1、1构造一元一次方程解题在数学题目中有许多看似与一元一次方程无关的问题，只要能根据题目的特点，利用数学中的相关知识，构造出一元一次方程，就能快速、准确地求解.现就如何利用有关知识来构造一元一次方程解题举例说明，希望能对同学们的学习一元一次方程，巩固相关知识有所帮助.一、利用一元一次方程的定义例 1 若 3x2m3 60 是关于 x 的一元一次方程，试求代数式 12m2+3m1 的值.分析 因为 x2m3 60 是关于 x 的一元一次方程，所以由一元一次方程的定义可以得到 m 的一元一次方程，再求出 m 的值，进而可以求出代数式的值.解 依题意，得 2m31，解得 m2，所以当 m2 时， m2+
2、3m1 22+3217.二、利用一元一次方程解的定义例 2 已知 x3 是方程 4x7 x k 的解，求 k 的值.分析 把 x3 代入方程中，可得到含有 k 的方程，再解出 k.解 把 x3 代入方程 4x7 x k，得 4(3)7(3) k，即1221 k，解得 k9.三、利用两个一元一次方程的解相同的意义例 3 若方程 1263x1 24x与关于 x 的方程 x+ 63a 3 x 的解相同，求 a 的值.分析 依题意可以先求出方程 163x1 24的解，将其解代入关于 x 的方程 x+ 63 3 x，即可得到以 a 为未知数的方程，从而求出 a 的值.解 将方程 1261 24x化简，得
3、 2(12 x)+4(x+1)123(2 x+1)，即 24 x+4x+4126 x3，解得 x 1.把 x 1代入方程 x+ a 63 x，得到以 a 为未知数的方程：1623a362a.即 3 2.2解这个方程得 3+2(3 a) a33，即 a6.四、根据方程无解例 4 已知关于 x 的一次方程(3 a+8)x+70 无解，则 9a23 a64 的值是多少？分析 若关于 x 的方程 ax b 无解，则有 a0，且 b0.这样在本题就有方程3a+80，从而可以解出 a 的值，进而求解.解 依据题意，得 3a+80，解得 a 83，所以当 a 8时，9 a23 a64923 83 6424.
4、五、根据方程有无穷解例 5 如果不论 k 为何值， x1 总是关于 x 的方程 2ka xbk的解.求 ab 的值.分析 不论 k 为何值， x1 总是关于 x 的方程 3的解的含义是说当 x1 时，得到一个关于 k 的方程有无穷解，方程有无穷解的意义是：若关于 x 的方程ax b 有无穷解，则有 a0，且 b0，于是本题中可以整理出关于 k 的方程的一般形式，进而求解.解 把 x1 代入关于 x 的方程 2ka 3xb，并整理，得(2 b3) k23 a，此时依题意，得 2b30 且 23 a0，解得 a ， b 2.当 a ， b 时， ab 1.六、利用互为相反数的性质例 6 若 5m+
5、 41与 5(m )的值互为相反数，求 m 的值分析 若两个数是互为相反数，则这两个数的和等于 0，这样就可以构造出含有 m 的方程，再解出 m.解 因为 5m+ 41与 5(m )的值互为相反数，所以 5m+ 41+5(m )0.解这个一元一次方程，得 m 10.七、利用绝对值的意义例 7 如果一个数与 2 的差的绝对值等于 6，那么这个数等于多少?分析 由于绝对值等于 6 的数有两个，若设这个数为 x，则有方程 x26 或3x26，从而求解.解 设这个数为 x，则由题意，得 x26，即 x26 或 x26，解得 x8 或 x4，因此这个数是 8 或4.八、利用互为倒数的概念例 8 已知关于
6、 x 的方程 2m x+ 3与 13 x2 的解互为倒数，求 m 的值.分析 依题意可知方程 13 x2 的解的倒数是关于 x 的方程 2 x+ 3的解，这样就可以构造含有 m 的方程，再解出 m.解 解方程 3x3 x2，得 x1，因为与 1 互为倒数的仍为 1，所以把 1 代入方程 2x x+ 3m中的 x，即 21+ 3，解得 m 5.九、利用两个代数式的值相等的意义例 9 已知代数式 12x 3的值比 13x的值小 1，求 x 的值.分析 依题意可得到含 x 的一元一次方程，再解得 x 即可.解 由题意，得 1.去分母并整理，3x3，解得 x1.因此 x1 时符合题意.十、利用同类项的
7、概念例 10 若代数式 4x2m1 y 与3 x3y5m+n是同类项，求代数式 m2+5mn+n2的值.分析 由同类项的定义可知代数式 4x2m1 y 与3 x3y5m+n中的对应字母的指数分别相等，这样就可以构造出 m、 n 的一次方程，求出 m、 n 的值，从而求解.解 因为代数式 4x2m1 y 与3 x3y5m+n是同类项，所以有 2m13 且 5m+n1，解得 m2， n9，所以当 m2， n9 时， m2+5mn+n22 2+52(9)+(9) 25.十一、利用多项式的意义例 11 多项式 3x3k5 y(2 k)2 xy+3 的是九次多项式，求 k 的值.分析 该多项式是一个九次
8、多项式，则说明 3x3k5 y(2 k)项的指数和为 9，这样就可4以得到含 k 的方程，再求出 k 值.解 因为多项式 3x3k5 y(2 k)2 xy+3 的是九次多项式，所以 3k5 +(2 k)9，解得 k4.十二、利用代数式中不含某项例 12 若代数式( x23 kxy3 y2)+(1xy8)中不含 xy 项. 求 k 的值.分析 代数式中不含某项，则表示该项的系数为零，从而可以构造出方程求解.解 因为( x23 kxy3 y2)+( xy8) x2+(33 k)xy3 y28，而依题意此式中不含xy 项.所以令 13 k0，即 k 19.十三、利用多项式中的值与某字母无关例 13
9、代数式(2 x2+ax 3y+5)( 2x2 y+1 bx2)的值与字母 x 的取值无关.求a， b 的值.分析 若代数式的值与某些字母的取值无关，则表明化简结果不含有该字母，即该字母的系数为零，从而构造出方程求解.解 将多项式化简得(2+ b)x2+(a 1)x+53y 4，因为多项式的值与 x 取值无关，所以 2+b0， a 120，即 b2， a .所以当 a ， b2 时代数式(2 x2+ax 13y+5)( 2x2 y+1 bx2)的值与字母 x的取值无关.十四、利用非负数的性质例 14 已知( x+y+3)2+2 x40，试求多项式 x2+y2 x3 的值. 分析 解 因为( x+
10、y+3)2+2 x40，而( x+y+3)20，2 x40，所以( x+y+3)20，且2 x40，即 x+y+30，且 2x40，解得 x2， y5.当 x2， y5 时， x2+y2 x32 2+(5) 22324.5十五、利用新定义例 15 设 a、 b 为有理数，若将运算符号“”定义为 a b a2 b2+a+2b，问 x 为何值时，式子 x x2 的的值为 19.分析 对照新定义的运算方法和顺序，构造出含 x 的方程，进而可以求出 x 的值.解 因为 a b a2 b2+a+2b，所以 x x2 x2 x2+ x+2x23 x2，即 3x219，解得 x7.故当 x7 时，式子 x x2 的的值为 19.
