1、第四章 图形的认识 4.3 等腰三角形与直角三角形,中考数学 (安徽专用),A组 20142018年安徽中考题组,五年中考,1.(2016安徽,10,4分)如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC内部的一个动点,且满足 PAB=PBC.则线段CP长的最小值为 ( )A. B.2 C. D.,思路分析 由PAB=PBC,PBC+ABP=90,可得P=90,取AB的中点O,则OP= AB=3 为定值,所以O,P,C三点共线时CP的长最小.,答案 B PAB=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中 点为O,则P在以AB为直径的圆上.当点O,P,C
2、三点共线时,线段CP最短,OB= AB=3,BC=4, OC= =5,又OP= AB=3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.,解题关键 想到P在以AB为直径的圆上运动,由此将问题转化为O,P,C三点的共线问题是解题 的关键.,2.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为 BD的中点,CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM.,图1 图2,解析 (1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的
3、中点, CM= BD. 又DEAB,同理,EM= BD, CM=EM. (4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100. (9分) (3)证明:DAECEM, CME=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM, DEM是等边三角形, MEF=DEF-DEM=30. 证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30, = , 又NM= CM= EM= AE, FN=FM+NM= EF+ AE= (AE+EF)= AF.
4、 = = . 又AFN=EFM, AFNEFM,NAF=MEF, ANEM. (14分) 证法二:连接AM,则EAM=EMA= MEF=15,AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD=30,且MC=MD, ACM= (180-30)=75. 由可知AC=AM,又N为CM的中点, ANCM,又EMCF,ANEM. (14分),思路分析 (1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角 互余求出CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME= DME+CMD=2(CBM+EBM),最后由补角性质求出EMF;(3)由DAEC
5、EM可推 出DEM为等边三角形,从而可得MEF=30,下面证ANEM有两个思路:一是根据直角三角 形30角所对直角边等于斜边的一半可得 = ,又点N是CM的中点,可推出 = ,从而可证 AFNEFM,进一步即可证明ANEM;二是连接AM,计算可得AMC=ACM,而N是CM 的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM.,3.(2016安徽,23,14分)如图1,A,B分别在射线OM,ON上,且MON为钝角.现以线段OA,OB为斜 边向MON的外侧作等腰直角三角形,分别是OAP,OBQ,点C,D,E分别是OA,OB,AB的中 点. (1)求证:PCEEDQ; (2)延长PC,QD交于点R. 如图
6、2,若MON=150,求证:ABR为等边三角形; 如图3,若ARBPEQ,求MON的大小和 的值.,解析 (1)证明:点C,D,E分别是OA,OB,AB的中点, DEOC,CEOD.四边形ODEC为平行四边形. OCE=ODE. 又OAP,OBQ都是等腰直角三角形, PCO=QDO=90. PCE=PCO+OCE=QDO+ODE=EDQ. 又PC= AO=CO=ED,CE=OD= OB=DQ, PCEEDQ. (5分) (2)证明:如图,连接OR.PR与QR分别为线段OA与OB的中垂线,AR=OR=BR,ARC=ORC,ORD=BRD. 在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,MON=150
7、, CRD=30. ARB=ARO+BRO=2CRO+2ORD=2CRD=60. ABR为等边三角形. (9分) 如图,由(1)知EQ=PE,DEQ=CPE.又AOED,CED=ACE. PEQ=CED-CEP-DEQ=ACE-CEP-CPE=ACE-RCE=ACR=90, 即PEQ为等腰直角三角形. 由于ARBPEQ,所以ARB=90.,于是在四边形OCRD中,OCR=ODR=90,CRD= ARB=45,MON=135. 此时P,O,B在一条直线上,PAB为直角三角形且APB为直角,所以AB=2PE=2 PQ= PQ,则 = . (14分),思路分析 (1)先证四边形ODEC为平行四边形得
8、OCE=ODE,再根据OAP,OBQ都是 等腰直角三角形证明PCE=EDQ,结合已知可证PCEEDQ;(2)连接OR,由PR与QR 分别为线段OA与OB的中垂线及MON=150,可得AR=BR,ARB=2CRD=60,即ABR为等 边三角形;利用(1)的结论及已知可得出PEQ为等腰直角三角形,由ARBPEQ可得 ARB=90,进一步得出CRD=45,从而得出MON=135,并说明P,O,B在一条直线上,PAB为 直角三角形且APB为直角,由此得出AB= PQ,进而求解.,考点一 等腰三角形,B组 20142018年全国中考题组,1.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC
9、的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和 E,B=60,C=25,则BAD为 ( )A.50 B.70 C.75 D.80,答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=1 80-(25+25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,2.(2016湖北武汉,10,3分)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 A 如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两
10、个交点(点B除 外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长 为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有 两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.,3.(2015陕西,6,3分)如图,在ABC中,A=36,AB=AC,BD是ABC的角平分线.若在边AB上截 取BE=BC,连接DE,则图中等腰三角形共有 ( )A.2个 B.3个 C.4个 D.5个,答案 D 依题意,可知题图中的ABC,AED,BDC,BDE,ADB为等腰三角形,则共有5 个等腰三角形.故选D.,
11、4.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为 .,答案 80,解析 等腰三角形的两底角相等,180-502=80,顶角为80.,5.(2018吉林,14,3分)我们规定:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的 “特征值”,记作k.若k= ,则该等腰三角形的顶角为 度.,答案 36,解析 设等腰三角形的顶角为x度,则一个底角的度数为2x度,由x+22x=180x=36.故顶角为3 6度.,思路分析 设出顶角度数,根据“特征值”可知底角度数,再由三角形内角和定理即可求得.,6.(2016吉林,12,3分)如图,已知线段AB,分别以点A和点B为圆心
12、,大于 AB的长为半径作弧,两 弧相交于C,D两点,作直线CD交AB于点E.在直线CD上任取一点F,连接FA,FB.若FA=5,则FB= .,答案 5,解析 由题意可知EF垂直平分AB,所以FB=FA=5.,7.(2015浙江绍兴,13,5分)由于木质的衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设 计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图1,衣架杆OA=OB=18 cm. 若衣架收拢时,AOB=60,如图2,则此时A,B两点间的距离是 cm.,答案 18,解析 连接AB.因为OA=OB=18 cm,收拢后的AOB=60,所以AOB是正三角形,故AB=18 cm.,8
13、.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离 与底边长相等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由.,解析 (1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰, AB=AC, BD,CE是中线, AD= AC,AE= AB, AD=AE, 又A=A, ABDACE, BD=CE. (2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD =CE,故可证OE=OD,
14、从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相 等可知四边形DEMN为正方形.,9.(2016宁夏,21,6分)在等边ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,若CD=2,过点D作DEAB,过点 E作EFDE,交BC的延长线于点F.求EF的长.,解析 ABC为等边三角形, A=B=ACB=60, DEAB, EDF=B=60,DEC=A=60, CDE为等边三角形, DE=CD=2. (4分) EFDE,DEF=90, 在RtDEF中,EF=DEtan 60=2 . (6分),1.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB
15、边上的中 线,AD=2,CE=5,则CD= ( )A.2 B.3 C.4 D.2,考点二 直角三角形,答案 C 在RtABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8, 易证ACDCBD,则CD2=ADDB=28=16,所以CD=4,故选C.,2.(2017陕西,6,3分)如图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与 点A重合,点C落在边AB上,连接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,则BC的长为 ( )A.3 B.6 C.3 D.,答案 A 由题意得ABC与ABC全等且均为等腰直角三角形,AC=BC=3,AB=3 ,
16、AB=3 ,在ABC中,易知CAB=90,ABC是直角三角形,BC= =3 .,3.(2016四川南充,7,3分)如图,在RtABC中,A=30,BC=1,点D,E分别是直角边BC,AC的中点, 则DE的长为 ( )A.1 B.2 C. D.1+,答案 A 在RtABC中,A=30,BC=1,AB=2. 点D,E分别是BC,AC的中点, DE= AB= 2=1.,4.(2018新疆乌鲁木齐,15,4分)如图,在RtABC中,C=90,BC=2 ,AC=2,点D是BC的中点,点 E是边AB上一动点,沿DE所在直线把BDE翻折到BDE的位置,BD交AB于点F.若ABF为 直角三角形,则AE的长为
17、.,答案 3或2.8,解析 易知BAF不可能为直角. 当BFA是直角时,如图1,图1 C是直角,ABC=DBF,BCABFD, = ,又BC=2 ,且易知BD= ,AB =4,BF= 2 = ,由翻折可知DBEDBE,BE=BE,EBF=ABD=30,BE=EB= 2EF,BE= BF=1,AE=4-1=3.,图2 连接BC、AD、BB,由翻折可知DBEDBE,BD=BD= BC=CD,BBC=90,FB A =ACD=90,RtACDRtABD,AC=AB,又易证DBB =CBA,DBBAB C, = = ,又 = ,故可证BBCDCA,CDA=BBC,ADBB,延长DE 交BB于M,可得
18、= = (*),易知DM垂直平分BB,BM= BB,在直角三角形BBC中, 由BB2+BC2=BC2=12, = ,可求得BB= ,BM= .在直角三角形DCA中,DA=,当FBA是直角时,如图2,疑难突破 本题的难点是FBA为直角时如何求AE,突破方法是作出辅助线BC、AD、BB, 并根据翻折证明BBCDCA,然后利用相似比求出AE.,= ,将BM= ,AD= 代入(*)可得AE=2.8. 综上,AE=3或2.8.,5.(2016黑龙江哈尔滨,17,3分)在等腰直角三角形ABC中,ACB=90,AC=3,点P为边BC的三等 分点,连接AP,则AP的长为 .,答案 或,解析 当CP=1时,根据
19、勾股定理得AP= = ;当CP=2时,根据勾股定理得AP= = ,故AP的长为 或 .,6.(2016辽宁沈阳,16,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=20,DE是ABC的中位线.点 M是边BC上一点,BM=3,点N是线段MC上的一个动点,连接DN,ME,DN与ME相交于点O.若 OMN是直角三角形,则DO的长是 .,答案 或,解析 A=90,AB=AC,BC=20, AB=AC=10 , DE是ABC的中位线, DEBC,DE= BC=10,BD=CE=5 . 当DNBC时,OMN为直角三角形(如图), 易知BDN为等腰直角三角形, BN=DN=5, BM=3, MN=
20、2, DEBC, ODEONM, = ,即 = ,解得OD= .,当DNME时,OMN为直角三角形(如图),过点E作EFBC,垂足为点F. 易知CEF为等腰直角三角形, EF=FC=5, BM=3,MF=20-3-5=12, 在RtMFE中,ME= = =13, DEBC,DEO=EMF, DOE=EFM=90, ODEFEM, = ,即 = ,解得OD= . 综上所述,DO的长是 或 .,评析 对于几何探究型问题,分类讨论思想是重点考查内容.本题中,要对OMN分两种情况 进行讨论,一是ONM为直角时,二是MON为直角时.,7.(2015山东聊城,15,3分)如图,在ABC中,C=90,A=3
21、0,BD是ABC的平分线.若AB=6,则 点D到AB的距离是 .,答案,解析 C=90,A=30,AB=6, ABC=60,BC=3, BD平分ABC, CBD= ABC=30,点D到AB的距离等于DC, 在RtBDC中,DC=tanDBCBC= 3= , 点D到AB的距离等于 .,8.(2017北京,28,7分)在等腰直角ABC中,ACB=90,P是线段BC上一动点(与点B,C不重合), 连接AP,延长BC至点Q,使得CQ=CP,过点Q作QHAP于点H,延长交AB于点M. (1)若PAC=,求AMQ的大小(用含的式子表示); (2)用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系,并证明.,解析 (1
22、)ACB是等腰直角三角形, CAB=45,PAB=45-. QHAP,AMQ=90-PAB=45+. (2)线段MB与PQ之间的数量关系为PQ= MB. 证明:连接AQ,过点M作MNBQ于点N,如图.则MNB为等腰直角三角形,MB= MN. ACBQ,CQ=CP,AP=AQ,QAC=PAC. QAM=BAC+QAC=45+QAC=45+PAC=AMQ, QA=QM. MQN+APQ=PAC+APQ=90,MQN=PAC, MQN=QAC, RtQACRtMQN, QC=MN,PQ=2QC=2MN= MB.,解题关键 解决本题第(2)问的关键是要通过添加辅助线构造全等三角形,从而找出边与边之 间
23、的数量关系.,9.(2016内蒙古呼和浩特,21,7分)已知,如图,ACB和ECD都是等腰直角三角形,ACB= ECD=90,D为AB边上一点. (1)求证:ACEBCD; (2)求证:2CD2=AD2+DB2.,证明 (1)ACB和ECD都是等腰直角三角形, CD=CE,AC=BC,ECD=ACB=90, ECD-ACD=ACB-ACD, 即ECA=DCB. (1分) 在ACE与BCD中, (3分) ACEBCD. (4分) (2)ACEBCD, AE=BD. (5分) EAC=BAC=45, EAD=90. 在RtEAD中,ED2=AD2+AE2, ED2=AD2+BD2. (6分) 又E
24、D2=EC2+CD2=2CD2,2CD2=AD2+DB2. (7分),考点一 等腰三角形,C组 教师专用题组,1.(2016河北,16,2分)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且 PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有 ( )A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上,答案 D 如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三 角形.在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCMPDN,所以CPM=DPN,PM=PN, MPN=60,则PMN为等边三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意
25、的三角形 有无数个.,2.(2015吉林长春,6,3分)如图,在ABC中,AB=AC,过点A作ADBC.若1=70,则BAC的大小 为 ( )A.30 B.40 C.50 D.70,答案 B AB=AC,B=C. ADBC, 1=C=70. B=70. BAC=40.故选B.,3.(2014江苏苏州,10,3分)如图,AOB为等腰三角形,顶点A的坐标为(2, ),底边OB在x轴上.将 AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得AOB,点A的对应点A在x轴上,则点O的坐标 为 ( )A. B. C. D.,答案 C 过A作OB边的垂线AC,垂足为C,过O作BA边的垂线OD,垂足为D,因为顶点 A
26、的坐 标为(2, ),所以C点坐标为(2,0),所以OC=2,AC= ,在RtOAC中,根据勾股定理得OA=3,所 以AB=3.因为AOB为等腰三角形,所以C为OB的中点,所以B点坐标为(4,0),故BO=BO=4.在Rt OBD和RtOAD中,OB2-BD2=OA2-AD2.设BD=x,则有42-x2=32-(3-x)2,解得x= ,所以BD= ,所 以OD= ,又OD=4+ = ,故O点的坐标为 ,故选C.,4.(2016湖南长沙,17,3分)如图,ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC 于点E,则BCE的周长为 .,答案 13,解析 DE垂直平分AB,
27、AE=BE, BCE的周长为BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC=8+5=13.,评析 本题考查了线段垂直平分线的性质定理,即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端 点的距离相等.,解析 连接PA、QA、PB、QB.由题意可知PA=QA,PB=QB,又AB=AB, PABQAB(三边分别相等的两个三角形全等), PAB=QAB(全等三角形的对应角相等). 由两点确定一条直线作直线PQ. PA=QA, ABPQ(等腰三角形的顶角平分线与底边上的高重合).,答案 三边分别相等的两个三角形全等;全等三角形的对应角相等;等腰三角形的顶角平分线 与底边上的高重合;两点确定一条直线,6.(2015
28、江西南昌,14,3分)如图,在ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点, AOC=60,则当PAB为直角三角形时,AP的长为 .,答案 2或2 或2,解析 由题意知,满足条件的点P有三个位置.如图,APB=90,因为OA=OB=2, 所以OP=OA=2, 又因为AOC=60, 所以POA为等边三角形, 所以AP=2. 如图,APB=90,因为OA=OB=2, 所以OP=OA=OB=2, 又AOC=BOP=60, 所以OBP为等边三角形, 所以OBP=60, 所以OAP=30, 所以AP=ABcosOAP=4 =2 . 如图,ABP=90,因为BOP=AOC=60, 所以B
29、P=OBtan 60=2 .,在RtABP中,AP= = = =2 . 综上所述,AP的长为2或2 或2 .,评析 本题是以等腰三角形中的动点为背景的分类讨论型问题,考查了含特殊角的直角三角 形的边角关系、勾股定理等知识,本题易漏掉某种情况,属易错题.,7.(2014江苏扬州,10,3分)若等腰三角形的两条边长分别为7 cm和14 cm,则它的周长为 cm.,答案 35,解析 等腰三角形的两腰相等,若第三边长为7 cm,则7+7=14 cm,不能构成三角形;若第三边长 为14 cm,则7+14=21 cm14 cm,符合三角形三边关系,所以周长为7+14+14=35 cm.,8.(2014江苏
30、苏州,15,3分)如图,在ABC中,AB=AC=5,BC=8.若BPC= BAC,则tanBPC=.,答案,解析 过A作等腰ABC底边BC上的高AD,垂足为D,则AD 平分BAC,且D为BC的中点,所以 BD=4,根据勾股定理可求出AD=3,又因为BPC= BAC,所以BPC=BAD,所以tanBPC =tanBAD= = .,9.(2014河南,11,3分)如图,在ABC中,按以下步骤作图:分别以点B、C为圆心,以大于 BC的 长为半径作弧,两弧相交于M、N两点;作直线MN交AB于点D,连接CD.若CD=AC,B=25,则 ACB的度数为 .,答案 105,解析 由题意知MN垂直平分BC,C
31、D=BD,又CD=AC,AC=CD=BD,DCB=B=25, A=CDA=50,ACB=180-A-B=105.,10.(2014内蒙古呼和浩特,13,3分)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36,则该等腰三角 形的底角的度数为 .,答案 63或27,解析 在三角形ABC中,设AB=AC,BDAC于D. 若三角形是锐角三角形,则A=90-36=54, 此时,底角=(180-54)2=63;若三角形是钝角三角形,则BAC=36+90=126, 此时,底角=(180-126)2=27.综上,该等腰三角形底角的度数是63或27.,评析 本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理,属容易题.,11.
32、(2014山西,16,3分)如图,在ABC中,BAC=30,AB=AC,AD是BC边上的中线,ACE= BAC,CE交AB于点E,交AD于点F,若BC=2,则EF的长为 .,答案 -1,解析 在DF上取点G,使DG=DC,连接CG.AB=AC,AD为BC边上的中线, ADBC,CAD=BAD= BAC=15, CDG为等腰直角三角形,DCG=45. ACE= BAC,ACE=CAD,AF=CF. ACE= BAC=15,DCG=45, ACB= =75, FCG=75-15-45=15, BAD=FCG. 又AFE=CFG,AF=CF,AFECFG(ASA),EF=FG. AB=AC,AD为B
33、C边上的中线, CD= BC=1. DCF=75-15=60,DF= DC= . 又DG=DC=1,EF=FG=DF-DG= -1.,12.(2015北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E. 求证:CBE=BAD.,证明 AB=AC,AD是BC边上的中线, ADBC,BAD=CAD. BEAC, BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD. CBE=BAD.,13.(2014浙江杭州,18,8分)在ABC中,AB=AC,点E,F分别在AB,AC上,AE=AF,BF与CE相交于点 P.求证:PB=PC,并直接写出图中
34、其他相等的线段.,解析 在AFB和AEC中, AF=AE,A为公共角,AB=AC, 所以AFBAEC, 所以ABF=ACE. 因为AB=AC,所以ABC=ACB, 所以PBC=PCB, 所以PB=PC. 其余相等的线段有:BF=CE;PE=PF;BE=CF.,1.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长 为1.2 km,则M,C两点间的距离为 ( )A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km,考点二 直角三角形,答案 D ACBC,M是AB的中点,MC= AB=AM=1.2 km.故选D.,2.(2014
35、江苏扬州,7,3分)如图,已知AOB=60,点P在边OA上,OP=12,点M、N在边OB上,PM= PN,若MN=2,则OM= ( )A.3 B.4 C.5 D.6,答案 C 如图,过点P作PHMN,因为PM=PN,MN=2,所以MH= MN=1,在RtPOH中,OP=1 2,POH=60,所以OH=6,所以OM=OH-MH=6-1=5.故选C.,评析 解决本题的关键是构造直角三角形.,3.(2015贵州遵义,16,4分)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人 称其为“赵爽弦图”(如图(1),图(2)由弦图变化得到,它由八个全等的直角三角形拼接而成,记 图中正方形ABCD
36、、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的 边长为2,则S1+S2+S3= .,答案 12,解析 设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12.,4.(2014湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45,则 BD的长为 .,答案,解析 作ADAD,且使AD=AD,连接CD,DD,如图. 由已知条件可得BAC+CAD=DAD+CAD,即BAD=CAD. 在BAD与CAD中,BADCAD(SAS), BD=CD
37、.又DAD=90,由勾股定理得DD= = =4 ,易知DDA+ADC =90,由勾股定理得CD= = = , BD=CD= .,评析 本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质,属难题.,5.(2016北京,23,5分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连 接BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的长.,解析 (1)证明:在ABC中,ABC=90,M为AC的中点, BM= AC. N为CD的中点, MN= AD. AC=AD,BM=MN. (2)BAD=60,AC
38、平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=90. AC=AD=2, BM=MN=1. 在RtBMN中,BN= = .,6.(2016广东,21,7分)如图,RtABC中,B=30,ACB=90,CDAB交AB于D.以CD为较短的 直角边向CDB的同侧作RtDEC,满足E=30,DCE=90,再用同样的方法作RtFGC, FCG=90,继续用同样的方法作RtHIC,HCI=90.若AC=a,求CI的长.,解析 RtABC中,B=30,ACB=90, A=60. (1分) CDAB, ADC=9
39、0,ACD=30. (2分) AC=a, RtADC中,AD= AC= ,CD= AD= a. (4分) 同理可得,RtDFC中,DF= CD= a,CF= DF= a. (5分) RtFHC中,FH= CF= a,CH= FH= a, (6分) RtCHI中,CI= CH= a. (7分),评析 本题考查直角三角形的基本性质与运算.,A组 20162018年模拟基础题组 考点一 等腰三角形,三年模拟,1.(2018安徽巢湖三中二模,8)如图,D是ABC内一点,已知ACB=90,AC=AD,DB=DC,则下列 结论成立的是 ( )A.CAD=2CBD B.ACD=2ABD C.ACD=2CAD
40、 D.ACD=3CBD,答案 A 因为AC=AD,DB=DC,所以ADC=ACD,DCB=CBD,延长BD交AC于点E,则EDC=2CBD,EDC+CDB =180,又因为ACB=90,ADC+ACD+CAD=DCB +CBD+CDB=180,所以CDB+CAD=360-290=180,所以CAD=EDC=2CBD, 故选A.,2.(2018安徽阜阳三模,9)如图,等边ABC的边AB上一点P,作PEAC于E,Q为BC延长线上一 点,当PA=CQ时,连接PQ交AC于点D,则下列结论中不一定正确的是 ( )A.PD=DQ B.DE= AC C.AE= CQ D.PQAB,答案 D 过点P作PFCQ
41、交AC于点F,所以FPD=Q,因为ABC是等边三角形,所以A=ACB=60,所以A=AFP=60,所以AP=PF,又因为PA =CQ,所以PF=CQ,所以PFDQCD,所以PD=DQ,DF=CD,所以A正确;易知AE=EF,所以DE = AC,所以B正确;因为PEAC,A=60,所以APE=30,所以AE= AP= CQ,所以C正确,故 选D.,3.(2017安徽阜阳期末联考,3)一个等腰三角形的两边长分别是3和7,则它的周长为 ( ) A.17 B.15 C.13 D.13或17,答案 A 当等腰三角形的腰长为3,底边长为7时,由于3+37,故不能构成三角形;当等腰三角 形的腰长为7,底边长
42、为3时,周长为3+7+7=17,故等腰三角形的周长是17.故选A.,4.(2017安徽合肥瑶海二模,7)已知x=2是关于x的方程x2-(m+4)x+4m=0的一个实数根,并且这个 方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长,则ABC的周长为 ( ) A.6 B.8 C.10 D.8或10,答案 C 将x=2代入方程可得4-2(m+4)+4m=0,解得m=2,故原方程为x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4, 若腰长是2,底边长是4,则不能构成三角形;若腰长是4,底边长是2,则周长为4+4+2=10,故选C.,5.(2018安徽合肥包河一模,14)如图,在ABC中,已知AB=AC=6,
43、BC=8,P是BC边上一点(P不与 点B,C重合),DPE=B,且DP始终经过点A,PE交AC于点F.当APF为等腰三角形时,PB的长 为 .,答案 2或3.5,解析 当AP=PF时,易知ABPPCF,PC=AB=6,PB=2;当AF=PF时,易知ABC FPA, = = ,易知ABPPCF, = = = ,PC=4.5,PB=3.5;当AF=AP 时,AFP=DPE=B=C,此时P与B重合,不符合题意.综上,PB的长为2或3.5.,思路分析 分AP=PF、AF=PF、AF=AP三种情况进行讨论,求解即可.,6.(2017安徽阜阳期末联考,19)如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点
44、A顺时针旋转60 得到线段AQ,连接BQ.若PA=6,PB=8,PC=10. (1)求证:APCAQB; (2)求四边形APBQ的面积.,解析 (1)证明:ABC为正三角形, AC=AB,BAC=60, AQ是由AP绕点A顺时针旋转60得到的, PAQ=60,AQ=AP. 又CAP+PAB=CAB=60=PAQ=PAB+BAQ, CAP=BAQ. 在APC与AQB中, APCAQB(SAS). (2)由(1)知APCAQB, BQ=PC=10, 连接PQ,则PAQ为正三角形,PQ=PA=6, PB2+PQ2=BQ2, PBQ为直角三角形,且BPQ=90, S四边形APBQ=SBPQ+SAPQ=
45、 PBPQ+ PA2= 86+ 62=24+9 .,7.(2016安徽芜湖一模,21)如图,ABC是边长为6 cm的等边三角形,动点P、Q分别同时从A、B 两点出发,分别沿AB、BC方向匀速移动,它们的速度都是1 cm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停 止运动,设点P的运动时间为t s. 解答下列问题: (1)ABC的面积为 cm2; (2)当t为何值时,PBQ是等边三角形? (3)当PBQ是直角三角形时,求t的值.,解析 (1)9 .如图,过点A作AMBC于点M.ABC为等边三角形,且边长为6 cm, BM=CM=3 cm,AM=3 cm, ABC的面积为 63 =9 cm2. (2)如图,由(1)知B=60, 当PB=BQ时,PBQ为等边三角形, 6-t=t,解得t=3, 即当t=3时,PBQ为等边三角形.,
