1、116.2 抛物线五年高考考点 抛物线标准方程及其几何性质1.(2017 课标全国理改编,10,5 分)已知 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,过 F 作两条互相垂直的直线 l1,l2,直线l1与 C 交于 A,B 两点,直线 l2与 C 交于 D,E 两点,则|AB|+|DE|的最小值为 . 答案 162.(2016 课标全国改编,5,5 分)设 F 为抛物线 C:y2=4x 的焦点,曲线 y= (k0)与 C 交于点 P,PFx 轴,则 k= .答案 23.(2014 辽宁改编,10,5 分)已知点 A(-2,3)在抛物线 C:y2=2px 的准线上,过点 A 的直线与 C 在第一象限
2、相切于点 B,记 C 的焦点为 F,则直线 BF 的斜率为 . 答案 434.(2014 四川改编,10,5 分)已知 F 为抛物线 y2=x 的焦点,点 A,B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧, =2(其中 O 为坐标原点 ),则ABO 与AFO 面积之和的最小值是 . 答案 35.(2017 浙江,21,15 分)如图,已知抛物线 x2=y,点 A ,B ,抛物线上的点 P(x,y) .过点 B 作直(-12,14) (32,94) (-120)交于 M,N 两点.24(1)当 k=0 时,分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程;(2)y 轴上是否存在点 P,使得当 k 变动时,总有
3、OPM=OPN?说明理由.解析 (1)由题设可得 M(2 ,a),N(-2 ,a)或 M(-2 ,a),N(2 ,a). 又 y= ,故 y= 在 x=2 处的导数值为 ,C 在点(2 ,a)处的切线方程为 y-a= (x-2 ),即 x-y-a=0.2 24 y= 在 x=-2 处的导数值为- ,C 在点(-2 ,a)处的切线方程为 y-a=- (x+2 ),即 x+y+a=0.24 故所求切线方程为 x-y-a=0 和 x+y+a=0.(5 分) (2)存在符合题意的点,证明如下:设 P(0,b)为符合题意的点,M(x 1,y1),N(x2,y2),直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k
4、2.将 y=kx+a 代入 C 的方程得 x2-4kx-4a=0.故 x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而 k1+k2= + = = .1-12-2 212+(-)(1+2)12 (+)当 b=-a 时,有 k1+k2=0,则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补,故OPM=OPN,所以点 P(0,-a)符合题意.(12 分)教师用书专用(79)7.(2013 课标全国理改编,11,5 分)设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,点 M 在 C 上,|MF|=5,若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为 . 3答案 y 2=4x 或 y2=16x8.(2014
5、 山东,21,14 分)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为 F,A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的直线 l交 C 于另一点 B,交 x 轴的正半轴于点 D,且有|FA|=|FD|.当点 A 的横坐标为 3 时,ADF 为正三 角形.(1)求 C 的方程;(2)若直线 l1l,且 l1和 C 有且只有一个公共点 E,(i)证明直线 AE 过定点, 并求出定点坐标;(ii)ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值,若不存在,请说明理由.解析 (1)由题意知 F .(2,0)设 D(t,0)(t0),则 FD 的中点为 .(+24 ,0)因为|FA|=|FD|,由抛物
6、线的定义知 3+ = ,2|-2|解得 t=3+p 或 t=-3(舍去).由 =3,解得 p=2.+24所以抛物线 C 的方程为 y2=4x.(2)(i)由(1)知 F(1,0),设 A(x0,y0)(x0y00),D(x D,0)(xD0),因为|FA|=|FD|,则|x D-1|=x0+1,由 xD0 得 xD=x0+2,故 D(x0+2,0).故直线 AB 的斜率 kAB=- .02因为直线 l1和直线 AB 平行,设直线 l1的方程为 y=- x+b,02代入抛物线方程得 y2+ y- =0,8080由题意 = + =0,得 b=- .6420320 20设 E(xE,yE),则 yE
7、=- ,xE= ,40420当 4 时,k AE= =- = ,20-0-040+0420-204 4020-4可得直线 AE 的方程为 y-y0= (x-x0),4020-4由 =4x0,20整理可得 y= (x-1),4020-44直线 AE 恒过点 F(1,0).当 =4 时,直线 AE 的方程为 x=1,过点 F(1,0),20所以直线 AE 过定点 F(1,0).(ii)由(i)知直线 AE 过焦点 F(1,0),所以|AE|=|AF|+|FE|=(x 0+1)+ =x0+ +2.(10+1)10设直线 AE 的方程为 x=my+1,因为点 A(x0,y0)在直线 AE 上,故 m=
8、 ,0-10设 B(x1,y1),直线 AB 的方程为 y-y0=- (x-x0),02由于 y00,可得 x=- y+2+x0,20代入抛物线方程得 y2+ y-8-4x0=0.80所以 y0+y1=- ,80可求得 y1=-y0- ,x1= +x0+4,8040所以点 B 到直线 AE 的距离为d=|40+0+4+(0+80)-1|1+2=4(0+1)0=4 .(0+ 10)则ABE 的面积 S= 4 16,12 ( 0+ 10)(0+10+2)当且仅当 =x0,即 x0=1 时等号成立 .10所以ABE 的面积的最小值为 16.9.(2013 湖南理,21,13 分)过抛物线 E:x2=
9、2py(p0)的焦点 F 作斜率分别为 k1,k2的两条不同直线 l1,l2,且k1+k2=2,l1与 E 相交于点 A,B,l2与 E 相交于点 C,D,以 AB,CD 为直径的圆 M,圆 N(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为 l.(1)若 k10,k20,证明: 0,k20,k1k 2,所以 00,所以点 M 到直线 l 的距离d= =|221+1+|5|221+1+1|5= .2(1+14)2+785故当 k1=- 时,d 取最小值 .由题设得, = ,解得 p=8.故所求的抛物线 E 的方程为 x2=16y.14 785 785755三年模拟A 组 20162018 年模拟基础题组
10、6考点 抛物线标准方程及其几何性质1.(2017 河北普通高中质量监测,20)已知抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点 F 与椭圆 C: + =1 的一个焦点重合,26 25点 A(x0,2)在抛物线上,过焦点 F 的直线 l 交抛物线于 M,N 两点.(1)求抛物线 C 的方程以及|AF|的值;(2)记抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 B,若 = ,|BM|2+|BN|2=40,求实数 的值. 解析 (1)依题意知,椭圆 C: + =1 中,a 2=6,b2=5,故 c2=a2-b2=1,26 25故 F(1,0),故 =1,则 2p=4,故抛物线 C 的方程为 y2=4x.2将(x 0
11、,2)代入 y2=4x,解得 x0=1,故|AF|=1+ =2.2(2)设 l:x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2),联立得 消去 x,得 y2-4my-4=0,2=4,=+1,所以 1+2=4,12=-4, 又 = ,则(1-x 1,-y1)=(x 2-1,y2),即 y1=-y 2, 代入得 消去 y2得 4m2=+ -2.(1-)2=4,-22=-4, 1易得 B(-1,0),则 =(x1+1,y1), =(x2+1,y2), 则|BM| 2+|BN|2= + =(x1+1)2+ +(x2+1)2+ = + +2(x1+x2)+2+ +22 21 222122 2122=(m
12、y1+1)2+(my2+1)2+2(my1+my2+2)+2+ +2122=(m2+1)( + )+4m(y1+y2)+82122=(m2+1)(16m2+8)+4m4m+8=16m4+40m2+16,由 16m4+40m2+16=40,解得 m2= ,12故 + =4,解得 =2 .1 32.(2017 江苏南京调研)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=2px(p0)的准线 l 与 x 轴交于点 M,过 M 的直线与抛物线交于 A,B 两点.设 A(x1,y1)到准线 l 的距离为 d,且 d=p(0).(1)若 y1=d=1,求抛物线的标准方程;(2)若 + =0,求证:直线
13、 AB 的斜率为定值. 7解析 (1)由条件知,A ,代入抛物线方程得 p=1.(1-2,1)所以抛物线的方程为 y2=2x.(2)证明:设 B(x2,y2),直线 AB 的方程为 y=k (k0).(+2)将直线 AB 的方程代入 y2=2px,消去 y 得 k2x2+p(k2-2)x+ =0,224所以 x1= ,x2= .-(2-2)-21-222-(2-2)+21-222因为 d=p,所以 x1+ =p,2又 + =0,所以 x1+ =(x 2-x1), 2所以 p=x2-x1= ,21-22所以 k2=2 -2,所以直线 AB 的斜率为定值.2B 组 20162018 年模拟提升题组
14、(满分:30 分 时间:15 分钟)解答题(共 30 分)1.(2017 江苏苏州自主学习测试)已知抛物线 C 的方程为 y2=2px(p0),点 R(1,2)在抛物线 C 上.(1)求抛物线 C 的方程;(2)过点 Q(1,1)作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A,B,若直线 AR,BR 分别交直线 l:y=2x+2 于 M,N 两点,求|MN|最小时直线 AB 的方程.解析 (1) 点 R(1,2)在抛物线 C 上,2p=4,p=2,抛物线 C 的方程为 y2=4x.(2)显然直线 AB 的斜率存在且不为 0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 x=m(y
15、-1)+1(m0).由 消去 x,整理得 y2-4my+4(m-1)=0.=(-1)+1,2=4 1+2=4,12=4(-1).设直线 AR 的方程为 y=k 1(x-1)+2,8由 得点 M 的横坐标 xM= ,=1(-1)+2,=2+2 11-2又 k1= = = ,x M= =- .1-21-11-2214-1 41+211-2 21同理,点 N 的横坐标 xN=- .22|y 2-y1|= =4(2+1)2-412 2-+1= |xM-xN|= =255|-21+22| 5|2-112|=8 =2 .52-+14|-1| 52-+1|-1|令 m-1=t,t0,则 m=t+1,|MN|
16、=2 =2 .52+12 5 12+1+1|MN|=2 ,5(1+12)2+34 15当 t=-2,即 m=-1 时,|MN|的最小值为 ,此时直线 AB 的方程为 x+y-2=0.152.(2016 江苏常州高级中学调研,23)若抛物线 C 的顶点在坐标原点 O,其图象关于 x 轴对称,且经过点 M(2,2).(1)求抛物线 C 的方程;(2)过点 M 作抛物线 C 的两条弦 MA,MB,设 MA,MB 所在直线的斜率分别为 k1,k2,当 k1,k2变化且满足 k1+k2=-1 时,证明直线 AB 过定点,并求出该定点坐标.解析 (1)由题意可设所求抛物线的标准方程为 y2=2px,因为抛
17、物线经过点 M(2,2),故 22=2p22p=2,从 而 y2=2x.(2)抛物线的弦 MA,MB 与抛物线交于两点,从而它们所在直线的斜率 k1,k2满足 k10,k 20,设 A(xA,yA),B(xB,yB),由 2=2,-2=1(-2),得 xA= ,yA= -2,同理 xB= ,yB= -2,(2-21)2221 21(2-22)2222 22从而 A,B 所在直线的方程为:- x- =0,-(21-2)(2-22)2222 -(2-21)2221 (2-21)2221 (22-2)-(21-2)由 k1+k2=-1,可得: (x+2y+2)+ (x+2y+2)-(y+4)k1=0
18、,31 21因为 k1R,所以 解得 x=6,y=-4,+4=0,+2+2=0,所以直线 AB 过定点,且定点坐标为(6,-4).C 组 20162018 年模拟方法题组9方法 直线与抛物线的位置关系1.(2017 苏北三市三模,22)在平面直角坐标系 xOy 中,点 F(1,0),直线 x=-1 与动直线 y=n 的交点为 M,线段 MF的中垂线与动直线 y=n 的交点为 P.(1)求动点 P 的轨迹 E 的方程;(2)过动点 M作曲线 E 的两条切线,切点分别为 A,B,求证:AMB 的大小为定值.解析 (1)因为直线 y=n 与 x=-1 垂直,所以 MP 为点 P 到直线 x=-1 的
19、距离.连结 PF,因为 P 为线段 MF 的中垂线与直线 y=n 的交点,所以|MP|=|PF|.所以点 P 的轨迹是抛物线.其焦点为 F(1,0),准线为 x=-1.所以轨迹 E 的方程为 y2=4x.(2)证明:由题意知,过点 M(-1,n)的切线斜率存在,设切线方程为 y-n=k(x+1),由 得 ky2-4y+4k+4n=0,=+,2=4 所以 1=16-4k(4k+4n)=0,即 k2+kn-1=0(*).因为 2=n2+40,所以方程(*)存在两个不等实根,设为 k1,k2,因为 k1k2=-1,所以AMB=90,为定值.2.(2016 江苏新海中学月考)在平面直角坐标系 xOy
20、中,已知抛物线 y2=2px(p0)的准线方程为 x=- ,过点 M(0,-142)作抛物线的切线 MA,切点为 A(异于点 O).直线 l 过点 M 与抛物线交于 B,C 两点,与直线 OA 交于点 N.(1)求抛物线的方程;(2) + 的值是否为定值 ?若是,求出定值;若不是,说明理由 .| |解析 (1)由题设,知- =- ,即 p= ,2 14 12所以抛物线的方程为 y2=x.(2)设 A(x0,y0),因为函数 y=- 的导函数为 y=- ,12所以直线 MA 的方程为 y-y0=- (x-x0),120因为点 M(0,-2)在直线 MA 上,所以-2-y 0=- (0-x0).12010由 解得 A(16,-4).所以直线 OA 的方程为 y=- x.20=0,0=-2-120, 14设直线 BC 的方程为 y=kx-2,B(xB,yB),C(xC,yC),N(xN,yN),由 得 k2x2-(4k+1)x+4=0,2=,=-2,易知 k0,所以 xB+xC= ,xBxC= .由 得 xN= .4+1242 =-14,=-2, 84+1所以, + = + = =2,| | 84+14+1242故 + 为定值 2.| |
