1、1第十九章 推理与证明(数学归纳法)考纲解读五年高考统计考点 内容解读 要求2013 2014 2015 2016 2017 常考题型 预测热度数学归纳法 利用数学归纳法证明有关结论 23 题10 分 23 题10 分 解答题 分析解读 数学归纳法主要用来解决与正整数有关的命题,是命题的热点内容.通常与推理、数列、不等式证明、二项式定理等知识结合来考查逻辑推理能力.命题探究(1)由已知,得 f1(x)=f 0(x)= = - ,于是(sin) cos sin2f2(x)=f 1(x)= - =- - + ,所(cos) (sin2) sin 2cos2 2sin3以 f1 =- , f2 =-
2、 + .(2) 42 (2) 2163故 2f1 + f2 =-1.(2)2 (2)(2)证明:由已知,得 xf0(x)=sin x,等式两边分别对x 求导,得 f0(x)+xf 0(x)=cos x,即 f0(x)+xf1(x)=cos x=sin ,类似可得(+2)2f1(x)+xf2(x)=-sin x=sin(x+),3f2(x)+xf3(x)=-cos x=sin ,(+32)4f3(x)+xf4(x)=sin x=sin(x+2).下面用数学归纳法证明等式 nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的 nN *都成立 .(+2)(i)当 n=1 时,由上可知等式成立.(ii)假设
3、当 n=k 时等式成立,即 kfk-1(x)+xfk(x)=sin.(+2)因为kf k-1(x)+xfk(x)=kf k-1(x)+fk(x)+xf k(x)=(k+1)fk(x)+xfk+1(x), =cos sin(+2) (+2)=sin ,(+2) +(+1)2 所以(k+1)f k(x)+xfk+1(x)=sin .+(+1)2 因此当 n=k+1 时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式 nfn-1(x)+xfn(x)=sin对所有的 nN *都成立 .(+2)令 x= ,可得 nfn-1 + fn =sin (nN *).4 (4)4 (4) (4+2)所以 = (nN *
4、).|-1(4)+4(4)| 222五年高考考点 数学归纳法1.(2017 浙江,22,15 分)已知数列x n满足:x 1=1,xn=xn+1+ln(1+xn+1)(nN *).证明:当 nN *时,(1)00.当 n=1 时,x 1=10.假设 n=k 时,x k0,那么 n=k+1 时,若 xk+10,则 00.因此 xn0(nN *).所以 xn=xn+1+ln(1+xn+1)xn+1.因此 00(x0).22+1函数 f(x)在0,+)上单调递增,所以 f(x)f(0)=0,因此 -2xn+1+(xn+1+2)ln(1+xn+1)=f(xn+1)0,2+1故 2xn+1-xn (nN
5、 *).+12(3)因为 xn=xn+1+ln(1+xn+1)x n+1+xn+1=2xn+1,所以 xn .12-1由 2x n+1-xn得 - 2 0,+121+112 (1-12)所以 - 2 2 n-1 =2n-2,112 ( 1-1-12) (11-12)故 xn .综上 , x n (nN *).12-212-112-22.(2014 广东节选,19,14 分)设数列a n的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2nan+1-3n2-4n,nN *,且 S3=15.(1)求 a1,a2,a3的值;(2)求数列a n的通项公式.解析 (1)依题有 1=1=22-3-4,2=1+2=43-
6、12-8,3=1+2+3=15, 解得 a1=3,a2=5,a3=7.3(2)S n=2nan+1-3n2-4n,当 n2 时,S n-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1).-并整理得 an+1= .(2-1)+6+12由(1)猜想 an=2n+1,下面用数学归纳法证明.当 n=1 时,a 1=2+1=3,命题成立;假设当 n=k 时,a k=2k+1 命题成立.则当 n=k+1 时,a k+1=(2-1)+6+12=(2-1)(2+1)+6+12=2k+3=2(k+1)+1,即当 n=k+1 时,结论成立.综上,nN *,an=2n+1.3.(2014 重庆,22,12 分)设
7、 a1=1,an+1= +b(nN *).2-2+2(1)若 b=1,求 a2,a3及数列a n的通项公式;(2)若 b=-1,问:是否存在实数 c 使得 a2nf(a2k+1)f(1)=a2,即 1ca2k+2a2.再由 f(x)在(-,1上为减函数得 c=f(c)f(a2k+1)=a2k+2,a2(k+1)=f(a2k+1)f(a2n+1),即 a2n+1a2n+2,所以 a2n+1 -1,解得 a2n+1 .22+1-22+1+2 14综上,由、知存在 c= 使 a2n1 时,对 x(0,a-1有 (x)1 时,存在 x0,使 (x)n-ln(n+1).证明如下:证法一:上述不等式等价于
8、 + + ,x0.1+6令 x= ,nN +,则 ,x0.1+令 x= ,nN +,则 ln .1 +1 1+1故有 ln 2-ln 1 ,ln 3-ln 2 ,12 13ln(n+1)-ln n ,1+1上述各式相加可得 ln(n+1) + + .结论得证.1213 1+16.(2014 大纲全国,22,12 分)函数 f(x)=ln(x+1)- (a1).+(1)讨论 f(x)的单调性;(2)设 a1=1,an+1=ln(an+1),证明: 0, f(x)在(-1,a 2-2a)上是增函数;若 x(a 2-2a,0),则 f (x)0, f(x)在(0,+)上是增函数.(4 分)(ii)当
9、 a=2 时, f (x)0, f (x)=0 成立当且仅当 x=0, f(x)在(-1,+)上是增函数.(iii)当 a2 时,若 x(-1,0),则 f (x)0, f(x)在(-1,0)上是增函数;若 x(0,a 2-2a),则 f (x)0, f(x)在(a 2-2a,+)上是增函数.(6 分)(2)由(1)知,当 a=2 时, f(x)在(-1,+)上是增函数.当 x(0,+)时, f(x)f(0)=0,即 ln(x+1) (x0).2+2又由(1)知,当 a=3 时, f(x)在0,3)上是减函数.当 x(0,3)时, f(x)ln = ,(2+2+1)2 2+22+2+2 2+3
10、ak+1=ln(ak+1)ln 0,f(x)= ,令 a1=1,an+1=f(an),nN *.+(1)写出 a2,a3,a4的值,并猜想数列a n的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的结论.解析 (1)a 1=1,a 2=f(a1)=f(1)= ;1+a3=f(a2)= ;a4=f(a3)= .2+ 3+猜想 an= (nN *).(-1)+(2)证明:易知,n=1 时,猜想正确.假设 n=k(kN *)时猜想正确,即 ak= ,(-1)+则 ak+1=f(ak)= = = = .+ (-1)+ (-1)+ (-1)+1 (+1)-1+所以 n=k+1 时猜想正确 .由知,对于任何 nN *
11、,都有 an= .(-1)+3.(2017 江苏苏北四市摸底)设 nN *,f(n)=3n+7n-2.(1)求 f(1),f(2),f(3)的值;(2)证明:对任意正整数 n,f(n)是 8 的倍数.解析 (1)f(1)=3 1+71-2=8,f(2)=32+72-2=56,f(3)=33+73-2=368.(2)证明:当 n=1 时,f(1)=8 是 8 的倍数,命题成立.假设当 n=k 时命题成立,即 f(k)=3k+7k-2 是 8 的倍数,当 n=k+1 时,f(k+1)=3 k+1+7k+1-2=3(3k+7k-2)+4(7k+1),因为 7k+1 是偶数,所以 4(7k+1)是 8
12、 的倍数,又由归纳假设知 3(3k+7k-2)是 8 的倍数,所以 f(k+1)是 8 的倍数,所以当 n=k+1 时 ,命题也成立.根据知命题对任意 nN *成立.4.(2017 江苏南通中学质检)在数列 a0,a1,a2,an,中,已知 a0=a1=1,a2=3,an=3an-1-an-2-2an-3(n3).(1)求 a3,a4;(2)证明:a n2n-1(n2).解析 (1)a 3=3a2-a1-2a0=6,a4=3a3-a2-2a1=13.(2)证明:易知 a5=3a4-a3-2a2=27,猜想当 n4 时,a n2an-1.(i)当 n=4,5 时,上述不等式成立,即有 a42a3
13、,a52a4,(ii)假设当 n=k(k5)时,a k2ak-1,ak-12ak-2,则当 n=k+1 时,ak+1=3ak-ak-1-2ak-2=2ak+(ak-ak-1-2ak-2)=2ak+(ak-2ak-1)+(ak-1-2ak-2)2ak.即 n=k+1(k5)时,a k+12ak,综上,当 n4 时,a n2an-1.a n2an-122an-22n-3a3=2n-362n-1,即 an2n-1(n4),又 a2=322-1,a3=623-1,所以 an2n-1(n2).B 组 20162018 年模拟提升题组(满分:30 分 时间:15 分钟)9解答题(共 30 分)1.(苏教选
14、 21,二,13,变式)已知数列a n的前 n 项和 Sn满足:S n= + -1,且 an0,nN *.2 1(1)求 a1,a2,a3,并猜想a n的通项公式;(2)证明通项公式的正确性.解析 (1)当 n=1 时,由已知得 a1= + -1, +2a1-2=0.1211 21a 10,a 1= -1.3当 n=2 时,由已知得 a1+a2= + -1,2212将 a1= -1 代入并整理得 +2 a2-2=0.3 22 3a 20,a 2= - .5 3同理可得 a3= - .7 5猜想 an= - (nN *).2+1 2-1(2)证明:由(1)知,当 n=1,2,3 时,通项公式成立
15、.假设当 n=k(k3,kN *)时 ,通项公式成立,即 ak= - .2+1 2-1ak+1=Sk+1-Sk= + - - ,+121+12 1将 ak= - 代入上式并整理得2+1 2-1+2 ak+1-2=0,2+1 2+1a k+10,a k+1= - .2+3 2+1即当 n=k+1 时,通项公式也成立.由和可知,对所有 nN *,an= - 都成立.2+1 2-12.(2017 江苏南通、扬州、泰州高三第三次模拟考试,23)已知函数 f0(x)= (a0,ac-bd0).设 fn(x)为+fn-1(x)(nN *)的导函数.(1)求 f1(x), f2(x);(2)猜想 fn(x)
16、的表达式,并证明你的结论.解析 (1)f 1(x)=f0(x)= = ,(+) -(+)2f2(x)=f1(x)= = .-(+)2-2(-)(+)3(2)猜想 fn(x)= ,nN *.(-1)-1-1(-)!(+)+1证明:当 n=1 时,由(1)知结论成立;假设当 n=k,kN *时结论成立,即有 fk(x)= .(-1)-1-1(-)!(+)+1当 n=k+1 时,10fk+1(x)=fk(x)=(-1)-1-1(-)!(+)+1 =(-1)k-1ak-1(bc-ad)k!(ax+b)-(k+1)= ,(-1)(-)(+1)!(+)+2所以当 n=k+1 时结论成立.由得, f n(x
17、)= ,nN *.(-1)-1-1(-)!(+)+1C 组 20162018 年模拟方法题组方法 数学归纳法1.(2017 苏锡常镇四市高三教学情况调研(二),23)已知 fn(x)= xn- (x-1)n+(-1)k (x-k)n+(-1)n (x-n)0 1 n,其中 xR,nN *,kN ,kn.(1)试求 f1(x), f2(x), f3(x)的值;(2)试猜测 fn(x)关于 n 的表达式,并证明你的结论.解析 (1)f 1(x)= x- (x-1)=x-x+1=1;01 11f2(x)= x2- (x-1)2+ (x-2)2=x2-2(x2-2x+1)+(x2-4x+4)=2;02
18、 12 22f3(x)= x3- (x-1)3+ (x-2)3- (x-3)303 13 23 33=x3-3(x-1)3+3(x-2)3-(x-3)3=6.(2)猜测:f n(x)=n!.而 k =k = ,!(-)! !(-1)!(-)!n =n = ,-1-1(-1)!(-1)!(-)! !(-1)!(-)!所以 k =n . -1-1用数学归纳法证明结论成立.当 n=1 时, f 1(x)=1,结论成立.假设当 n=k 时,结论成立,即 fk(x)= xk- (x-1)k+(-1)k (x-k)k=k!.0 1 当 n=k+1 时, f k+1(x)= xk+1- (x-1)k+1+(
19、-1)k+1 (x-k-1)k+10+1 1+1 +1+1= xk+1- (x-1)k(x-1)+(-1)k (x-k)k(x-k)+(-1)k+1 (x-k-1)k+10+1 1+1 +1 +1+1=x xk- (x-1)k+(-1)k (x-k)k+ (x-1)k-2 (x-2)k+(-1)k+1k (x-k)k+(-1)k+1 (x-0+1 1+1 +1 1+1 2+1 +1 +1+1k-1)k+1=x xk-( + )(x-1)k+(-1)k( + )(x-k)k+(k+1)(x-1)k- (x-2)k+(-1)k+1 (x-k)k+(-1)k+10 10 -1 1 -1(x-k-1)k(x-k-1)+1+1
