1、9.6 对称矩阵的标准形,一、实对称矩阵的一些性质,二、对称变换,三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵,四、实二次型的主轴问题,一、实对称矩阵的一些性质,引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数,证：设 是A的任意一个特征值，则有非零向量,满足,其中 为 的共轭复数，,令,又由A实对称，有,由于 是非零复向量，必有,故,考察等式，,引理2 设A是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间 上,定义一个线性变换 如下：,则对任意 有,或,证：取 的一组标准正交基，,则 在基 下的矩阵为A，即,任取,即,于是,又 是标准正交基，,即有,又注意到在 中,二、对称变换,1定义,则称 为对称变换,设 为欧氏空
2、间V中的线性变换，如果满足,1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在,标准正交基下是相互确定的：,2基本性质, 实对称矩阵可确定一个对称变换,一组标准正交基,事实上，设,为V的,定义V的线性变换 ：,则 即为V的对称变换, 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵,为V的一组标准正交基，,事实上，设 为n维欧氏空间V上的对称变换，,为 在这组基下的矩阵，即,或,于是,即,所以A为对称矩阵,由 是对称变换，有,2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是,它的不变子空间,对,任取,即,证明：设 是对称变换，W为 的不变子空间,要证,即证,由W是 子空间，有,因此,故 也为 的不变子空间,
3、1(引理4)实对称矩阵属于不同特征值的特征向量,分别是属于 的特征向量,则,三、实对称矩阵的正交相似对角化,是正交的,正交基下的矩阵，,证：设实对称矩阵A为 上对称变换 的在标准,是A的两个不同特征值 ，,由,又,即 正交,(定理7)对 总有正交矩阵T，使,有,即,证：设A为 上对称变换 在标准正交基下的矩阵,由实对称矩阵和对称变换互相确定的关系，只需证,有n个特征向量作成的标准正交基即可,n=1时，结论是显然的,对 的维数n用归纳法,有一单位特征向量 ，其相应的特征值为 ，即,假设n1时结论成立，对 设其上的对称变换,设子空间,显然W是 子空间，,则 也是 子空间，且,又对 有,所以 是 上
4、的对称变换,由归纳假设知 有n1 个特征向量,构成 的一组标准正交基,从而 就是 的一组标准正交基，,又都是 的特征向量,即结论成立,3实对称矩阵正交相似实对角矩阵步骤,设,(i) 求出A的所有不同的特征值：,其重数 必满足 ;,(ii) 对每个 ，解齐次线性方程组,求出它的一个基础解系：,它是A的属于特征值 的特征子空间 的一组基,正交基,把它们按 正交化过程化成 的一组标准,(iii) 因为 互不相同，,且,就是V的一组,标准正交基,所以,则T是正交矩阵，且,矩阵T的第1，2，n列，,使 为对角形,例1设,求一正交矩阵T使 成对角形,解：先求A的特征值,A的特征值为 （三重）,其次求属于
5、的特征向量，即求解方程组,得其基础解,把它正交化，得,再单位化，得,这是特征值 (三重)的三个单位正交特征向量，,也即是特征子空间 的一组标准正交基,再求属于 的特征向量，即解方程组,得其基础解,再单位化得,这样 构成 的一组标准正交基，它们,都是A的特征向量，正交矩阵,使得,注：,成立的正交矩阵不是唯一的, 对于实对称矩阵A，使,而且对于正交矩阵T,还可进一步要求,事实上，如果由上述方法求得的正交矩阵T,取正交矩阵,则 是正交矩阵且,同时有, 如果不计较主对角线上元素的排列的次序，与,实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的, 因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可,用实对称矩阵的特征值
6、的性质刻画其正定性：,设 为实对称矩阵A的所有特征值,(i) A为正定的,(ii) A为半正定的,(iii) A为负定（半负定）的, 实对称矩阵A的正、负惯性指数分别为正、负特,特征值的个数（重根按重数计）,n秩(A)是0为A的特征值的重数.,1解析几何中主轴问题,将 上有心 二次曲线或 上有心二次曲面通过坐标,的旋转化成标准形，这个变换的矩阵是正交矩阵.,四、实二次型的主轴问题,2任意n元实二次型的正交线性替换化标准形,1）正交线性替换,如果线性替换 X=CY,的矩阵C是正交矩阵，则称之为正交线性替换.,2）任一n元实二次型,都可以通过正交的线性替换 变成平方和,其中平方项的系数 为A的全部特征值,例2、在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是,（1）,（2）,则（1）式可以写成,令,对（2）中的 有正交矩阵C（且 ）,确定的坐标变换公式,曲面（1）的方程化成,这样由（2）知道经过由 的坐标轴旋转，,或,其中,这时，再按 是否为零，作适当的坐标轴的,平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程,如当 全不为零时，作平移,曲面方程（1）可以化为,其中,
