1、2 复数的四则运算,1.理解并掌握复数代数形式的加、减运算. 2.掌握复数代数形式的乘、除运算法则,理解互为共轭复数的概念.,1.复数的加法与减法 设a+bi和c+di是任意两个复数,我们定义复数加法、减法如下:(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i.也就是说,两个复数的和(或差)仍然是一个复数.它的实部是原来两个复数的实部的和(或差),它的虚部是原来两个复数的虚部的和(或差).,1,2,3,【做一做1】设a,bR,(5+bi)+(b-3i)-(2+ai)=0,那么复数a+bi的模为( ) A.0 B.6 C.3 5 D.2 3 解析:a,bR,且(5+bi)+(b-3i)-(2+ai
2、)=(5+b-2)+(b-3-a)i=0, 5+2=0, 3=0, a=-6,b=-3. |a+bi|= (6 ) 2 +(3 ) 2 =3 5 . 答案:C,1,2,3,2.复数的乘法 (1)复数乘法的定义 设a+bi与c+di分别是任意两个复数,我们定义复数的乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.也就是说,两个复数的积仍然是一个复数.复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但在运算过程中,用i2=-1进行化简,然后把实部与虚部分别合并. (2)复数乘法的运算律 复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.对任何z1,z2,z3C,有 z1z2=z2z1(交换律
3、); (z1z2)z3=z1(z2z3)(结合律); z1(z2+z3)=z1z2+z1z3(分配律).,1,2,3,1,2,3,【做一做2】若复数z满足方程z2+2=0,则z3的值为( ) A.2 2 B.-2 2 C.2 2 i D.-2 2 i 解析:设z=a+bi(a,bR),由z2+2=0, 得a2-b2+2abi+2=0. 由 2 2 +2=0, 2=0, 解得 =0, = 2 , z= 2 i,z3=2 2 i. 答案:C,1,2,3,1,2,3,【做一做3】若复数z同时满足z- =2i, =iz(i为虚数单位),则z= . 解析:设z=a+bi(a,bR),则 =a-bi. z
4、- =2i,(a+bi)-(a-bi)=2i, b=1,z=a+i, =a-i. =iz,a-i=(a+i)i. a-i=-1+ai. 由复数相等的充要条件,得a=-1.z=-1+i. 答案:-1+i,1,2,3,(2)除法算法:给出两个复数a+bi,c+di(c+di0),我们把满足等式(c+di)(x+yi)=a+bi的复数x+yi叫作复数a+bi除以c+di所得的商,记作(a+bi)(c+di)或者 +i +i , +i +i = (+i)(i) (+i)(i) = (+)+()i 2 + 2 . 【做一做4】i是虚数单位,则 2 i 3 1i 等于( ) A.1+i B.-1+i C.
5、1-i D.-1-i 解析: 2 i 3 1i = 2i(1+i) (1i)(1+i) = 2i(1+i) 2 =-i-i2=1-i. 答案:C,1,2,3,1.复数的除法如何进行简便运算? 剖析:在实际进行的复数除法运算中,每次都按乘法的逆运算将十分麻烦.我们可以用简便方法操作:先把两个复数相除写成分式形式,然后把分子与分母同乘分母的共轭复数,使分母“实数化”,最后再化简. 2.如何在复数范围内求一元二次方程的根? 剖析:这里需要分成实系数一元二次方程与复系数一元二次方程两种类型考虑. (1)对于实系数的一元二次方程,我们可以用求根公式直接求出; (2)对于复系数的一元二次方程,通常设出根,
6、代入方程,然后解方程组求得.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练1】在复数范围内解方程|z|2+(z+ )i= 3i 2+i (i为虚数单位). 解: 3i 2+i = (3i)(2i) (2+i)(2i) = 63i2i+ i 2 5 =1-i, |z|2+(z+ )i=1-i. 设z=a+bi(a,bR),则a2+b2+(a+bi+a-bi)i=1-i. 即a2+b2+2ai=1-i, 2 + 2 =1, 2=1.
7、= 1 2 , = 3 2 或 = 1 2 , = 3 2 . z=- 1 2 + 3 2 i或z=- 1 2 3 2 i.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(1)解:z是虚数, 设z=x+yi,x,yR,且y0. m=z+ 1 =x+yi+ 1 +i =x+yi+ i 2 + 2 =x+ 2 + 2 + 2 + 2 i. m是实数,且y0,y- 2 + 2 =0. x2+y2=1,即|z|=1,此时m=2x. -1m2,-12x2,即- 1 2 x1. 故|z|=1,z的实部的取值范围是 1 2 ,1 .
8、 (2)证明:u= 1 1+ = 1(+i) 1+(+i) = (1i)(1+i) (1+ ) 2 + 2 =- 1+ i. x 1 2 ,1 ,y0, 1+ 0,u为纯虚数.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,【变式训练2】已知关于t的一元二次方程t2+(2+i)t+2xy+(x-y)i=0(x,yR). (1)当方程有实根时,求点(x,y)的轨迹及方程; (2)求方程的实根t0的取值范围. 解:(1)设方程的实根为t0, 则有 0 2 +(2+i)t0+2xy+(x-y)i=0, 即( 0 2 +2t0+2xy)+(t0+x-y)i=0. 由复
9、数相等的充要条件,得 0 2 +2 0 +2=0, 0 +=0, 消去t0,得(y-x)2+2(y-x)+2xy=0, x2+y2-2x+2y=0,即(x-1)2+(y+1)2=2. 点(x,y)的轨迹方程是(x-1)2+(y+1)2=2, 其轨迹是以(1,-1)为圆心, 2 为半径的圆.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,(2)直线t0+x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=2有公共点, |1(1)+ 0 | 2 2 ,即|t0+2|2, -2t0+22,即-4t00, 方程的实根t0的取值范围是-4,0.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型五,题型一,题型二,题型三,题型四,题
10、型五,正解1:当a,b,c,dR时,+i +i = (+i)(i) (+i)(i) = i+i+ 2 + 2 = + 2 + 2 + 2 + 2 i, 若 +i +i 为实数,则虚部 2 + 2 =0, 所以bc=ad. 正解2:若 +i +i 为实数,则 +i +i = +i +i , 所以 +i +i = i i ,所以 +i +i i i =0. 所以(a+bi)(c-di)-(a-bi)(c+di)=0, 整理得bc=ad.,1复数z=i(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:z=i+i2=-1+i,对应点为
11、(-1,1),故在第二象限,选B. 答案:B,1 2 3 4 5 6,2已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=( ) A.-3+i B.-1+3i C.-3+3i D.-1+i 解析:(-1+i)(2-i)=-2+i+2i-i2=-1+3i,故选B. 答案:B,1 2 3 4 5 6,3i是虚数单位, 1+i 1i 4 等于( ) A.i B.-i C.1 D.-1 解析: 1+i 1i = (1+i ) 2 (1i)(1+i) = 2i 2 =i,又i4=1,故选C. 答案:C,1 2 3 4 5 6,4若复数z满足z=i(2-z)(i是虚数单位),则z= . 解析:设z=a+bi(a
12、,bR), 则a+bi=i(2-a-bi)=b+(2-a)i, 由复数相等,得 =, =2. 于是a=b=1,即z=1+i. 答案:1+i,1 2 3 4 5 6,5已知复数z是复数z1=1+2i的共轭复数,试计算zz1. 解:由题意得z= 1 =1-2i,则zz1=(1-2i)(1+2i)=1+2i-2i-4i2=1+4=5.,1 2 3 4 5 6,6计算: 2 2 2 2 i 28 +(10+i29)- 2 3 i 1+2 3 i . 解:原式= 2 2 2 2 i 2 14 +10+i29- (2 3 i)(12 3 i) (1+2 3 i)(12 3 i) =(-i)14+10+i- 2 3 12ii+2 3 i 2 13 =-1+10+i+i =9+2i.,1 2 3 4 5 6,
