1、12016-2017 学年高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算课后演练提升 北师大版选修 2-1一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1设 ABCD， ABEF 都是边长为 1 的正方形， FA面 ABCD，则异面直线 AC 与 BF 所成角等于( )A45 B30C90 D60解析： 作出图形，建立如右图所示的空间直角坐标系 Oxyz，则：A(0,0,0)， C(1,1,0)， F(0,0,1)， B(0,1,0)， A (1,1,0)， B (0，1,1)，C F | A | ，| B | ， A B 1，C 2 F 2 C F cos A ， B ，C F 122
2、 12 A ， B 120.C F 又异面直线所成角的取值范围为(0,90 AC 与 BF 所成角为 60.故选 D.答案： D2若平面 的法向量为 u，直线 l 的方向向量为 v，直线 l 与平面 的夹角为 ，则下列关系式成立的是( )Acos Bcos uv|u|v| |uv|u|v|Csin Dsin uv|u|v| |uv|u|v|解析： u 与 v 的夹角的余角才是直线 l 与平面 所成的角，因此选 D.答案： D3已知长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC4， CC12，则直线 BC1和平面 DBB1D1夹角的正弦值为( )A. B.32 52C. D.105 1010
3、解析： 以 D 为原点建立如图所示空间直角坐标系，则 A(4,0,0)， C(0,4,0)， B(4,4,0)， C1(0,4,2)， (4,4,0)， (4,0,2)，AC BC1 易知 为平面 DBB1D1的一个法向量，设 BC1与平面 DBB1D1的夹角为 ，AC 则 sin |cos ， | ，选 C.AC BC1 164225 105答案： C4平面 的一个法向量为 n1(4,3,0)，平面 的一个法向量为 n2(0，3,4)，2则平面 与平面 夹角的余弦值为( )A B.925 925C. D以上都不对725解析： cos n1， n2 ，n1n2|n1|n2| 925平面 与平面
4、 夹角的余弦值为 .故选 B.925答案： B二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)5已知正方体 ABCD A1B1C1D1， E， F 分别是正方形 A1B1C1D1和 ADD1A1的中心，则 EF 和CD 所成的角是_解析： 以 D 为原点，分别以射线 DA， DC， DD1为 x 轴， y 轴， z 轴的非负半轴建立空间直角坐标系 Dxyz，设正方体的棱长为 1，则 E ， F ， E (12， 12， 1) (12， 0， 12) F ， D (0,1,0)，所以 cos E ， D ，(0， 12， 12) C F C EF DC |EF |DC | 22所以 E ， D 135
5、，F C 所以异面直线 EF 和 CD 所成的角是 45.答案： 456已知平面 过定点 A(1,2,1)，且法向量为 n(1，1,1)已知平面外一点P(1，5，1)，求 PA 与平面 所成角的正弦值_解析： P (2,7,2)，A 则 cos P ， n .A 21 7 1 2134 49 4 3319 1919设 PA 与平面 所成角为 ，则 sin |cos P ， n| .A 1919答案： 1919三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)7如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD A1B1C1D1中，求异面直线BA1和 AC 的夹角解析： 方法一：因为 B ，BA1 A BB1 A
6、 A B ，C B C 所以 A ( B )(A B )BA1 C A BB1 B C B A B B A B .A B A C BB1 B BB1 C 因为 AB BC， BB1 AB， BB1 BC，3所以 B B 0， A 0， B 0， B A a2，A C BB1 B BB1 C A B 所以 A a2.BA1 C 又 cos ， A ，BA1 C BA1 AC |BA1 |AC | a22a2a 12所以 ， A 120，所以异面直线 BA1和 AC 的夹角为 60.BA1 C 方法二：分别以 DA、 DC、 DD1所在的直线为 x 轴、 y 轴和 z 轴建立如图所示的空间直角坐标
7、系，则 A(a,0,0)， B(a， a,0)， C(0， a,0)， A1(a,0， a) (0， a， a)， A ( a， a,0)BA1 C cos ， A BA1 C BA1 AC |BA1 |AC | . a22a22a2 12 ， A 120.BA1 C 异面直线 BA1和 AC 的夹角为 60.8在底面是直角梯形的四棱锥 S ABCD 中， ABC90， SA面ABCD， SA AB BC1， AD ，求平面 SCD 与平面 SBA 夹角的正切值12解析： 建立如图所示空间直角坐标系，则 A(0,0,0)、 D 、 C(1,1,0)、(12， 0， 0)S(0,0,1)，易知平
8、面 SAB 的一个法向量是 .AD (12， 0， 0)设 n( x， y， z)是平面 SCD 的法向量，则 n ， n ，DC DS 即 n 0， n 0，DC DS 又 ， ，DC (12， 1， 0) DS ( 12， 0， 1)4 x y0，且 x z0.12 12 y x，且 z x.12 12 n .(x， x2， x2)取 x1，得 n .(1， 12， 12)cos ， nAD AD n|AD |n| .12121 14 14 63设两平面夹角为 ，即 cos ，63tan .22 尖 子 生 题 库9.(10 分)如图，在三棱锥 V ABC 中， VC底面 ABC， AC
9、BC， D 是AB 的中点，且 AC BC a， VDC .(0 2)(1)求证：平面 VAB平面 VCD；(2)试确定角 的值，使得直线 BC 与平面 VAB 的夹角为 . 6解析： (1)证明：以 C 为原点以 CA， CB， CV 所在的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 C(0,0,0)， A(a,0,0)， B(0， a,0)， D ， V(a2， a2， 0)，(0， 0，22atan )于是， ， ， ( a， a,0)VD (a2， a2， 22atan ) CD (a2， a2， 0) AB 从而 ( a， a,0) a2 a200，即
10、AB CD.AB CD (a2， a2， 0) 12 12同理 ( a， a,0) a2 a200，即 AB VD.AB VD (a2， a2， 22atan ) 12 12又 CD VD D， AB平面 VCD.又 AB平面 VAB.平面 VAB平面 VCD. (2)设平面 VAB 的一个法向量为 n( x， y， z)，5则由 n 0， n 0，得Error!，AB VD 可取 n ，又 (0， a,0)，(1， 1，2tan ) BC 于是 sin sin ， 6 | nBC n|BC |aa2 2tan2 22即 sin .220 ， . 2 4故当 时，直线 BC 与平面 VAB 的夹角为 . 4 6
