1、第四章 留数及其应用,4.1 孤立奇点,1 可去奇点,2 极点,3 本性奇点,本章将利用函数的Laurent级数展开式研究,函数在孤立奇点处的性质.,如果函数 f (z)在z0点不解析, 则称z0 是f (z)的,一个奇点. 如果z0 是f (z)的一个奇点, 且存在d 0,使得f (z)在 内解析，则称z0 是f (z)的,孤立奇点.,都是奇点.,不是函数 的孤立奇点, 因为,则f (z)可以展开为Laurent级数,z0为中心, 半径小于d 的圆周的正向.,根据Laurent级数展开式的系数cn的不同情况,可以把 f (z)的孤立奇点进行分类.,若z0 是 f (z)的孤立奇点，此时f (
2、z) 在圆环域,内解析, 根据Laurent级数展开定理，,4.1.1 可去奇点,定义4.1 如果f (z)在 内的Laurent,级数中不含有 的负幂项, 即当,时, 则称z0是 f (z)的可去奇点.,此时f(z)在z0 点的主要部分为零；,这个幂级数的收敛半径至少为d , 和函数j (z)在z0,处解析.,定理4.1 如果z0 是 f (z) 的孤立奇点，则下列三个条件是等价的：,(1) f(z)在z0 点主要部分为零；(2) (3) f(z)在z0 点的某个去心邻域内有界。,注：上述三条件均为可去奇点的特征。,证：,证：,这样我们有两种方法来判别函数f (z)的奇点 z0是否为可去奇点
3、.,1.由定义判断: 如果f (z)在z0的Laurent 级数无负 幂项(即主要部分为零), 则z0是f (z)的可去奇点.,2. 由极限判断：若极限 存在且为有限值, 则z0是f (z)的可去奇点.,3. 由有界性判断：如果f (z)在z0的某去心邻域内有界，则z0是f (z)的可去奇点.,如果补充定义:,例4.1 因为 在 内的展开式为,无负幂项,或者,则f (z)在全平面解析.,4.1.2 极点,f(z0) =0,则称z=z0是f (z)的零点；,若f(z0)=f(z0) =f(m-1)(z0)=0, 而 f(m)(z0)0,则称z=z0是f (z)的m级零点。,由定义4.2，若z0是
4、f (z)的m级零点，则f (z)在z0处 的泰勒展开式为,定理4.2 (充要条件) z=z0是f(z)的m级零点的充分必 要条件是： ,其中 在z=z0处解析， 且,定理4.3 如果z0 是 f (z) 的孤立奇点，则下列三个 条件是等价的：,推论：f(z)的孤立奇点z0为极点的充要条件是,的Laurent展开式中含有,的有限负幂项.,在点 的某去心邻域内有,其中 在 的邻域内解析, 且,1. 由定义判别：,2. 由等价形式判别：,3. 由极限判别：,这样我们有三种方法来判别函数f (z)的奇点,z0是否为极点.,因为,f (z)的3级极点.,奇点的类型.,的零点，但是,也是Q(z)的n级零
5、点, 则当nm时, z0是f (z)的n-m级,极点; 而当nm时, z0是f (z)的可去奇点.,显然, z=0是Q(z)的5级零点. 因为,所以, z=0是P(z)的2级零点. 故z=0是f (z)的3级极点 .,不是5 级极点,4.1.3 本性奇点,展开式中含有无穷多个系数非零的 负幂项, 即,的本性奇点.,例4.5 z=0是 和 的本性奇点. 这是因为,无穷多负幂项,不存在有限或无穷的极限.,z0 是 f (z)的本性奇点的充分必要条件是,定理4.5 Weierstrass得到了如下重要结论：,的本性奇点的充分必要条件是对任何有限或无穷,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m级极点,本性奇点,Laurent级数的特点,存在且为 有限值,不存在 且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,
