1、2018/10/18,电子信息工程学院,1,第二章 控制系统的数学描述,2.1 引言 2.2 控制系统的时域数学模型 2.3 控制系统的复数域数学模型 2.3 控制系统的结构图 2.4 信号流图和梅逊公式,2018/10/18,电子信息工程学院,2,2.1 引言,首先要解决的三个问题： 1、什么是系统（元件）的数学模型？ 2、为什么要建立系统（元件）的数学模型？ 3、建立系统数学模型的方法？ 4、控制系统数学模型的具体形式？,控制系统的数学描述即控制系统的数学模型,2018/10/18,电子信息工程学院,3,1、什么是系统（元件）的数学模型？,数学模型：描述系统（或元件）的动态特性的数学表达式
2、。,状态随时间变化,因此，最基本的数学模型就是微分方程。,例:RL串联电路,描述电流随时间变化的微分方程为,RL串联电路的数学模型,控制理论的研究对象：动态系统,2018/10/18,电子信息工程学院,4,2、为什么要建立系统的数学模型？,数学模型是进行控制系统分析和综合设计的基础,？,控制对象所涉及的领域非常广泛，从机械运动、电网络、机电系统、热工过程、化学反应、生物医学、经济管理、人口控制等。我们不可能也没有必要深入到具体的某一领域根据其运动机理分析其运动特征，而是舍弃各种事物的具体特点而抽象出它们的共同本质运动。因此控制理论所研究的系统是抽象系统。其研究方法是根据数学模型分析系统的运动特
3、征。因此数学模型是进行控制系统分析和综合设计的基础。,不考虑具体系统的物理、自然、或社会含义，而把它抽象化为一个一般意义下的系统而加以研究。,2018/10/18,电子信息工程学院,5,下面的例子就说明两个运动机理完全不同的系统可以具有相同的数学模型，因此也具有相同的运动特征。,2018/10/18,电子信息工程学院,6,3、建立控制系统数学模型的方法,分析法通过对系统各部分的运动机理进行分析，建立系统的数学模型。（建立物理模型；列写原始方程；选定系统的输入量、输出量及状态变量；消去中间变量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。） 实验法（系统辨识）人为施加某种测试信号，记录基本输出响应，根
4、据输入输出关系拟合系统的数学模型。,（明确已知知识和辨识目的；实验设计选择实验条件；模型阶次适合于应用的适当的阶次；参数估计由输入输出关系确定系统模型参数（最小二乘法）；模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近）,2018/10/18,电子信息工程学院,7,4、控制系统数学模型的具体形式？,2018/10/18,电子信息工程学院,8,2.2 控制系统的时域数学模型,例2-1,下图为一RLC串连电路。试列写以Ui(t)为输入量，Uo(t)为输出量的网络微分方程。,一、系统运动的微分方程描述,由基尔霍夫定律可写出回路方程为,Ui(t)为输入量， i(
5、t)和Uo(t)为被控量，其中选择Uo(t)为输出，则i(t)成为中间变量。,RLC串联电路的数学模型，为一二阶线性微分方程。,2018/10/18,电子信息工程学院,9,例2-2,下图是弹簧质量阻尼器机械位移系统。列写质量为m的物体在外力F(t)作用下，位移x(t)的运动方程,由牛顿运动定律有,受力分析：,机械位移系统的数学模型，也为一二阶线性微分方程。,F(t)为输入量， x(t)和F1(t)、 F2(t)为被控量，其中选择x(t)为输出，则F1(t)、 F2(t)成为中间变量。,2018/10/18,电子信息工程学院,10,两个系统的比较,数学模型,参数意义,输入/输出,F(t)/x(t
6、),ui(t)/uo(t),f阻尼系数 k弹性系数(1/k) m质量,R电阻 C电容 L电感,结论：抛开变量和参数的物理意义，两个运动机理完全不同的系统，具有相同的数学模型相似系统（相似系统揭示了不同物理现象之间的相似关系）。从控制理论的角度来考虑，这两个系统具有相同的运动特征。,2018/10/18,电子信息工程学院,11,下图为电枢控制直流电动机原理图，要求电枢电压Ua(t)为输入量，电动机转速m(t)为输出量，列写微分方程。,例2-3,电枢回路电压平衡方程：,Ea=Cem(t),电磁转距方程：,电动机轴上的转距平衡方程：,Ml(t)负载转矩（扰动输入） Ce反电势系数(v/rad/s)，
7、 Cm电动机转距系数 （Nm/A）,共引入了四个被控量ia 、 Ea 、 Mm 和m ，其中m 为输出量，其余为中间变量。,2018/10/18,电子信息工程学院,12,由式消去中间变量得：,在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而式可简化为：,其中：,电动机传递系数,电动机机电时间常数（s）,若电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时, 简化为:,2018/10/18,电子信息工程学院,13,建立微分方程的步骤如下：,按照系统构成和要求确定系统的输入量和输出量。 将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，前一部分得输出作为后一部分得输入，依据各变量所
8、遵循的物理机制，列出各环节的原始方程。 消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。 （在列写原始方程时，引入的被控量的个数应等于原始方程的个数）,2018/10/18,电子信息工程学院,14,例2-4,下图为一闭环反馈随动系统原理结构图,2018/10/18,电子信息工程学院,15,1、确定系统的输入量和输出量。系统的输入量为 ，输出量为 。,2、按信号的传递列写相应的各元件的微分方程和代数方程。,（1）电位器组：输入,kp电位器组的比例系数,（2）放大器：输入为up ，输出为励磁电流If,输出为up,ka放大器的电压放大倍数 Rf、Lf励磁电路的等效电阻和电感,令,励磁电路的电磁时
9、间常数，则上式为,2018/10/18,电子信息工程学院,16,（3）发电机和电动机组：,输入为励磁电流,，输出为电动机转速,由例2.3中直流电动机的数学模型，将Ua(t)改为kgIf(t),得,忽略电动机轴上得粘性摩擦，并采用国际单位制，此时Cm=Ce=kd ,可得发电机和电动机组得微分方程为：,其中：,电动机电枢电路的电磁时间常数,电动机的机电时间常数,2018/10/18,电子信息工程学院,17,（4）传动机构：输入为 ，输出为,传动机构的传动比,3、消去中间变量，导出输入量与输出量之间关系的微分方程,上述四个方程中，共引入了四个被控量 ud、If、和，其中为输出量，其余为中间变量。由方
10、程消去中间变量，得随动控制系统的微分方程为：,其中：,2018/10/18,电子信息工程学院,18,二、线性微分方程的解,微分方程,线性微分方程的求解方法：,1、常规求解方法,例2-5,方程的解,2018/10/18,电子信息工程学院,19,特征方程,特征根,齐次通解,非齐次特解,上述微分方程的解可表为,（其中，C1和C2由初始条件确定）,2018/10/18,电子信息工程学院,20,2、Laplace变换求解方法（仍以上述RLC串连电路为例）,微分方程两端同时进行Laplace变换，有：,电容两端的初始电压,，电路中的初始电流,2018/10/18,电子信息工程学院,21,对上式进行拉氏反变
11、换，得：,2018/10/18,电子信息工程学院,22,三、非线性微分方程的线性化,小偏差线性化方法,基于如下假设： （1）系统中的变量在某一额定工作点附近做微小变化。 （2）非线性特性在此工作点可导，也就是曲线光滑。,将连续变化的非线性函数y=f(x)在平衡工作点（x0 y0）展开为泰勒级数：,增量较小时略去其高次幂项，则有,（x0 y0）作为参考零点，去掉增量符号，得,2018/10/18,电子信息工程学院,23,根据牛顿运动定律可以直接导出此系统的动态方程为,非线性项,这是一输入为零，输出量为摆幅的二阶非线性微分方程。当控制系统处在自动调节状态的小摆幅下运行时，可应用小偏差线性化方法将非
12、线性系统线性化。,平衡状态为,2018/10/18,电子信息工程学院,24,四、控制系统的运动模态,考虑如下所示的常系数线性微分方程,此微分方程的特征根是1,2,n,齐次微分方程的通解,（1） 1,2,n无重根情况,（2） 1,2,n有重根情况（设i为q重根）,其运动模态中会具有形如形式的模态,（3）特征根中有共轭复根时土j，其共轭复模态,2018/10/18,电子信息工程学院,25,数学工具拉普拉斯变换与反变换, 拉氏变换定义 设函数f(t)满足 t0时，f(t)分段连续 则f(t)的拉氏变换存在，其表达式记作 拉氏变换基本定理 线性定理 位移定理 延迟定理 终值定理,2018/10/18,电子信息工程学院,26,数学工具拉普拉斯变换与反变换续,初值定理 微分定理 积分定理 拉氏反变换 F(s)化成下列因式分解形式： a. F(s)中具有不同的极点时，可展开为,2018/10/18,电子信息工程学院,27,b.F(s)含有共扼复数极点时，可展开为,c.F(s)含有多重极点时，可展开为,其余各极点的留数确定方法与上同。,
