,134,5-7傅立叶变换的性质,其中 整理可得 可以推广到n阶导数上式是一个很有用的公式，因此对于含有恒定分量的信号，现在可以直接求傅立叶变换。,1
38、35,5-7傅立叶变换的性质,9、频域微分性质 若 ， 则 （5-64） 证明 对傅立叶变换式 求导数,136,5-7傅立叶变换的性质,比较傅立叶变换定义式可知：与 是一对傅立叶变换对【例题5-10】求 解：,即,137,5-8 功率谱与能量谱,5-8-1 能量信号与功率信号 1、能量信号 设信号 （电压或电流） 在单位电阻上的瞬时功率 为 ，在 区间 的能量为 由此定义能量信号：在时间区间 的信号能量E满足当 为实函数时，可写为,（5-74）,（5-75）,138,5-8功率谱与能量谱,2、功率信号 定义功率信号：在时间区间 信号的平均功率P满足（5-76）,式（5-75）至（5-77）式说
39、明了： （1）因能量信号的E有限，故平均功率P=0； （2）因功率信号的P有限，故能量 。,对于实函数 ，可写为,（5-77）,139,由于大多数周期信号是功率信号，故计算周期信号的平均功率P，只要在一个周期T内进行即可，简单写为,140,5-8功率谱与能量谱,【例题5-11】判断下面的信号 是功率信号还是能量信号。图5-46 例题5-11图 解：,141,5-8功率谱与能量谱,因为信号 的功率满足 ，但是其能量 所以信号 为功率信号。 总结： 一般周期信号为功率信号； 非周期信号，在有限区间有值，为能量信号； 还有一些非周期信号，也是非能量信号， 如阶跃信号 是功率信号，而 为非功率信号，非
40、能量信号。,142,5-8 功率谱与能量谱,5-8-2能量谱 在时域中计算能量信号 的能量为,令 ，则上式可以很简洁的表示为,也就是 的傅立叶变换为,若 ,利用频域卷积定理，则有,143,称为能量密度谱，表示单位带宽的信号能量，则式（5-80）可以写成,（5-80）,令,144,式（5-72）式称为非周期信号的帕色瓦能量等式（帕色瓦定理）。 它表明：在时域中计算信号 的能量必须等于在频域中计算 的能量；信号的能量随频率的分布只与频谱函数 的幅度谱 有关，与相位谱无关。,145,5-8-3 功率谱,假设存在一个功率有限的随机信号 ，如图5-47所示。,截尾函数,146,5-8功率谱与能量谱,当截
41、取的长度T为有限值时，很明显为能量有限信号 截尾信号的能量：对于随机信号 可知其功率为,当 的极限存在时，我们定义,为功率密度谱函数，简称功率谱,147,5-8功率谱与能量谱,功率谱的物理意义:单位频带内的信号功率岁频率的变化规律。反映了信号功率在频域内的分布情况。功率谱函数是偶函数。它的曲线所覆盖的面积数值为信号总功率的大小，它保留了信号幅度信息而丢掉了相位信息，所以有相同幅度谱的信号，不论它们的相位谱是否相同，都有相同的功率谱。,148,5-9 连续系统的频域分析,5-9-1系统函数 在时域中用冲激响应 表征系统自身的固有特性，激励 与冲激响应 和系统响应 之间的关系为若令 ， ， 则 由
42、卷积定理可得到式中 称为系统函数，或称为传输函数。,149,5-9 连续系统的频域分析,系统对输入信号 的频谱的修改或过滤取决于系统函数 ， 改变了包含在输入信号中的各频率分量（振幅和相位两个方面）的相对比例，也就是 对输入信号 的各种频率分量加权。 系统函数的另一种表达式说明了系统函数只取决于零状态响应变换式 与激励信号变换式 的比值，与激励形式 无关。,150,5-9连续系统的频域分析,系统函数 是 的复函数，可以表示为式中 称幅频特性，是 的偶函数； 称相频特性，是 的奇函数。,151,5-9 连续系统的频域分析,当给定激励 ，则系统的响应为（5-87） 式中： 为激励的幅度频谱；为激励
43、的相位频谱；为响应的幅度频谱；为响应的相位频谱。,152,5-9 连续系统的频域分析,则时间函数应该指出，在频域分析中，求逆变换积分运算是较麻烦的 ，所以研究系统的频域分析，主要目的不是用来求时域解 ，而使通过对系统性能的分析，研究如何对激励信号进行 加工处理，来改变其频谱结构，从而进一步研究系统，综 合系统，设计利用系统。,153,5-10 无失真传输系统,无失真传输是系统对激励信号 的响应 满足条件（5-88） 上式说明：无失真传输系统的输出信号 与输入信号 波形完全相同，大小只差比例系数K，出现的时间延时了常数 。 式中：K为增益系数， 为延迟时间。如图5-49所示,图5-49 无失真传输,
