1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教B版 必修1,函 数,第二章,2.1 函 数,第二章,2.1.4 函数的奇偶性,第1课时 函数的奇偶性的定义,大自然是一个真正的设计师，它用对称的方法创造了千百万种不同的生命被誉为“上海之鸟”的浦东国际机场的设计模型，是一只硕大无比、展开双翅的海鸥它的两翼呈对称状，看上去舒展优美，它象征着浦东将展翅高飞，飞向更高、更广阔的天地，创造更新、更宏伟的业绩一些函数的图象也有着如此美妙的对称性，那么这种对称性体现了函数的什么性质呢？,1设函数yf(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有xD，且f(x)f(x)，则这个函数叫做_ 2设函数yg
2、(x)的定义域为D，如果对于D内的任意一个x，都有xD，且g(x)g(x)，则这个函数叫做_ 3当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称函数具有_ 4奇函数的图象关于_对称；偶函数的图象关于_对称,奇函数,偶函数,奇偶性,原点,y轴,答案 D,2对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有( ) Af(x)f(x)0 Bf(x)f(x)0 Cf(x)f(x)0 Df(x)f(x)0 答案 C 解析 f(x)为奇函数，f(x)f(x) f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)20.,3(20142015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x1，则当
3、x0， f(x)(x)1x1， 又f(x)为奇函数， f(x)f(x)x1， x0时，f(x)x1.,答案 2,5已知yf(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)x22x，则f(x)在R上的解析式为_,判断下列函数是否具有奇偶性：,函数奇偶性的判断,分析 判断函数的奇偶性要先求定义域，再寻找f(x)与f(x)的关系 解析 (1)函数f(x)的定义域为R， 又f(x)2(x)43(x)2 2x43x2f(x)， 函数f(x)2x43x2是偶函数,点评 判断函数的奇偶性，首先，要求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性必须具备的一个条件，否则，函数不具
4、有奇偶性,分析 判断分段函数的奇偶性，要注意x与x是在不同的“段”中，则f(x)与f(x)是不同的关系式,分段函数奇偶性的判定,点评 1.判断分段函数的奇偶性，必须分段考虑 2若分段函数是奇函数或偶函数，常用含绝对值符号的函数表达式来表示,解析 函数f(x)的定义域为R，关于原点对称， 当x0时，x0，f(x)(x)22x22(x22)f(x) 当x0时，f(0)0，即x0时，f(x)f(x) 综上所述，xR，有f(x)f(x)，故该函数为奇函数.,若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时， f(x)的解析式的求解，转化到x0上,利用奇(偶)函数图象的对称特征，求关于原点对称的区间上的解析式,
5、解析 当x0时，x0， 当x0时，f(x)x(1x)， f(x)x(1x)， 又f(x)为奇函数，f(x)f(x)， f(x)x(1x)，f(x)x(1x)， 又f(0)f(0)f(0)，f(0)0， 当x0时，f(x)x(1x),点评 如果f(x)是奇函数，且f(x)在x0处有定义，则必有f(0)0，这是因为： 若f(x)为奇函数，则对定义域内的任意数x，都有f(x)f(x)0，当x0时，有f(0)f(0)0， f(0)0.,(20142015学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试)已知函数f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)2x1，则函数f(x)的解析式为_,已知函数yf(x)(x
6、R)，若对于任意实数a、b都有f(ab)f(a)f(b)，求证： f(x)为奇函数 分析 因为对于任意实数a、b都有f(ab)f(a)f(b)，可以先令a、b为某些特殊值，从而得出f(x)f(x) 证明 令a0，则f(b)f(0)f(b)， f(0)0，再令ax，bx， 则f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，且定义域xR关于原点对称，f(x)是奇函数,抽象函数奇偶性的证明,已知函数yf(x)(xR)，若对于任意实数x1、x2，都有f(x1x2)f(x1x2)2f(x1)f(x2)，求证： f(x)为偶函数 证明 令x10，x2x， 得f(x)f(x)2f(0)f(x)， 令x1x，x2
7、0，得f(x)f(x)2f(0)f(x)， 由得， f(x)f(x)，且定义域xR关于原点对称， 函数f(x)为偶函数,正解 函数f(x)的定义域为x|x1，不关于原点对称， f(x)既不是奇函数也不是偶函数,1判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 首先判断函数的定义域是否关于坐标原点对称，若关于坐标原点不对称，则可以直接判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若关于坐标原点对称，再判断f(x)是否等于f(x)或判断f(x)f(x)是否等于零 (2)图象法 f(x)是奇(偶)函数的充要条件是f(x)的图象关于坐标原点(y轴)对称,(3)性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； 奇函数
8、的和、差仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数； 一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数 (4)抽象函数奇偶性的判断 明确目标：判断f(x)与f(x)的关系； 用赋值法在已知抽象关系中凑出f(x)与f(x)； 用赋值法求特殊函数值,注意事项： )根据x所属区间进行分类讨论，但书写时一般先写相应x的所属区间 )f(x)与f(x)需用不同分段上的解析式，因为x与x所属区间不同 )定义域内的x值应讨论全面，不能遗漏,2巧用奇、偶函数的图象特征 由于偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，因而在研究这类函数的性质时，只需通过研究函数在(，0(或0，)上的情形，便可推断出函数在整个定义域上的情形,奇函数f(x)的定义域是2,2且其图象的一部分如图所示，则不等式f(x)0的解集是_,解析 由于f(x)是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称，补全其图象，如图所示，从图上可以看出f(x)0的解集是(1,0)(1,2)答案 (1,0)(1,2),
