1、2018/10/18,数学与计算科学学院,2 线性空间的定义 与简单性质,3 维数基与坐标,4 基变换与坐标变换,1 集合映射,5 线性子空间,7 子空间的直和,8 线性空间的同构,6 子空间的交与和,小结与习题,第六章 线性空间,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,6.7 子空间的直和,一、直和的定义,二、直和的判定,三、多个子空间的直和,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,引入,有两种情形：,此时,即， 必含非零向量.,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,情形2）是子空间的和的一种特殊情况,此时,不含非零向量，即
2、,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,一、直和的定义,设 为线性空间V的两个子空间，若和,是唯一的，和 就称为直和，记作,注:,若有,则, 分解式 唯一的，意即,中每个向量 的分解式,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院, 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中,都成立.,例如，R3的子空间,这里，,在和 中，向量的分解式不唯一，如,所以和 不是直和.,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,而在和 中，向量 (2,2,2) 的分解式是唯一的，,事实上，对,故 是直和.,都只有唯一分解式：,2018/10/186.7 子空
3、间的直和,数学与计算科学学院,二、直和的判定,分解式唯一，即若,1、(定理8) 和 是直和的充要条件是零向量,则必有,证：必要性.,是直和,的分解式唯一.,而0有分解式,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,充分性.,故 是直和.,设 ，它有两个分解式,有,其中,于是,由零向量分解成唯一，且,即,的分解式唯一.,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,2、和 是直和,则有,“ ” 任取,证：“ ” 若,于是零向量可表成,由于 是直和，零向量分解式唯一，,故,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,证：由维数公式,3、和 是直和
4、,有，,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,总之，设 为线性空间V的子空间，则下面,四个条件等价:,2）零向量分解式唯一,1） 是直和,3）,4）,4、(定理10) 设U是线性空间V的一个子空间，,称这样的W为U的一个余子空间.,则必存在一个子空间W，使,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,证：取U的一组基,把它扩充为V的一组基,则,余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).,注意：,如，在R3中，设,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,5、设 分别是线性子空间,的一组基，则,证：由题设，,若 线性无关，,则它
5、是 的一组基.,从而有,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,反之,若 直和，则,从而 的秩为rs .,所以 线性无关.,是直和.,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,1、定义,中每个向量 的分解式,都是线性空间V的子空间，若和,是唯一的，则和 就称为直和，记作,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,四个条件等价:,2）零向量分解式唯一，即,3）,4）,2、判定,设 都是线性空间V的子空间，则下面,1） 是直和,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,例1、每一个n 维线性空间都可以表示成 n 个一
6、维,子空间的直和.,证：设 是 n 维线性空间V的一组基,则,而,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,例,2、已知 ，设,2）当 时，,证：1）,是 的子空间.,证明：1） 是 的子空间.,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,从而有,故 是 的子空间.,下证 是 的子空间.,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,又,2）先证,任取,其中,再证,又 是 的子空间，,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,任取,从而,所以,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,练习 1 设V1 、V2分别是齐次线性方程组 与的,证：解齐次线性方程组，得其一个基础解系,解空间：,证明:,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,再解齐次线性方程组.,由,即,得的一个基础解系,考虑向量组,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,由于,线性无关，即它为Pn的一组基.,又,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,2、和 是直和,证:,则,练习：,2018/10/186.7 子空间的直和,数学与计算科学学院,则零向量还有一个分解式,（*）,在(*)式中，设最后一个不为0的向量是,则(*)式变为,这时，,所以， 是直和.,
