1、关于高中数学起始课的思考,仙居中学 应福贵,一学生说在微博上看到：“语文使人谈吐优雅，历史使人不背叛，政治让人懂得如何维权，地理起码让人不迷路数学呢？难道用函数去买菜吗？”,引子,我学了9年的数学，还未真正考虑过学数学究竟是为了干什么。如果只是一味地做题，而不知道目的是什么，那真是白学了。老师，你一定要慎重对待这个问题。,学生怎么想的：,数学是什么？,学数学有用吗？,高中数学要学什么？,要学好数学就是多解题吗？,起始课的任务是什么？,数学文化的启蒙教育, 导游图,一、数学是美的,二、数学是有用的,三、高中数学特点,一、数学是美的,数学美的特点,自然而不矫作 ； 高贵而不庸俗； 沉稳而不浮躁 ；
2、 冷峻中不失灵动 ； 奇异中又不乏和谐 。,简洁、和谐、对称、奇异,1整数的美学审视,A.完全数,因 数: 完全数:,A.完全数,完全数有多少?,A.完全数,物以稀为贵。虽然未找到实际中的特别用途，但完全数的奇异和美丽吸引了许多人。,只发现了47个,完全数有许多有趣的性质：,1、它们都是三角形数 6=1+2+3 28=1+2+3+4+5+6+7 496=1+2+3+30+31 8128=1+2+3+126+127,2、它们的全部因数的倒数之和都是21/1+1/2+1/3+1/6=2 1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2 1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/
3、62+1/124+1/248+1/496=2,3、都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和6=21+22 28=22+23+24 496=24+25+26+27+28 8128=26+27+28+29+210+211+212 33550336=212+213+224,B.Mersen数,Euclid在探寻完全数的时候发现：完全数可能的公式：,B.Mersen数,B.Mersen数,Mersen数在代数编码（密码学）中有用。,C.素数的个数,（1）素数的分布规律,有起有伏，似 乎没有规律,C.素数的个数,（1）素数的分布规律,进一步看，也 没有一般规律,C.素数的个数,（1）素数的分布规律,19世
4、纪有一位数学爱好者观察了600000内的素数，发现在n和2n之间至少有1个素数。9年后一位俄国数学家证明了猜想的正确性。,有一般的规律,C.素数的个数,（2）素数的个数,无穷多,C.素数的个数,（2）素数的个数,C.素数的个数,（2）素数的个数,1800年一位德国数学家猜想这一等式成立，96年后，两位法国数学家同时独立地证明了猜想的正确性。数学在法国地位崇高，视数学为国学。,C.素数的个数,（2）素数的个数,猎奇审美，它们之间是相通的。在杂乱无章的素数分布上，人们发现了许多奇特的规律，犹如万树丛中的鸟语花香。,2.斐波那契数列与黄金分割,魔术师的地毯,在美国科学美国人杂志上曾刊登过一则有趣的故
5、事：世界著名的魔术家兰迪先生有一块长和宽都是8分米的地毯，他想把它改成5分米宽、13分米长的地毯。他拿着这块地毯去找地毯匠奥马尔，并对他说：“我的朋友，我想请您把这块地毯分成四块，然后再把它们缝在一起，成为一块5分米13分米的地毯。”奥马尔听了以后说道：“很遗憾，兰迪先生。您是一位伟大的魔术家，但您的算术怎么这样差呢！88=64，513=65，这怎么办得到呢？”兰迪说：“亲爱的奥马尔，伟大的兰迪是从来不会错的，请您把这块地毯裁成这样的四块。”,然而奥马尔照他所说的裁成四块后。兰迪先生便把这四块重新摆好，再让奥马尔把它们缝在一起，这样就得到了一块5分米13分米的地毯。,魔术师的地毯,把一个边长为
6、8分米的正方形按图（1）方式剪裁，然后拼成图(2)的矩形，会发现：,原正方形面积为：,而长方形面积为：,135=65,多出一个面积单位，何故？,奥马尔始终想不通：“这怎么可能呢？地毯面积由64平方分米扩大到65平方分米，那一平方米怎么来的呢？”将四个小块拼成长方形时，在对角线中段附近发现了微小的空隙。正是沿着对角线的这点空隙，而导致了多出一个单位的面积。涉及到四个长度数3，5，8，13，21都是斐波那契数，并且 。有趣而重要的性质：,注意到3，5，8，13都是斐波那契数，且,是正方形的面积，,是长方形的面积。,问题：若要求面积不变，应如何剪？,斐波那契数列(Fibonacci),要使 ，即,亦
7、即,解得,取 ，即,即为黄金分割。,（1）人的肚脐是人体总长的黄金点；（2）人的膝盖是人体肚脐到脚跟的黄金点；（3）植物茎上两相邻叶片夹角是 ，对通风和采光 都是最佳的。,（5）东方明珠广播电视塔高达468米，上球体位于黄 金分割的250-295米处，观之令人赏心悦目。,生活中的黄金分割,（4）黄金分割还是一种有效的优选法。如在炼钢时需加入某种元素来增加钢材强度，若将试验点取在这一元素用量区间的0.618处，获得理想用量的试验次数将大大减少。实验证明，对一个因素的问题，用优选法做16次试验，就可达到“对分法”做2000余次试验的效果。,请您欣赏-东 方 明 珠,健康中的黄金分割,现在发现此比值
8、和医学保健、健康长寿有着千丝万缕的联系，亦可称为健康的黄金分割律。 例如，人为什么在环境气温2224下生活感到最适宜？因为人体的正常体温是3637，这个体温与0.618的乘积恰好是22.422.8，而且在这一环境温度中，人体的生理功能、生活节奏等新陈代谢水平均处于最佳状态。,再如，营养学中强调，一餐主食中要有六成粗粮和四成细粮的搭配进食，有益于肠胃的消化与吸收，避免肠胃病。这也可纳入饮食的0.618规律之列。养生或自我保健也可应用“黄金律”，如医学研究表明，养成饭吃六七分饱习惯的人很少患胃病，主食以四分精粮六分粗粮搭配不易患高血压、冠心病。抗衰老有生理与心理抗衰之分，哪个为重？研究证明，生理上
9、的抗衰为四，而心理上的抗衰为六，也符合黄金分割律。充分调动与合理协调心理和生理两方面的力量来延缓衰老，可以达到最好的延年益寿的效果。,健康中的黄金分割,一天合理的生活作息也符合0.618的分割，24小时中，2/3时间是工作与生活，1/3时间是休息与睡眠；在动与静的关系上，究竟是“生命在于运动”，还是“生命在于静养”？从辩证观和大量的生活实践证明，动与静的关系同一天休息与工作的比例一样，动四分，静六分，才是最佳的保健之道。 由此可见，掌握与运用好“0.618”，可使人体节约能耗，延缓衰老，提高生命质量。,健康中的黄金分割,马拉松中的黄金分割,常称35公里是马拉松的鬼门关,第一次出现极限:26公里
10、,是总里程42公里的黄金分割点,第二次出现极限:剩下的16公里距离再做一次黄金分割的点,即36公里处.,第一次黄金分割点心理和生理开始走下坡，第二个黄金分割点疲惫得接近崩溃。意志薄弱者往往在这一赛段中退出比赛。,有人试图将距离加长,并告知运动员,同样会出现类似现象。,解释只有一个，作为高级动物的人类，思维系统过于精密和复杂，大脑会自动调整中枢神经并通知身体各个部门，准备在黄金分割点上“罢工”。说好听一些，是人们自我保护的一个预警；说难听点，是人们好吃懒做的惰性。,大自然中的斐波那契数列,螺线中的秘密,3.数学图形欣赏,眼见为实?,眼见为实?,视觉的迷惑,视觉的迷惑,视觉的迷惑,视觉的迷惑,仔细
11、盯着黑点看，你会发现 旁边的灰色阴影不见了！,雪花曲线,分形图,分形图,分形图,分形图,4.数学与自然,蜜蜂是天然工程师,蜜蜂房呈六角形，角度也很精确，钝角 109 32 ，这样的巢不但节省材料，而且结实坚固，令人类工程师惊叹不已！更另人惊奇的是蜜蜂还知道两点间的最短距离，蜜蜂在花间随意来去采集花蜜后它知道取最直接的路线回到蜂房。,当对这个美丽的结构用数学方法进行分析时，发现在蜘蛛网上隐藏的数学概念多的惊人半径、弦、平行线段、三角形、全等、对应角等。,猫和蜘蛛是“几何专家”,在寒冷的冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形。这样身体露在冷空气中的表面积最小，因而散发的热量也最少。,蜘蛛结的八卦网既
12、复杂又非常美丽。这种八角形的几何图案，即使木工师傅用直尺和圆规也难画得如蜘蛛网那样匀称。,二、数学是有用的,对数学应用的新认识,过去：基本方式是间接的应用。现在：计算机技术的迅速发展更为数学的应用开了广阔的前景。数学已经从幕后走到了台前，直接为社会创造价值。,“高技术本质上是一种数学技术”。,对数学教育价值认识的发展,传统：数学是一种知识，能培养逻辑思维能力。现在：数学的教育价值被进一步得到认识，数学的教育功能得到极大的拓宽。,数学与战争,罗马将领马塞拉斯最后感慨万千地对身边的士兵说：“怎么样？在这位几何学百手巨人面前，我们只得放弃作战。他拿我们的战船当游戏扔着玩。在一刹那间，他向我们投射了这
13、么多镖、箭和石块，他难道不比神话里的百手巨人还厉害吗？”,当士兵的利剑指向他时，他却用身子护住几何图形，大叫：“不要碰我的图形！”他要求把原理证明完再走，但激怒了那个鲁莽无知的士兵，他竟用利剑刺死了75岁的老科学家。马塞拉斯勃然大怒，他处死了那个士兵，为他开了追悼会并建了陵墓。阿基米德被后世的数学家尊称为“数学之神”，在人类有史以来最重要的三位数学家中，阿基米德占首位，另两位是牛顿和高斯。,在海湾战争中，美国将大批人员和物资调运到位，只用了短短一个月时间，效率惊人，这是因为他们运用了数学中的统筹学和优化技术。,数学与战争,人们说第一次世界大战是化学战（火药），第二次世界大战是物理战（原子弹），
14、海湾战争是数学战。王梓坤,五角大楼因此委托一家公司研究这个问题，这个公司利用流体力学的基本方程以及热量传递的方程建立数学模型，经过计算机仿真模拟，得出结论，认为点燃所有的油井后果是严重的，但只会波及到海湾地区以至伊朗南部、印度和巴基斯坦北部，不至于产生全球性的后果。,数学与经济,纵观诺贝尔经济学奖，从1969年开始颁奖,至2002年共颁奖34届,获奖者达51人，除了1974年获奖的哈耶克，几乎所有的获奖成果都用到了数学工具;有一半以上获奖者都是有深厚数学功底的经济学家,还有少数获奖者本身就是著名的数学家。作为“自然科学王冠上的明珠”数学，在社会科学的显学经济学中一样熠熠生辉。,数学：经济学研究
15、的重要工具,海王星是通过计算才发现的,1781年在发现了天王星之后，当人们观察天王星时，发现它的运行轨迹总是和原来预测的情况有一定的差异。当时有人怀疑在它周围还存在着另外一颗行星，在影响着它的运行轨迹。1845年法国一个年轻的天文学家、数学家勒维烈根据引力法则和摄动理论，通过一年多大量繁复的数学计算，具体算出了这颗行星的运行轨迹。1846年9月23日晚，加勒将望远镜对准了夜空，果然在与他们预报的位置只差一度之处找到了这颗行星，它就是后来被命名的海王星。海王星的发现是数学计算的伟大胜利。,数学与物理学,麦克斯韦方程组优美地表达电磁场,麦克斯韦用纯数学的方法对自法拉弟、安培以来的电磁理论的成功总结
16、，他在其中将全部电磁现象规律归结表述为两组方程，并根据对这两组方程的推导结果大胆地预言了一种以光速传播着的波也就是电磁波的存在。24年后，德国物理学家赫兹在振盪放电实验中证明了麦克斯韦的预言。,“广义相对论”背后的数学工具,在广义相对论中，爱因斯坦使用了黎曼几何和能量计算。但是，这些智力工具并非是为物理学而建立的，它早已在纯数学内部发展起来。,数学与绘画,健美的人体（如古希腊雕塑米罗的维纳斯看上去健美漂亮就是典型的例子，19世纪以来，世界各国的选美标准大部分都依据米罗的维纳斯身材各部分的尺寸。她的体形符合希腊人关于美的理想与规范，身长比例接近所追求的人体美标准，即身与头之比为81。由于8为3加
17、5之和，这就可以分割成135，这就是,“黄金分割律”，这个比例成为后代艺术家创造人体美的准则。）亦有多组比例符合黄金分割比。如人的脐部到头顶的距离与脐部高度之比、头顶到举手指端的距离与脐部到头顶距离之比、膝盖到肚脐同膝盖到脚底之比，都符合黄金分割。,数学与绘画,达芬奇认为绘画是一门科学,其基础是数学。,他在评价数学时说：“在科学中，凡是和数学没有 联系的地方，都是不可靠的。”,他用一句话概括了他的艺术专论的思想：“欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家”。,“任何人类的探究活动也不能成为科学，除非这种活动通过数学表达方式和经过数学证明为自己开辟道路。”,汉字激光照排系统,2002年，王选院士的代
18、表性成就“汉字激光照排系统”获得了国家科技最高奖。王选说：“由于我是数学系毕业，所以很容易想到信息压缩，即用轮廓描述和参数描述相结合的方法描述字形，并于1976年设计出一套把汉字轮廓快速复原成点阵的算法。”到20世纪80年代初期，他开发的技术已经处于国际先进水平。其中数学技术是关键的因素之一。,现代密码学,计算机病毒是一种恶意的软件，防病毒同样是靠各种软件，软件的核心是数学；对付黑客的办法是级别越来越高的电子加密，而现代密码学的基础是近世代数、数论、代数几何等一些相当高深的数学理论。,人们把数学对于我们社会的贡献比喻为空气和食物对生命的作用，我们大家都生活在数学的时代我们的文化已“数学化”了。
19、著名的文学家哈佛大学亚瑟.杰费,在人类社会发展中，数学不仅对科学技术的进步有巨大的推动作用，同样对社会科学、人文科学的发展都产生了不可低估的影响。数学为经济理论、社会学理论、医疗保险学说提供了可靠的理论；数学甚至对音乐、绘画、语言学研究、文学批评理论也都产生了一定的影响。数学理论、数学方法、数学观念、数学思想通过各种形式的应用，已广泛渗透于人类社会的各个角落。著名数学家霍格本,三、高中数学特点,一、主要内容和思想方法,例1 6根火柴棒最多能拼成几个正三角形？,介绍立体思维和立体几何,例2 动点C到定点A、B的距离之比为1:1，求动点C的轨迹。,变式1：若改为“距离比为2:1”呢？,变式2：若改
20、为“两距离之和为定值（大于）”呢？,变式：若改为“点C到定点A的距离和到定直线 （不过）的距离相等”呢？,变式：若改为“两距离之差的绝对值为定值（小于 ）”呢？,介绍圆锥曲线的应用、解析几何的特点,例3 国王为奖励国际象棋的发明者，问他需要什么奖赏，他说：棋盘的第一个小格内1粒麦子，在第二个小格内给2粒，在第三个小格内给4粒，以后每一小格内的麦子是前一小格内的2倍，直到把每一小格都摆上麦粒为止。国王认为这位大臣的要求不算多，就爽块地答应了。请问国王能兑现吗？,介绍数列,总 质量就是7300多亿吨； 即使按全世界年产小麦约6亿吨的数字来算，也需要一千多年。,例4 解方程,例5 今天是星期四，再过
21、 天后是星期几？,爬山中的数学,有一天张三从早上8点钟开始从山脚向山顶进军,上午11点到达顶峰. 张三在山上住了一宿,第二天早上8点沿原路返回.可以肯定在返回的路上张三与昨天上山某一相同的时刻到达相同地点.请说明理由.,数形结合、转化与化归,二、学科特点特点和学习特点,学科, 知识量大,课堂,学生,容量大,善于归纳,（2） 综合性强,思维量大,善于思考,（3） 思想方法丰富,贯穿始终,善于提炼,（4） 题海茫茫,例题精选,善于拓展,超前想,数学日记让反思成为一种习惯,错题本、精题本让细节成就完美,回头看,自主整理立于不败之地,数学课堂,抢占先机,数学解题,扩大解题效益,可以使学生增强拼搏精神和
22、应变能力；,我国著名数学家、科学院院士李大潜先生指出：,可以使学生树立正确的数量观念，凡事“心中有数”；,可以提高学生逻辑思维能力，思路清晰，条理分明；,有助于培养学生认真细致，严谨踏实，一丝不苟的作风；,可以使学生养成精益求精的风格；,可以提高学生使用数学知识，处理现实世界中各种复杂 问题的意识和能力；,可以使学生具有数学上的直觉和想象力等等。,历史证明：“一个国家的科学水平可以用它消耗的数学来度量”,“数学是人类最高的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切”。 - 克莱因,繁荣的中国需要数学。,谢谢大家！,
