1、第一讲 离散时间信号与系统,1-1 离散时间信号-序列,一.序列 二. 序列的运算 三.几种常用序列 四.序列的周期性 五. 用单位抽样序列表示任意序列 六. 序列的能量,一.序列 1.信号及其分类 (1).信号信号是传递信息的函数,它可表示成 一 个或几个独立变量的函数。如，f(x); f(t); f(x,y)等。 (2). 连续时间信号与模拟信号在连续时间范围内定义的信号,幅值为连续的信号称为模拟信号,连续时间信号与模拟信号常常通用。,(3). 离散时间信号与数字信号时间为离散变量的信号称作离散时间信号；而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号。,n,x(-2),x(-1),x(0),x(
2、1),x(2),x(n),-2,-1,0,1,2,2.序列离散时间信号又称作序列。通常，离散时间信号的间隔为T，且是均匀的，故应该用x(nT）表示在nT的值,由于x(nT)存在存储器中,加之非实时处理,可以用x(n)表示x(nT),即第n个离散时间点的值,这样x(n)就表示一序列数,即序列：x(n)。为了方便，通常用x(n)表示序列x(n)。,二. 序列的运算1.移位当m为正时，x(n-m)表示依次右移m位；x(n+m)表示依次左移m位。,例：,2.翻褶(折迭)如果有x(n),则x(-n)是以n=0 为对称轴将x(n)加以翻褶的序列。,例：,3.和两序列的和是指同序号(n)的序列值逐项对应相加
3、得一新序列。,例：,4. 乘积是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。,5. 累加设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列y(n)定义为即表示n以前的所有x(n)的和。,6.差分前向差分（先左移后相减）：后向差分（先右移后相减） ：,7.尺度变换（1） 抽取： x(n) x(mn), m为正整数。 例如， m=2， x(2n)，相当于两个点 取一点；以此类推。,x(2n),1,3,1/4,-1,0,1,n,（2）插值： x(n) x(n/m), m为正整数。 例如， m=2， x(n/2)，相当于两个点之间插一个点；以此 类推。通常，插值用I倍表示，即插入（I-1）个值。,x(n),1,2,1
4、/2,-1,0,1,n,x(n/2),1,2,1/2,-2,-1,0,1,2,n,。,。,8.卷积和设序列x(n),h(n),它们的卷积和y(n)定义为卷积和计算分四步：折迭(翻褶), 位移, 相乘, 相加。,例：,求：,解：1. 翻褶 .以m=0为对称轴，折迭h(m)得到h(-m)，对应序号相乘，相加得 y(0)；2. 位移一个单元，对应序号相乘，相加 得 y(1)；3. 重复步骤2，得y(2)， y(3)， y(4), y(5),如下所示。,x(m),在哑变量坐标m上作出x(m),h(m),x(m),得y(0),得y(1),x(m),翻褶,位移1,对应相乘，逐个相加。,三.几种常用序列 1
5、.单位抽样序列(单位冲激),1,-2,-1,0,1,m,n,2.单位阶跃序列 u(n),.,0,1,2,3,-1,n,u(n),3.矩形序列,4.实指数序列a 为实数，当,5.复指数序列,6.正弦型序列其中，0为数字频率。,四.序列的周期性如果存在一个最小的正整数N,满足x(n)=x(n+N), 则序列x(n)为周期性序列,N为周期。,五. 用单位抽样序列表示任意序列1.任意序列可表示成单位抽样序列的位移加权和.,例:,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,x(n),n,位移加权和,(n+3),(n-2),(n-6),2. x(n)亦可看成x(n)和(n)的卷积和,六. 序列的能量x(n)
6、的能量定义为,1-2 线性移不变系统,一.线性系统 二.移不变系统 三.单位抽样响应与卷积和 四.线性移不变系统的性质 五.因果系统 六.稳定系统,一.线性系统系统 实际上表示对输入信号的一种运算，所以离散时间系统就表示对输入序列的运算，即,x(n),离散时间系统Tx(n),y(n),y(n)=Tx(n),设系统具有： 那么该系统就是线性系统，即线性系统具有均匀性和迭加性。*加权信号和的响应=响应的加权和。*先运算后系统操作=先系统操作后运算。,二.移不变系统如Tx(n)=y(n),则Tx(n-m)=y(n-m),满足这样性质的系统称作移不变系统。即系统参数不随时间变化的系统，亦即 输出波形不
7、随输入加入的时间而变化的系统。*移（时）不变,例：分析y(n)=3x(n)+4 是不是移不变系统.解：因为 Tx(n)=y(n)=3x(n)+4所以 Tx(n-m)=3x(n-m)+4又 y(n-m)=3x(n-m)+4所以 Tx(n-m)=y(n-m)因此， y(n)=3x(n)+4是移不变系统.*系统操作=函数操作,三.单位抽样响应与卷积和1.线性移不变系统具有移不变特性的线性系统。2.单位抽样响应h(n)当线性移不变系统的输入为(n)，其输出h(n)称为单位抽样响应，即 h(n)=T(n),(n),h(n),T(n),线性移不变系统h(n),x(n),y(n),3.卷积和,y(n)=x(
8、n)* h(n),四.线性移不变系统的性质 1.交换律2.结合律,3.对加法的分配律,h1(n),h2(n),y(n),x(n),例：已知两线性移不变系统级联，其单位抽样响应分别为h1(n)=(n)- (n-4); h2(n)=an u(n),|a|1,当输入x(n)=u(n)时，求输出。 解：,h1(n),x(n),y(n),h2(n),w(n),w(n)=x(n)* h1(n)=x(m) h1(n-m)= u(m) h1(n-m)= u(m) (n-m)- (n-m-4)=u(n)-u(n-4)= (n)+(n-1)+(n-2)+ (n-3)y(n)= w(n)* h2(n)=(n)+(n
9、-1)+(n-2)+ (n-3) * h2(n)= h2(n)+ h2(n-1) +h2(n-2)+ h2(n-3)= an u(n)+ an-1u(n-1)+ an-2u(n-2)+ an-3u(n-3),五.因果系统某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻的输入的系统称作因果系统。*实际系统一般是因果系统；*对图象、已记录数据处理以及平 均处理的系统不是因果系统；* y(n)=x(-n)是非因果系统,因n0的输入;*不计其他函数，y(n)=x(n)sin(n+2).线性移不变因果系统的充要条件为h(n)=0，n 0。,六.稳定系统有界的输入产生有界的输出系统。线性移不变稳定系统的充要条件是,1
10、-3 常系数线性差分方程,一.表示法与解法 二.用迭代法求解差分方程 三.系统结构,常系数线性差分方程,离散变量n的函数x(n)及其位移函数x(n-m)线性叠加而构成的方程.一.表示法与解法1.表示法,离散时间线性 移不变系统,(n),y(n),* 常系数：a0,a1,aN ; b0,b1,bM 均是常数（不含n）.*阶数：y(n)变量n的最大序号与最小序号之差 ，如 N=N-0.*线性：y(n-k),x(n-m)各项只有一次幂,不含它们的乘积项。 2.解法时域：迭代法，卷积和法;变换域：Z变换法.,二.用迭代法求解差分方程,1.“松弛”系统的输出 起始状态为零的系统，这种系统用的较多，其输出
11、就是 因此，已知h(n)就可求出y(n)，所以必须知道h(n)的求法.,2.迭代法（以求h(n)为例）例: 已知常系数线性差分方程为y(n)-ay(n-1)=x(n)，试求单位抽样响应h(n).解：因果系统有h(n)=0,n0 ; 方程可 写作:y(n)=ay(n-1)+x(n),1.一个常系数线性差分方程并不一定代表因果系统，也不一定表示线性移不变系统。这些都由边界条件（初始）所决定。2.我们讨论的系统都假定：常系数线性差分方程就代表线性移不变系统，且多数代表因果系统。,注意：,1.系指系统的输入与输出的运算关系的表述方法。 2.差分方程可直接得到系统结构。例：y(n)=b0x(n)-a1y
12、(n-1)用表示相加器；用 表示乘法器；用 表示一位延时单元。,三.系统结构,例：差分方程y(n)= b0 x(n)-a1y(n-1)表示的系统结构为：,1-4 连续时间信号的抽样,一.抽样器与抽样 二.抽样定理 三.抽样的恢复 四.实际抽样,一.抽样器与抽样1.抽样器,P(t),T,2.实际抽样与理想抽样,0,t,实际抽样：,p(t),0,t,T,p(t)为脉冲序列,理想抽样：,t,（冲激序列）,二.抽样定理1.预备知识（1）冲激信号及其抽样特性定义：,t,(1),0,取样特性：,(2)频域卷积定理若,(3)冲激函数序列的傅氏变换,冲激序列的傅氏变换仍为冲激序列。,2.抽样信号的频谱,*可见
13、，该频谱为周期性信号，其 周期为,0 ,h为最高频率分量,3.取样定理由上图可知，用一截止频率为 的低通滤器对 滤波可以得 因此，要想抽样后能不失真的还原出原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率分量。即 这就是奈奎斯特取样定理。,三.抽样的恢复如果抽样信号 或 通过一 理想低通滤波器 就可恢复信号或 。下面证明：,1.低通滤波器 的冲激响应h(t),2.低通滤波器(filter)的输出,*输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。,3.内插函数 的特性：在抽样点mT上，其值为1; 其余抽样点上，其值为0。,1,（1）在抽样点上，信号值不变； （2）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的延伸叠加而成。,四.实际抽样1 . 取样定理仍有效,
