1、从一道题看奥赛所涉及的解题方法和技巧,题目：设湖岸MN是一条直线，有一小船自岸边的A点沿与湖岸成15角的方向匀速向湖中驶去，有一个人自A点同时出发，他先沿岸走一段再入水中游泳去追小船.已知人在岸上走的速度为v1 =4m/s，在水中游泳的速度为v22m/s，试求小船的速度至多为多大时，这人才能追上小船？,方法1：微元法,如图，设人在D点入水并在B点刚好能追上小船，这表明：此时人追上小船所用时间最少，对应的小船速度最大.,现设C、E是D点两侧附近无限靠近D点的两点，并设分别从C、E点入水追小船所用总时间相等.,现在BC段截取BF=BE，,那么BFE90.,由于从C、E点入水追小船所用总时间相等，所
2、以，人在CE段走与在CF段游泳所用时间相等.,于是,所以,因为C、E两点无限靠近D点，所以BDN60.,作BKBD交MN于K，于是DK=2BD.,又因为v1=2v2,则人游DK段与走DK段所用时间相等.所以人自出发经D点再到B点与人由A点一直走到K点所用时间相同，并都等于小船从A到B所用的最少时间.,即有,在ABK中，用正弦定理可得：,那么,方法2：类比法,设想MN为甲和乙两种介质的分界面，光在甲中的速度为v1，在乙中的速度为v2，,据费马原理可知，BDA是光从B传到A费时最少的路径，而是临界角. 这可类比本题人从A经D到B的追船情况.,由此得：,下面解法与方法1相同.最后可得：,方法3：图解
3、法,由于题设小船沿角的方向运动，所以沿此方向的直线与EK线的交点B是船以最大速度运动且又能被人追上的地点.,在RtAEK中，因为AK=2AE，,所以AKE30，,于是，ABK180 15 30135,在ABK中,据正弦定理得：,而,所以,方法4：矢量图解法,要人能追上船，即人能回到船上，则其返回的相对速度 必须沿 的反方向，返回的相对速度 为：,作图：,(1)以MN线上的A点为起点作矢量 得K点；,(2)以A点为圆心，以v2的大小为半径作圆;,(3)作直线AC，使它与MN线的夹角为15；,设K点与圆上的任一点E的连线与AC线的交点为B，则AB表示船速，BK表示人相对船的“离开”速度 ，而BE表
4、示人相对船的“返回”速度 .,显然，当KE与圆相切时，AB 线最长，表示船速最大，由此有作图步骤:,由于AK=AE，所以，AKF30， ABE45.,因而ABE为等腰直角三角形，那么,（4）作KE与圆相切于E点，并与AC相交于B点.,方法5：等效法,设人在B点追上船，,则人到达B点可能有很多途径，如ACB，ADB,AEB等,这些途径中耗时最少的途径对应着允许的最大船速，,作NAP30，并分别作CK,DH,EF垂直AP，其中设BDH为直线，,故人按题设情况经路径ACB所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径KCB所用时间相等，,人按题设情况经路径AEB所用时间与假想人全部在水中游泳游过路径FEB所
5、用时间相等，,由以上分析可知，人沿等效途径HDB游泳就费时最少地刚好追上船，这对应着最大船速，设为vmax，则有,因为AHB是等腰直角三角形，所以,故得,方法6：极值法（利用三角函数）,如图，设人沿岸走到D点时，船航行到C点，此时人入水游泳就刚好能在B点追上船.,在ACD中应用正弦定理得,又设此时船速为v，人由A点走到D点耗时为t，则,由以上两式得,又在CDB中应用正弦定理得,设人游过DB段所用时间为 ,则,由以上两式得,由（1）、（2）式，并注意 ，可得,又由于 ， 要v尽可能大，即需AC/AD尽可能大，,，由此得 ，,于是CDB是等腰直角三角形，则有,所以，,方法7：极值法（利用一元二次函
6、数判别式）,如图，设船出发后经时间t被人追上.则船的位移为s=vt，又设人在岸上走用时为kt（0k1)，位移为s1=kv1t,人在湖中游用时为(1k)t（0k1)，位移为s2=(1-k)v2t.,那么，据余弦定理有：,把s、s1、s2的表达式及v1、v2的值代入并整理可得,又,于是有,要这方程有实数解，其判别式应满足：,由此可解得：,或,由本题的物理情景可知只能取：,方法8：极值法（利用一元二次函数判别式）,如图，设人在岸上D处入水追船，运动方向与湖岸成角,并在B点处追上船，这人由ADB用时为t .则,上式表明：t与有关，且在d、L、v1、v2一定时，由决定,研究函数,两边平方得：,整理后得：,此方程有实数解的条件是：判别式0，即有,由此解得：,所以,由（3）、（4）式得：,这表明当60时，函数y有最小值，由（1）式知此时t有最小值,对应的船速有最大值.,对应的最大船速为：,
