1、返回 下页 第六章 留数理论及其应用 前面第二 五章为复变函数论的重要理论 本章的内容是对前面理论的进一步应用 留数在实际中应用很广泛， 主要是求积分和零点的分布情况 返回 上页 下页 内容： 第一节 留数 第二节 解析函数的孤立奇点 第三节 留数理论计算实积分 第四节 辐角原理及其应用 目标或要求： 掌握留数的概念和求法； 掌握留数定理的内容和基本应用方法； 掌握利用留数定理求实积分的基本方法； 了解 辐角原理和儒歇定理的简单应用。 返回 上页 下页 第一节 留数 1 留数的定义及留数定理 2 留数的求法 3 函数在无穷远点的留数 返回 上页 下页 留数的 定义及留数定理 留数 导入 设函数
2、 f(z)在点 a解析 。 作圆 使 f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析 ,由柯西积分定理 , 如果 a是 f(z)的孤立奇点 ， 则上述积分就不一定等于零 . 如： 设 a为 f(z)的孤立奇点 ,在以 a为心 ,半径为 R 的去心邻域， 即在 0|z-a|R内把 f(z)展成罗朗级数： 它在较小的闭环形域 0r1|z-a|r2R内一致收敛 , 可以逐项积分 , 积分曲线为周线 c:|z-a|=r(r1rr2) 由重要积分 可见： f(z)洛朗级数的 (z-a)-1项的系数 c-1具有特别重要的地位 。 C : | z a | R 0C f z d z 20C dz iza 1fz za (
3、) nnnf z c z a () nnnccf z d z c z a d z 2101ncindznza 整数 这里 z= a是函数 的一阶极点 . 1 2c f z d z c i得 返回 上页 下页 定义 6.1 设点 a( )为函数 f(z)的孤立奇点，即 f(z)在 a点的一去心邻域： 0|z-a|R (0R+)内解析，称积分： 为 f(z)在点 a的 留数 (或 残数 ) (Residue) ，记作 或 这里积分是沿正向 逆时针方向取的。 注解 留数只与函数和点有关 ,而与 R、 无关 , 有 一定的任意性 定义时要求点为孤立奇点 , 定义函数在其解析点的留数为 0; 留数与洛朗
4、系数的关系： = c-1 留数的概念 1 :02 f z d z z a , Ri R e s f , a R esza fz 1Re s ( ) d2za f z f z zi 即 1Re s ( ) d2za f z f z zi = f(z)在 a洛朗级数 (z-a)-1项的系数 可去奇点 的留数为 0 只要 f(z)在 0|z-a|R内解析 ,0R即可 ; 可扩展到解析点 , 作为运算的求 留数 ,对函数是具有线性性的 返回 上页 下页 定理 6.1(柯西 留数定理 ) D是周线或复周线 C所围区域 , 在 D内只有有限多个孤立奇点： 在 D - 在 则 证 以 D内每一个孤立奇点 a
5、k为心 ,作圆 Ck 使 :以它为边界的闭圆盘上每一点都在 D内 任意两个这样的闭圆盘彼此无公共点 。 从 D中除去以 Ck为边界的闭圆盘得区域 G 其边界是 C以及 Ck 在 G上 ,f(z)解析 ,并连续到边界 。 由 复周线 柯西积分定理 两边乘 2i,并根据留数的定义 ,得结论成立。 Ck Cn C2 C1 柯西 留数定理 12 na , a ,., a 12 R e sknC zakf z dz i f z =D+C D 12 na , a , ., a 内 解析 D 12 na , a , ., a- 内连续 设 f(z)： C D a1 a2 ak an 1knkCCf z d
6、z f z d z G (k=1,2,.,n) 返回 上页 下页 留数定理的注解 留数定理建立了留数与积分的关系 ， 是非常重要的 ; 具体计算一定要注意前面的系数 2i ; 用小范围的 留数求大范围的 积分 ,化整为零 ,是 留数重要应用 ; 所围区域内只能有孤立奇点 ， 否则 ， 不能用； 含盖了 柯西积分定理 、 柯西积分公式 、 高阶导数的积分公式 . 求积分 求留数 定义 洛朗系数 其它方法 求积分 一般方法 寻找 ！ 无意义 不简单 希望简单 ！ 返回 上页 下页 留数的求法 一般原则只要在以奇点为心的圆环上把函数展开为 洛 朗级数 ， 取它的负一次幂项的系数就行了 . 只关心 洛
7、 朗级数负一次幂项的系数 ， 也可不求 洛 朗级数 ， 而通过某种方法求出负一次幂项的系数 。 但对于极点 ， 有略简便的方法 . 定理 6.2 设 a是 f(z)的一个 n阶极点 ， 在 a的一去心邻域内 其中： (z)在此邻域内 (包括 z=a)解析 ， 且 (a)0, 则 证 (z)在 a的 泰勒展式是： 则 1( ) ( )() nf z zza ( 1 ) ()R e s ( 1 ) !nza afz n 1( ) ( ) kkkz z a 1Re s nza fz ( 1 ) ()( 1)!n an 返回 上页 下页 一、二阶极点留数的计算 推论 6.3、 6.4 设 a是 f(z
8、)的一阶极点 , (z)=(z-a) f(z), 则 设 a是 f(z)的二阶极点 , (z)=(z-a)2 f(z), 则 定理 6.5 设 a是 f(z)=P(z)/Q(z)的一阶极点 ,且为 Q(z)的一阶零点 ， 则 证 R e s ( ) =z a z af z a l i m z a f z Re s ( )za f z a 0()R e s ( ) ( ) ( )()z a z a z zPzf z li m z a f z li m z aQz Re s ( ) / ( )za f z P a Q a 0()()( ) ( )zzPzli m z aQ z Q a 0() (
9、) ( )( ) ( )zzPa P a / Q aQ z Q alimza 返回 上页 下页 对各种求 留数的方法都应灵活熟练地掌握 ， 并结合自己的习惯 ， 总结一套对自己行之有效的方法； 求留数的一般方法是求 洛 朗级数负一次幂项的系数 (c-1)， 应结合 洛 朗级数和泰勒级数来求； 求极点留数的公式将求留数的问题转化为求 (z)的泰勒展式的系数； 求极点留数的公式 ， 也有很大的局限性 ， 由于先要判断孤立奇点的类型 ， 而此工作是需要很多的计算 ， 所以 ， 此公式也只适合求低阶 (一般不超过 3阶 )极点的留数； 构造 求极点留数公式中的 (z), 只要 f(z)的极点 (a)的
10、阶 (n)求对 ， 则 (z)= f(z)(z-a)n 用 留数求积分的一般过程 求出积分曲线所围区域的全部奇点； 判别所有奇点的类型； 选择求留数的方法 ， 求出奇点的留数 ； 利用柯西留数定理求积分 。 注意被积函数的周期性和其它特性 ！ 留数计算的注解 返回 上页 下页 例 (补充例 ) 设 解法 1 由定义得 注意：这里的积分路径的半径并非只能取 1/4， 只须使半径小于 1即可满足定义的条件 解法 2 因点 z=0为 f(z)的孤立奇点 ， 所以 ， 在 :0|z|1/3内有 由此得 c-1=2 ， 得 )1(25)(zzzzf 0R esz fz求 141 5 22 ( 1 )z/
11、z dzi z z 14521 12zz/zz dzi 052 21 zzz 0R esz fz柯西积分公式 zzzzf1)1(25)( 0)52(nnzz 032nnzz 0Re s 2z fz 同样这里 并非只能取1/3,只须小于 1即可 返回 上页 下页 续解补充例 解法 3 因点 z=0为 f(z)的一阶极点 ， 所以 ， 依 求极点留数的公式 得 解法 4 因点 z=0为 f(z)的一阶极点 ， 所以 ， 依 求 一阶 极点留数的公式 得 0R esz fz052 2( 1 )zzlim zzz 052 2 ( 1 ) zzzz 0R esz fz返回 上页 下页 例 (P228例
12、6.1) 设 求 解 f(z)在积分曲线 :|z|=2内的奇点为： z =0、 1 容易判定： 则 由留数定理得： 252()( 1 )zfzzz 0R esz fz 2zf z d z2052 2( 1 )zzl i m zzz 1R esz fz 22152( 1 ) 2( 1 )zzzzz 0122 R e s R e szzzf z d z i f z f z 2 2 2 0i z =0为 f(z)的一阶极点 ; z =1为 f(z)的二阶极点 返回 上页 下页 例 (P229例 6.2) 设 求 ， n:自然数 解 令 在积分曲线 :|z|=n内的奇点满足 :|k+1/2|n, 故
13、z=k+1/2 依 求 一阶 极点留数的公式 得： 由留数定理得： ()f z t a n z znf z d zf(z)= 是 的一阶零点， 是 f(z)的一阶极点 f(z) 在整个多平面上解析 得 : 即 f(z)奇点为： 1122 R e snz k /knznf z d z i f z 12 1 4nkni / n i 即 -nkn-1 返回 上页 下页 例 (P229例 6.3) 设 求 解 在积分曲线 :|z|=1内的奇点 : z=0 容易证明 z=0为 f(z)的 3阶极点 依 求极点留数的公式 得： 由留数定理得： 又求留数 c-1为 n=1时的系数 , 3()f z c os
14、 z / z 1zf z d z 23 301( ) 12!nnnzf z c o s z / znz 0R e s 1 2z f z / 即 -1/2 故 返回 上页 下页 例 (P229例 6.4) 设 求 解 在积分曲线 :|z|=1内的奇点 : z=0 利用重要基本初等函数的 泰勒展式 ， 按分子 、 分母展开 f(z): 故 由留数定理得： 3() 1 zz sin zfze 1zf z d z 构造非 0因子 - - - 1 gzzg(z)在 z=0处解析非 0. 因此 f(z)在 z=0的 c-1 为 g(z)在 z=0泰勒展式的常数项 , 即 g(0)=-1 0R e s 1z
15、 fz 012 R e s 2zzf z d z i f z i 返回 上页 下页 又解例 (P229例 6.4) f(z)的因子： z、 sinz、 1-ez都以 z=0为 1阶零点 ， 则 z=0为 f(z)的 1+1-13=-1阶零点 , 即 1阶极点 依 求极点留数的公式 得： 余下和前面一样 00Re szzf z li m zf z 2301z zz s in zlime30011 zzzsin z zli m li mz e 利用零点阶级的运算确定极点的阶 返回 上页 下页 例 (P231例 6.5) 设 求 解 在积分曲线 :|z|=1内的奇点 : z=0 由展开式知 ， z=
16、0为本质奇点 f(z)展开 式 : 因此 f(z)在 z=0的 c-1=0 故 由留数定理得： 如 则 c-1=1 21() /zf z e 1zf z d z 0Re s 0z fz 012 R e s 0zzf z d z i f z 2011()!nnfz n z 1() /zf z e011()!nnfz nz 0R e s 1z fz 012 R e s 2zzf z d z i f z i返回 上页 下页 函数在无穷远点的留数 定义 定义 6.2 设 为 f(z)的一个孤立奇点 ， 即 f(z)在去心邻域 N-:0r|z|+ 解析 ， 则称 为 f(z)在 点 留数 。 注： 积分
17、曲线为负方向 顺时针方向 。 与 洛 朗系数的关系 将 f(z)在 的 洛 朗级数 ， 沿 -逐项积分得 注： ):(,)(2 1 rzdzzfi zR e s f z记为 112zR e s f z f ( z ) d z ci 注意与有限点的差异； 当 为可去奇点时 ， 其留数一般不为 0。 如 1+1/z, 为可去奇点 ,但 1zR e s f z 返回 上页 下页 定理 6.6 如果 f(z)在扩充 z平面上只有有限个孤立奇点 (包括无穷远点在内 ), 则 f(z)在各点的留数总和为零 。 利用有限点的留数定理 ， 很容易证明 注释： 在该定理说明 ， 函数在全平面上所有各点的留数之和
18、为零 ， 这里所说各点包括无限远点和有限远点； 作用： 当周线 C内 (外 )有很多奇点 ， 而 C外 (内 )的奇点少 ， 则可用此定理将求 C内 (外 )留数和转化为求 C外 (内 )留数和 。 不同的留数组合 ， 得不同的公式 ， 可以求不同的留数和 。 求法 -c-1； 由 定理 6.6 含 的 留数定理 1 knz z akRe s f z Re s f z 20 ( 1 / ) 1 / ztR e s f z R e s f t t a1,a2, ,an为 f(z)在 z平面上全部有限奇点 利用定义很容易证明 返回 上页 下页 例 (P233例 6.6) 设 求 解 f(z)在扩充
19、复平面上共有七个奇点： 前六个均在积分曲线 :|z|=4的内部 ， 由 留数定理 ,所求积分 方法一 由 得 c-1=1 故 方法二 152324() 12zfzzz 4zf z d z 612kzaki Re s f z 2 zi R e s f z 15234 2 1 2 4() 1 1 1 2zfzz / z z / z 2324111 1 1 2z / z / z 1zR e s f z 所求积分 =2i 以 t=0为一阶极点，故 t 返回 上页 下页 求周线上积分的方法小结： 积分定理； 积分公式； 高阶导数积分公式； 有限点的 留数定理； 含 的 留数定理 辐角原理 。 将求积分的
20、问题转化为求导数的问题 返回 上页 下页 1 2 3 4 积分路径上有奇点的积分 20I R ( s in , c o s ) d PxI dxQx im xPxI e dxQx 第二节 用留数定理计算实积分 返回 上页 下页 留数定理的应用 求实积分 : 在求一些 实 定积分或反常积分的值时 ,其被积函数的原函数 ,不能用初等函数表示出来 ;或者可以求出原函数 ,但计算非常复杂 . 留数定理的一个重要应用是计算某些实积分 . 如能把实积分化为复积分 ,再用求复积分的方法 ,就可简化问题 . 关键的是设法把实积分跟复变函数在周线上的积分联系起来 . 但是 ,利用留数求 实 积分 ,无通用的方法
21、 ,也不是适合所有 实 积分 . 实积分变为 周线上的 复积分的要点： 定积分 利用变量代换把 l1变为另一复平面上的 周线 ,再 应用留数定理 ; 另外补上一段曲线 l2, 使 l1+l2为 周线 , 积分 左端可用留数定理 , 右端第一个积分为所求 实积分 , 如果右端第二个积分容易求出 , 则问题解决 . 的积分区间 a,b为复平面上实轴上的一段 l1 ba f x d x 1 2 1 2l l l lf z d z f z d z f z d z y x 0 z平面 a b l1 l2 利用极限 ,周线上连续 . 返回 上页 下页 20I R ( s in , c o s ) d R:
22、二元有理函数 方法 : 设 R(sin,cos)在 0,2连续 . 令 : z=e i ， dz=e i id=zid， d=dz/zi : 02 ， z : 在单位圆 |z|=1周上正向变动一周 1iz e / z 222 011 1 1d22zzzR c o s , s in R , d zz i z i z 22112 2 2 2z z z z z zc o s , s i nz i i z 某些不为此标准型的积分 , 可利用积分区间的移动 、 函数的周期 、 奇偶和欧拉公式转化为此标准型 ， 0 2 1 z平面 并注意利用实虚部的比较 返回 上页 下页 例 (P234例 6.7) 求
23、解 当 p=0,I=2,下设 p0 当 0|p|1,f(z)在 |z|1内仅以 z=p为一阶极点 , 故由留数定理 当 1|p|,f(z)在 |z|1内仅以 z=1/p为一阶极点 , 故由留数定理 令 z=e i ， 在 |z|=1上无奇点 , 在 |z|=1上无奇点 , 记 返回 上页 下页 例 (P236例 6.9) 求 解 令 z=e i 当 z绕 |z|=1一周 ， 则 u绕 |u|=1两周 f(z)在 |z|1内仅有一阶极点： 依 求 一阶 极点留数的公式 得： 故由留数定理 在 |z|=1上无奇点 , 2 20 1dIc o s 421461| z |z d zIi z z 242
24、1261| z |dzi z z令 u=z 2 22112426161| u | | u |d u d uIi uui u u 2161uu记 f(z)= 3 2 2u 3 2 2Resu fu 412242Iii 3 2 21126 42uu 变量代换的应用 绕行多周的处理方法 返回 上页 下页 例 (P237例 6.10) 求 解 被积函数为偶函数 ， 故 令 则 f(z)在 |z|1内仅以 z=1/2为一阶极点 , 由留数定理 ， 比较实部 故 令 z=e i 在 |z|=1上无奇点 , = 记 f(z)= 欧拉公式 奇偶函数的处理方法 返回 上页 下页 例 (补充例 ) 求 解 若直接
25、作变换 z=e i ， 则积分复杂 ， 先考虑积分 : 变换 z=e i ， 则 f(z)在 |z|1内仅以 z=0为 n+1阶极点 , 由留数定理 在 |z|=1上无奇点 , 记 f(z)= 比较实部 返回 上页 下页 R:有理函数 方法 : 设 R(x)=P(x)/Q(x),Q(x)在实数中 连续 . 当积分： 考虑添加辅助曲线 R , 使 R与实轴上是区间 -R,R构成周线 C ， 则 其中求和表示 P(x)/Q(x)落在 C内部的 有限个奇点处的留数和 ， 若能估计出 的值 ， 再取极限即得 。 注意： 函数奇偶的应用和收敛的判断 R ,一般去上半圆周 :|z|=R ,Im z0 I R x d x 收敛 z平面 x y -R R R 利用实虚部的比较
