1、32.3 空间的角的计算学习目标 1.能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题 .2.体会向量方法在研究几何问题中的作用知识链接1怎样求两条异面直线所成的角？答：(1)平移法：即通过平移其中一条( 也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解(2)向量法：设 a、b 分别为异面直线 l1、l 2 上的方向向量， 为异面直线所成的角，则异面直线所成角公式 cos |cosa，b| .|ab|a|b|2如何用平面的法向量表示二面角？答：设 n1、n 2是二面角 l 的两个面 ， 的法向量，则向量 n1与向量 n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小预习导引1两条
2、异面直线所成的角(1)定义：设 a、b 是两条异面直线，过空间任一点 O 作直线 aa，bb，则 a与 b所夹的锐角或直角叫做 a 与 b 所成的角(2)范围：两条异面直线所成角 的取值范围是 0 .2(3)向量求法：设直线 a，b 的方向向量为 a，b，其夹角为 ，则 a，b 所成角的余弦值为 cos |cos | .|ab|a|b|2直线与平面所成的角(1)定义：直线和平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角(2)范围：直线和平面所成角 的取值范围是 0 .2(3)向量求法：设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为 ，a与 u 的夹角为 ，则有si
3、n |cos | 或 cos sin .|au|a|u|3二面角(1)二面角的取值范围：0，(2)二面角的向量求法：若 AB，CD 分别是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线( 垂足分别为 A，C )，如图，则二面角的大小就是向量 与 的夹角AB CD 设 n1、n 2是二面角 l 的两个面 ， 的法向量，则向量 n1与向量 n2的夹角(或其补角)就是二面角的平面角的大小.要点一 求两条异面直线所成的角例 1 如图所示，三棱柱 OABO1A1B1 中，平面 OBB1O1平面OAB，O 1OB60 ，AOB90，且 OBOO 12，OA ，求异面3直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦
4、值的大小解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 O(0,0,0)，O1(0,1， )，A( ，0,0)，A 1( ，1， )，B(0,2,0)，3 3 3 3 ( ，1， )， ( ，1， )A1B 3 3 O1A 3 3|cos ， |A1B O1A .|A1B O1A |A1B |O1A | |( r(3)，1， r(3)(r(3)， 1， r(3)|7 7 17异面直线 A1B 与 AO1 所成角的余弦值为 .17规律方法 建立空间直角坐标系要充分利用题目中的垂直关系；利用向量法求两异面直线所成角计算思路简便，要注意角的范围跟踪演练 1 正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是
5、 A1D1、A 1C1 的中点，求异面直线 AE与 CF 所成角的余弦值解 不妨设正方体棱长为 2，分别取 DA、DC、DD 1 所在直线为 x 轴、y轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1 ，0,2)、F(1,1,2)，则 (1,0,2)， (1，1,2)AE CF | | ，| | . 1043.AE 5 CF 6AE CF 又 | | |cos ， AE CF AE CF AE CF cos ， ，30 AE CF cos ， ，异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值为 .AE CF 3010 3010要点二 求直线和平面所成的角例 2 已
6、知正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为 a，M 为 A1B1 的中点，求 BC12与平面 AMC1 所成角的正弦值解 建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(0,0,0)，M (0， a)，C 1( a， a)，a2 2 32 a2 2B(0，a,0) ，故 ( a， a)，AC1 32 a2 2(0 ， a)AM a2 2设平面 AMC1 的法向量为 n( x，y，z) 则Error!Error!令 y2，则 z ，x0.n(0,2 ， )22 22又 ( a， ， a)，BC1 32 a2 2cos ，n .BC1 BC1 n|BC1 |n| a a3a 92 269设
7、BC1 与平面 AMC1 所成的角为 ，则 sin |cos ，n| .BC1 269规律方法 借助于向量求线面角关键在于确定直线的方向向量和平面的法向量，一定要注意向量夹角与线面角的区别和联系跟踪演练 2 如图所示，已知直角梯形 ABCD，其中 ABBC2AD，AS平面 ABCD，ADBC，AB BC，且 ASAB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 的余弦值解 由题设条件知，以点 A 为坐标原点，分别以 AD、AB 、AS 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)设 AB1，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D ，S(0,0,1)(12，
8、0，0) (0,0,1)， ( 1，1,1) AS CS 显然 是底面的法向量，它与已知向量 的夹角 ，AS CS 2故有 sin cos ，AS CS |AS |CS | 113 330， cos .2 1 sin2 63要点三 求二面角例 3 在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，求二面角 A1BDC 1 的余弦值解 不妨设正方体的棱长为 1，以 ， ， 为单位正交基底，DA DC DD1 建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz ，取 BD 的中点 E，连结A1E，C 1E.因为DBA 1 和BDC 1 都是正三角形，所以 A1EBD，C 1EBD，故A 1EC1 是二面角 A1BDC
9、 1 的平面角，也就是 与 的夹角EA1 EC1 又 E( ，0) ， A1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，1212可得 ( ， ，1)， ( ，1) EA1 12 12 EC1 1212EA1 ，EC 1 ，14 14 1 62 14 14 1 62 1 .EA1 EC1 14 14 12cos ， .EA1 EC1 1262 62 13即二面角 A1BDC 1 的余弦值为 .13规律方法 (1)当空间直角坐标系容易建立( 有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或
10、互补) ，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的(2)注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角跟踪演练 3 如图所示，正三棱柱 ABCA1B1C1 的所有棱长都为 2，D为 CC1 的中点，求二面角 AA1DB 的余弦值解 如图所示，取 BC 中点 O，连结 AO.因为ABC 是正三角形，所以 AOBC，因为在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，平面 ABC 平面 BCC1B1，所以 AO平面BCC1B1.取 B1C1 中点为 O1，以 O 为原点， ， ， 为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，OB O
11、O1 OA 则 B(1,0,0)，D (1,1,0)，A 1(0,2， )，A(0,0， )，B 1(1,2,0)3 3设平面 A1AD 的法向量为 n(x，y ，z )， ( 1,1， )， (0,2,0) AD 3 AA1 因为 n ， n ，AD AA1 得Error!得Error!所以Error!令 z1，得 n ( ，0,1) 为平面 A1AD 的一个法向量3又因为 (1,2， )， (2,1,0)， ( 1,2， )，AB1 3 BD BA1 3所以 2200 ，AB1 BD 1430，AB1 BA1 所以 ， ，即 AB1BD，AB 1BA 1，又 BDBA 1B，所以 AB1平
12、面AB1 BD AB1 BA1 A1BD，所以 是平面 A1BD 的一个法向量，AB1 所以 cosn， ，AB1 nAB1 |n|AB1 | 3 3222 64所以二面角 A A1D B 的余弦值为 .641已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 的方向向量，法向量，若 cosm，n ，则12l 与 所成的角为_答案 30解析 设 l 与 所成的角为 ，则 sin |cos m，n| .1230.2正方体 ABCDA1B1C1D1 中，直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的正弦值为_答案 63解析 建系如图，设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)，A 1(1,0,1)，B(1,1,0
13、)，C 1(0,1,1)，A(1,0,0)， (1,0,1)， ( 1,1,1) ， (0,1 ，1)，BC1 AC1 A1B (1,0，1) A1D 1 10， 110.AC1 A1B AC1 A1D AC 1平面 A1BD. 是平面 A1BD 的一个法向量AC1 cos ， .BC1 AC1 BC1 AC1 |BC1 |AC1 | 1 123 63直线 BC1 与平面 A1BD 所成角的正弦值为 .633在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，若 AB BB1，则 AB1 与 C1B 所成角的大小为_2答案 90解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设 BB11，则 A(0,0,1)，B1 ，C
14、 1(0， ，0)，(62，22，0) 2B .(62，22，1) ，AB1 ( 62，22， 1) ，C1B ( 62， 22，1) 10， .AB1 C1B 64 24 AB1 C1B 即 AB1 与 C1B 所成角的大小为 90.4.如图，在三棱锥 VABC 中，顶点 C 在空间直角坐标系的原点处，顶点 A、B、V 分别在 x、y、z 轴上， D 是线段 AB 的中点，且ACBC2，VDC.当 时，求异面直线 AC 与 VD 所成角的余3弦值解 由于 ACBC2，D 是 AB 的中点，所以 C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0) ，D(1,1,0)当 时，在 RtVCD 中
15、，CD ，故 V(0,0， )3 2 6所以 (2,0,0)， (1,1， )AC VD 6所以 cos ， .AC VD AC VD |AC |VD | 2222 24所以异面直线 AC 与 VD 所成角的余弦值为 .24利用空间向量求角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的关系首先要找出并利用空间直角坐标系或基向量(有明显的线面垂直关系时尽量建系) 表示出向量；其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系一、基础达标1若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150，则直线 l 与平面 所成的角等于_答案 60解析 直线 l 与平面 所成的角范围是 .0，902直线 l1，l 2 的
16、方向向量分别是 v1，v 2，若 v1与 v2所成的角为 ，直线 l1，l 2 所成的角为，则下列说法正确的是_ cos |cos | cos |cos |答案 解析 或 ，且 0 ， , 2因而 cos |cos |.3已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 的方向向量和法向量，若 cosm，n ，则12l 与 所成的角为_答案 30解析 cosm，n ，12sin |cosm，n | .12又直线与平面所成角 满足 0 90，30.4已知点 A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面 ABC 与平面 xOy 所成锐二面角的余弦值为_答案 27解析 (1,2,0)， (1
17、,0,3) 设平面 ABC 的法向量为 n(x，y，z) 由AB AC n 0，n 0 知Error!令 x2，则 y1，z .平面 ABC 的一个法向量为AB AC 23n(2,1 ， )平面 xOy 的一个法向量为 (0,0,3)由此易求出所求二面角的余弦值为 cos 23 OC .nOC |n|OC |2373 275在矩形 ABCD 中，AB 1，BC ，PA平面 ABCD，PA1，则 PC 与平面 ABCD 所2成角是_答案 30解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则 P(0,0,1)，C(1， ，0)，2(1， ，1)，平面 ABCD 的一个法向量为 n(0,0,1)，PC 2所以
18、 cos ，n ，因为 ，n 0 ，180PC PC n|PC |n| 12 PC 所以 ，n120，PC 所以斜线 PC 与平面 ABCD 的法向量所在直线所成角为 60，所以斜线 PC 与平面 ABCD 所成角为 30.6二面角的棱上有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4，AC6，BD 8，CD2 ，则该二面角的大小为 _17答案 60解析 由条件，知 0， 0，CA AB AB BD .CD CA AB BD | |2| |2| |2| |22 2 2 CD CA AB BD CA AB AB BD CA BD 6 24 28
19、2268cos ， (2 )2.CA BD 17cos ， ， 0，180， ， 120，CA BD 12 CA BD CA BD 二面角的大小为 60.7如图，四棱锥 FABCD 的底面 ABCD 是菱形，其对角线AC2，BD .CF 与平面 ABCD 垂直，CF2.求二面角 BAFD 的大小2解 过点 A 作 AE平面 ABCD.以 A 为坐标原点， 、 、 方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间BD AC AE 直角坐标系(如图)于是 B ，( 22，1，0)D ，F (0,2,2)(22，1，0)设平面 ABF 的法向量 n1(x，y ，z) ，则由Error!得Error
20、!令 z1，得Error! 所以 n1( ，1,1) 2同理，可求得平面 ADF 的法向量 n2( ，1,1)2由 n1n20 知，平面 ABF 与平面 ADF 垂直，所以二面角 BAFD 的大小等于 .2二、能力提升8已知正四棱锥 SABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E 是 SB 的中点，则 AE、SD 所成角的余弦值为_答案 33解析 令正四棱锥的棱长为 2，建立如图所示空间直角坐标系，则A(1，1,0) ，D(1，1,0)，S(0,0， )，E( ， )，21212 22 ( ， )， (1，1， )，AE 1232 22 SD 2cos ， .AE SD AE SD |AE |SD | 33AE、SD 所成角的余弦值为 .339若两个平面 ， 的法向量分别是 n(1,0,1)，(1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角是_答案 60解析 cosn ， .n，v0，180，n，120. 12 2 12故两平面所成的锐二面角为 60.10在空间四边形 OABC 中，OBOC，AOBAOC ，则 cos ， 的值为3 OA BC _答案 0解析 ( )OA BC OA OC OB OA OC OA OB | | |cos | | |cos | |(| | |)0.OA OC 3 OA OB 3 12OA OC OB
