1、数学选修4-7优选法与试验设计初步,课题:黄金分割法0.618法,授课:张贤华,学校:衡阳市第八中学,时间:2011年上期,问题提出,1.优选法的含意是什么？,利用数学原理,合理安排试验,以最少的实验次数迅速找到最佳点的科学试验方法.,2.区间a,b上的单峰函数的基本特点是什么？,函数在区间a,b上只有唯一的最大(小)值点C,且在点C的两侧单调,并具有相反的单调性.,3.好点、差点和单峰函数存优范围的含义分别是什么？,好点：两个试点中效果较好的点；,差点：两个试点中效果较差的点；,存优范围:以差点为分界点,把因素范围分成两部分,好点所在部分对应的范围.,问题提出,差点分界好点定域,4.优选法的
2、基本原则是以最少的实验次数迅速找到最佳点,在实际问题中,应采取什么办法贯彻这个原则？对具有单峰性的试验,如何安排试点才能迅速找到最佳点？这才是优选法的核心内容,也是我们必须解决的问题.,问题提出,黄金分割法,探究一：黄金分割常数,思考1：对于单峰函数,最佳点与好点必在差点的同侧,从而可以通过不断缩小存优范围来寻找最佳点,具体如何操作？,先在因素范围a,b内任选两点各做一次试验,根据试验结果确定好点与差点,在差点处把a,b分成两段,截掉不含好点的一段,留下存优范围a1,b1再在a1,b1内重复上述工作,.,思考2：假设因素区间为0,1,取两个试点0.1和0.2,则对峰值在(0,0.1)内的单峰函
3、数,两次试验存优范围缩小到了什么区间？对峰值在(0.2,1)内的单峰函数,两次试验存优范围缩小到了什么区间？,(0，0.2),(0.1，1),探究一：黄金分割常数,思考3：上述结果表明,如果试点选取是随意的,则对寻找单峰函数最佳点的效率会产生一定的影响.由于在试验之前无法预知哪个试点是好点,为了克服盲目性和侥幸心理,在每次选取两个试点时,你认为这两个试点应具有什么相对位置关系为好？,关于区间中点对称,探究一：黄金分割常数,思考4：在因素区间a,b内选取两个试点x1和x2,且x1x2,由点x1和x2关于区间a,b的中心对称,可得什么关系？舍去的区间长度为多少？,x2abx1,探究一：黄金分割常数
4、,思考5：不妨设x2是好点,x1是差点,则舍去的区间是什么？存优范围是什么？,存优范围是a，x1,舍去(x1，b,探究一：黄金分割常数,思考6：在一个区间内关于中点对称的两点有无数对,实践表明,两个试点离中点太近或太远,都不利于很快接近最佳点.我们设想：每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度之比为常数.若在存优范围a,x1内取第三个试点x3,则点x2与x3的相对位置关系如何？舍去的区间长度为多少？,探究一：黄金分割常数,关于区间a,x1的中心对称,且点x3在点x2左侧,舍去的区间长度为x1x2.,思考7：根据按比例舍去原则,可得什么等式？,探究一：黄金分割常数,两次舍弃后的存优范围占舍弃前全区间
5、的比例数.,探究一：黄金分割常数,思考9：设 ,有什么办法求出t的值吗？,探究一：黄金分割常数,探究二：黄金分割法,思考1： 称为黄金分割常数,用表示,0.618.试验方法中,利用黄金分割常数确定试点的方法叫做黄金分割法,也叫做0.618法.一般地,利用这个方法寻找单峰函数在因素区间a,b内的最佳点,具体如何操作？,在存优范围内取黄金分割点为试点.,思考2：炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料,使练出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢,每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间,若以1g为间隔,把所有的可能性都做一遍试验来寻找最优点,这种方法称为均分法,利用均分法寻找
6、最优点有什么缺点？,试验次数太多,在时间、人力和物力上造成浪费.,探究二：黄金分割法,思考3：用一张纸条表示10002000g,以1000为起点标出刻度,如何确定第一试点x1和第二试点x2的值？,1382,1618,x110000.618(20001000) 1618(g)，,x210002000x11382(g).,探究二：黄金分割法,x1小0.618(大小)， x2小大x1.,探究二：黄金分割法,思考5：用黄金分割法确定第一试点x1后,x2的值相当于“加两头,减中间”.类似地,在确定第n个试点xn时,如果存优范围内相应的好点是xm,则xn等于什么？,xn小大xm,探究二：黄金分割法,思考6
7、：对前述炼钢问题,比较第一、二次试验结果,如果第二试点x2是好点,则第三试点x3的值如何计算？,x31000161813821236(g),探究二：黄金分割法,思考7：比较第二、三次试验结果,如果第二试点x2仍是好点,则第四试点x4的值如何计算？,x41236161813821472(g),探究二：黄金分割法,思考8：用0.618法寻找最佳点时,虽然不能保证在有限次内准确找到最佳点,但随着试验次数的增加,存优范围会越来越小,若用一个数据n来刻画n次试验后的精度,以此衡量一种试验方法的效率,则n应如何计算？,探究二：黄金分割法,思考9：用0.618法确定试点时，n次试验后的精度n为多少？,n0.
8、618n1,思考10：用0.618法寻找最佳点时，若给定精度，为了达到这个精度，至少要做多少次试验？,探究二：黄金分割法,例1 调酒师为了调制一种鸡尾酒,每100kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量在1kg到2kg之间,用0.618法寻找它的最佳加入量,要求加入柠檬汁的误差不超出1g,问需要做多少次试验？,需要做16次试验,例2 在用0.618法寻找最佳点的过程中,若某次试验后的存优范围是2,b且2.382是这个存优范围内的一个好点,求b的值.,b2.618或b3.,探究二：黄金分割法,课堂小结,1.建立黄金分割法的基本原则是：两个试点关于存优范围的中心对称,且每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度成比例.,2.黄金分割法主要适用于单因素单峰目标函数,第一个试点确定在因素范围的0.618处,后续试点可以用“加两头,减中间”来确定.,3.试验方法的效率常用精度n来反映，在相同试验次数下,精度越高,方法越好.,课堂小结,P10习题1.3：1，2，3.,作业布置,
