1、1第四章 解三角形命题探究(1)因为 cos B= ,00).sin sin sin则 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入 + = 中,有cos cos sin+ = ,变形可得cossincossinsinsinsin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).3在ABC 中,由 A+B+C=,得 sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以 sin Asin B=sin C.(2)由已知,b 2+c2-a2= bc,65根据余弦定理的推论,有 cos A= = .2+2-22 35所以 sin A= = .1-245由(1),
2、sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以 sin B= cos B+ sin B,45 45 35故 tan B= =4.sincos教师用书专用(1118)11.(2017课标全国文,16,5 分)ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 2bcos B=acos C+ccos A,则 B= .答案 6012.(2017课标全国文改编,11,5 分)ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知 sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c= ,则 C= . 2答案 613.(2017山东理改编,9,5 分)在ABC
3、中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.若ABC 为锐角三角形,且满足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是 . a=2b;b=2a;A=2B;B=2A.答案 14.(2014天津,12,5 分)在ABC 中,内角 A,B,C所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c= a,2sin B=3sin C,则 cos A14的值为 . 答案 -1415.(2014课标,16,5 分)已知 a,b,c分别为ABC 三个内角 A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则ABC 面积的最大值为 .
4、 答案 316.(2013浙江理,16,4 分)在ABC 中,C=90,M 是 BC的中点.若 sinBAM= ,则 sinBAC= . 13答案 6317.(2014湖南,18,12 分)如图,在平面四边形 ABCD中,AD=1,CD=2,AC= .7(1)求 cosCAD 的值;(2)若 cosBAD=- ,sinCBA= ,求 BC的长.714 216解析 (1)在ADC 中,由余弦定理,得4cosCAD= = = .2+2-22 7+1-427 277(2)设BAC=,则 =BAD-CAD.因为 cosCAD= ,cosBAD=- ,277 714所以 sinCAD= = = ,1-2
5、1-(277)2 217sinBAD= = = .1-21-(- 714)232114于是 sin =sin(BAD-CAD)=sinBADcosCAD-cosBADsinCAD= - = .32114 277 (- 714) 217 32在ABC 中,由正弦定理,得 = ,sin sin故 BC= = =3.sinsin7 3221618.(2014辽宁,17,12 分)在ABC 中,内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,且 ac.已知 =2,cos B= ,b=3.求:13(1)a和 c的值;(2)cos(B-C)的值.解析 (1)由 =2得 cacos B=2,又 cos B= ,所
6、以 ac=6.13由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B.又 b=3,所以 a2+c2=9+22=13.解 得 a=2,c=3或 a=3,c=2.=6,2+2=13因为 ac,所以 a=3,c=2.(2)在ABC 中,sin B= = = ,1-21-(13)2223由正弦定理,得 sin C= sin B= = . 23 223 429因为 a=bc,所以 C为锐角.因此 cos C= = = .1-21-(429)279于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C= + = .13 79223 429 23275考点二 解三角形及其应用1.(2017浙江,
7、14,5 分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点 D为 AB延长线上一点,BD=2,连结 CD,则BDC 的面积是 ,cosBDC= . 答案 ;152 1042.(2016课标全国,15,5 分)ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 cos A= ,cos C= ,a=1,则 b= .45 513答案 21133.(2015湖北,13,5 分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到 A处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30的方向上,行驶 600 m后到达 B处,测得此山顶在西偏北 75的方向上,仰角为 30,则此山的高度 CD= m. 答案 100 64.(
8、2017江苏,18,16 分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为 32 cm,容器的底面对角线 AC的长为 10 cm,容器的两底面对角线 EG,E1G1的长分别为 14 cm和 62 cm.分别在容器7和容器中注入水,水深均为 12 cm.现有一根玻璃棒 l,其长度为 40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将 l放在容器中,l 的一端置于点 A处,另一端置于侧棱 CC1上,求 l没入水中部分的长度;(2)将 l放在容器中,l 的一端置于点 E处,另一端置于侧棱 GG1上,求 l没入水中部分的长度.解析 本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理
9、、余弦定理等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及 数学知识分析和解决实际问题的能力.(1)由正棱柱的定义,CC 1平面 ABCD,所以平面 A1ACC1平面 ABCD,CC1AC.记玻璃棒的另一端落在 CC1上点 M处.因为 AC=10 ,AM=40,7所以 MC= =30,从而 sinMAC= .402-(107)234记 AM与水面的交点为 P1,过 P1作 P1Q1AC,Q 1为垂足,则 P1Q1平面 ABCD,故 P1Q1=12,从而 AP1= =16.11sin答:玻璃棒 l没入水中部分的长度为 16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为 24 cm)
10、6(2)如图,O,O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO 1平面 EFGH,所以平面 E1EGG1平面 EFGH,O1OEG.同理,平面 E1EGG1平面 E1F1G1H1,O1OE 1G1.记玻璃棒的另一端落在 GG1上点 N处.过 G作 GKE 1G1,K为垂足,则 GK=OO1=32.因为 EG=14,E1G1=62,所以 KG1= =24,从而 GG1= = =40.62-142 21+2 242+322设EGG 1=,ENG=,则 sin =sin =cosKGG 1= .(2+1) 45因为 ,所以 cos =- .2 35在ENG 中,由正弦定理可得 = ,解得 sin
11、 = .40sin 14sin 725因为 0 ,所以 cos = .2 2425于是 sinNEG=sin(-)=sin(+)=sin cos +cos sin = + = .45 2425(-35) 72535记 EN与水面的交点为 P2,过 P2作 P2Q2EG,交 EG的延长线于 Q2,则 P2Q2平面 EFGH,故 P2Q2=12,从而 EP2=20.22sin答:玻璃棒 l没入水中部分的长度为 20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为 20 cm)5.(2014江苏,18,16 分)如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区
12、.规划要求:新桥 BC与河岸 AB垂直;保护区的边界为圆心 M在线段 OA上并与 BC相切的圆,且古桥两端 O和 A到该圆上任意一点的距离均不少于 80 m.经测量,点 A位于点 O正北方向 60 m处,点 C位于点 O正东方向 170 m处(OC 为河岸),tanBCO= .43(1)求新桥 BC的长;(2)当 OM多长时,圆形保护区的面积最大?解析 解法一:(1)如图,以 O为坐标原点,OC 所在直线为 x轴,建立平面直角坐标系 xOy.7由条件知 A(0,60),C(170,0),直线 BC的斜率 kBC=-tanBCO=- .43因为 ABBC,所以直线 AB的斜率 kAB= .34设
13、点 B的坐标为(a,b),则 kBC= =- ,kAB= = .-0-17043 -60-0 34解得 a=80,b=120.所以 BC= =150(m).(170-80)2+(0-120)2因此新桥 BC的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆 M的半径为 r m,OM=d m(0d60).由条件知,直线 BC的方程为 y=- (x-170),即 4x+3y-680=0.43由于圆 M与直线 BC相切,故点 M(0,d)到直线 BC的距离是 r,即 r= = .|3-680|42+32 680-35因为 O和 A到圆 M上任意一点的距离均不少于 80 m,所以 即-80,-(60-)80,
14、 680-35 -80,680-35 -(60-)80.解得 10d35.故当 d=10时,r= 最大,即圆面积最大.680-35所以当 OM=10 m时,圆形保护区的面积最大.解法二:(1)如图,延长 OA,CB交于点 F.因为 tanFCO= ,43所以 sinFCO= ,cosFCO= .45 35因为 OA=60 m,OC=170 m,8所以 OF=OCtanFCO= m,CF= = m,从而 AF=OF-OA= m.6803 cos8503 5003因为 OAOC,所以 cosAFB=sinFCO= .45又因为 ABBC,所以 BF=AFcosAFB= m,从而 BC=CF-BF=
15、150 m.4003因此新桥 BC的长是 150 m.(2)设保护区的边界圆 M与 BC的切点为 D,连结 MD,则 MDBC,且 MD是圆 M的半径,设 MD=r m,OM=d m(0d60).因为 OAOC,所以 sinCFO=cosFCO.故由(1)知 sinCFO= = = = ,所以 r= .-6803 -35 680-35因为 O和 A到圆 M上任意一点的距离均不少于 80 m,所以 即-80,-(60-)80, 680-35 -80,680-35 -(60-)80.解得 10d35.故当 d=10时,r= 最大,即圆面积最大.680-35所以当 OM=10 m时,圆形保护区的面积
16、最大.6.(2013江苏,18,16 分)如图,游客从某旅游景区的景点 A处下山至 C处有两种路径.一种是从 A沿直线步行到C,另一种是先从 A沿索道乘缆车到 B,然后从 B沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A处下山,甲沿 AC匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min后,乙从 A乘缆车到 B,在 B处停留 1 min后,再从 B匀速步行到 C.假设缆车匀速直线运行的速度为 130 m/min,山路 AC长为 1 260 m,经测量,cos A= ,cos C= .1213 35(1)求索道 AB的长;(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在
17、 C处互相等待的时间不超过 3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解析 (1)在ABC 中,因为 cos A= ,cos C= ,1213 35所以 sin A= ,sin C= .513 45从而 sin B=sin-(A+C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C= + = .513351213456365由 = ,得sinsin9AB= sin C= =1 040(m).sin1 2606365 45所以索道 AB的长为 1 040 m.(2)设乙出发 t分钟后,甲、乙两游客距离为 d m,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A处 130t m,所以由余
18、弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t) =200(37t2-70t+50),1213因 0t ,即 0t8,1 040130故当 t= min时,甲、乙两游客距离最短.3537(3)由 = ,得 BC= sin A= =500(m).sinsin sin1 2606365 513乙从 B出发时,甲已走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710 m才能到达 C.设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3 - 3,500 71050解得 v ,所以为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过 3分钟,乙步行的速度应控制在1 25043 62514
19、(单位:m/min)范围内.1 25043,62514教师用书专用(716)7.(2013福建理,13,4 分)如图,在ABC 中,已知点 D在 BC边上,ADAC,sinBAC= ,AB=3 ,AD=3,则 BD的2232长为 . 答案 38.(2016天津,15,13 分)在ABC 中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知 asin 2B= bsin A.3(1)求 B;(2)若 cos A= ,求 sin C的值.13解析 (1)在ABC 中,由 = ,可得 asin B=bsin A,又由 asin 2B= bsin A,得 2asin Bcos B= bsin A=sin
20、 sin 3 3asin B,所以 cos B= ,得 B= .332 6(2)由 cos A= ,可得 sin A= ,13 223则 sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin (+6)= sin A+ cos A= .32 12 26+16109.(2016浙江,16,14 分)在ABC 中,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.已知 b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若 cos B= ,求 cos C的值.23解析 (1)证明:由正弦定理得 sin B+sin C=2sin Acos B,故 2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=s
21、in B+sin Acos B+cos Asin B,于是 sin B=sin(A-B).又 A,B(0,),故 0A-B,所以,B=-(A-B)或 B=A-B,因此 A=(舍去)或 A=2B,所以,A=2B.(2)由 cos B= 得 sin B= ,23 53cos 2B=2cos2B-1=- ,19故 cos A=- ,sin A= ,19 459cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B= .222710.(2014陕西,16,12 分)ABC 的内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.(1)若 a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=
22、2sin(A+C);(2)若 a,b,c成等比数列,求 cos B的最小值.解析 (1)证明:a,b,c 成等差数列,a+c=2b.由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)a,b,c 成等比数列,b 2=ac.由余弦定理得 cos B= = = ,2+2-22 2+2-2 2-2 12当且仅当 a=c时等号成立.cos B 的最小值为 .1211.(2015课标,17,12 分)ABC 中,D 是 BC上的点, AD平分BAC,BD=2D C.(1)求 ;sinsin(2)若BAC=60,求B.解析 (1)由正弦定理得= , = .sin sinsin sin因为 AD平分BAC,BD=2DC,所以 = = .sinsin12(2)因为C=180-(BAC+B),BAC=60,所以 sinC=sin(BAC+B)= cosB+ sinB.32 12由(1)知 2sinB=sinC,
