1、第 五 章,刚体的定轴转动,5- 1 刚体转动的描述,一、刚体的基本运动,平动：,刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。,可以用质点力学的方法来处理刚体的平动问题。,注：,一般运动=平动 (质心的运动)+绕质心的转动,转动：,刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。,定轴转动：,转轴固定不动的转动。,二、描述刚体定轴转动的物理量,角速度的大小：,由右手螺旋法则确定。,角速度 的方向：,角速度的矢量性,角加速度:,匀加速转动,例题1 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀 地减速，经t=50 s后静止。 （1）求角加速度a 和飞轮从制
2、动开始到静止所转过的转数N； （2）求制动开始后t=25s 时飞轮的角速度 ； （3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25s 时边缘上一点的速度和加速度。,解 （1）设初角度为0方向如图所示，,量值为0 =21500/60=50 rad/s, 在t =50S 时刻 =0,从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转数N 分别为,（2）t =25s 时飞轮的角速度为,的方向与0相同 ；,的方向几乎和 相同。,例题2 一飞轮在时间t内转过角度at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。,解：飞轮上某点角位置可用表示为 at+bt3-ct4 将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为,
3、角加速度是角速度对t的导数，因此得,由此可见飞轮作的是变加速转动。,应用牛顿第二定律，可得：,O,对刚体中任一质量元,-外力,-内力,采用自然坐标系，上式切向分量式为：,O,5-2 转动定律,用 乘以上式左右两端：,设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将N 个方程左右相加，得：,根据内力性质(每一对内力等值、反向、共 线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：,得到：,上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以J 表示。于是得到,刚体定轴转动定律,（2）M 的符号：使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正；,按转动惯量的定义有,
4、5.3 转动惯量,比较：,平动定律,转动定律,转动惯量是转动中惯性大小的量度。,质量是平动中惯性大小的量度。,质元的质量,质元到转轴的距离,质量连续分布的刚体，写成积分形式,例5.2 求质量为m、半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环平面垂直并通过圆心。,解:,J是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。,解：设圆盘的质量面密度为，在圆盘上取一半径为r、宽度为dr的圆环（如图），环的面积为2rdr，环的质量dm= 2rdr 。可得,例题5.4 求质量为m、长为 l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：（1）转轴通过棒的中心并和棒垂直；（2）转轴通过棒的一端并和棒垂直；（3）转轴通过棒上距中
5、心为h的一点并和棒垂直。,解:(1)建立坐标系，分割质量元,J 与刚体质量、质量分布、轴的位置有关,(2)建立坐标系，分割质量元,（3）建立坐标系，分割质量元,刚体绕平行于质心轴的转动惯量 J，等于绕质心轴的转动惯量 JC 加上刚体质量与两轴间的距离平方的乘积：,刚体绕质心轴的转动惯量最小,如：,例1.计算钟摆的转动惯量.（已知摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r）,解：,摆杆转动惯量：,摆锤转动惯量：,钟摆转动惯量：,组合定理：,例1:质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。求静止开始1秒钟后物体下降的距离及绳子的张力。,
6、解：,5-4 转动定律的应用,例:,例2：一半径为R，质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初角速度为o，绕中心o旋转，问经过多长时间圆盘才停止。（设摩擦系数为）,解：,P167：例题5.5，5.6，5.7,5-5 角动量守恒,一. 刚体的角动量,刚体上的任一质元,绕固定轴做圆周运动角动量为：,质点对点的角动量为：,所以刚体绕此轴的角动量为：,二、 刚体的角动量守恒定律,角动量守恒定律：若一个系统一段时间内所受合外力矩M 恒为零，则此系统的总角动量L 为一恒量。,恒量,b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系统的角动量依然守恒。J 大 小,J 小 大。,讨论：,a.对于绕固定转
7、轴转动的刚体，因J 保持不变，当合外力矩为零时，其角速度恒定。,=恒量,=恒量,L,A,B,A,B,C,C,常平架上的回转仪,例5.9 一个质量为M, 半径为R的水平均匀圆盘可绕通过中心的光滑竖直轴自由转动。在 盘缘上站着一个质量为m 的人，二者 最初都相对地面静止。当人在盘上沿 盘边走一周时，盘对地面转过的角度 多大？,解:角动量守恒.初态系统角动量为零,设人对盘的角速度为1,盘对地的角速度为2,例5.10 图中的宇宙飞船对其中心轴的转动惯量为J= 210 3kgm2 ，它以=0.2rad/s的角速度绕中心轴旋转。宇航员用两个切向的控制喷管使飞船停止旋转。每个喷管的位置与轴线距离都是r =1
8、.5m。两喷管的喷气流量恒定，共是 =2kg/s. 废气的喷射速率（相对 于飞船周边）u=50m/s， 并且恒定. 问喷管应喷 射多长时间才能使飞船 停止旋转。,解: 把飞船和排出的废气看作一个系统，在整个喷射过程中，系统所受的对于飞船中心轴的外力矩为零，所以系统对于此轴的角动量守恒，即L0=L1,在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体，这些气体对中心轴的角动量为dm r(u+v)，方向与飞船的角动量相同。因u=50m/s远大于飞船的速率v(= r) ，所以此角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程中喷出废气的总的角动量Lg应为,当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时的总角动量L
9、1就是全部排出的废气的总角动量，即为,由角动量守恒:,即,于是所需的时间为:,例1、质量为M，长为2l的均质细棒，在竖直平面内可饶中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为完全弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。,解：,由系统角动量守恒,机械能守恒,解: 子弹和棒的总角动量守恒,问:子弹和棒的总动量守恒吗? 为什么?,例3 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为：wA=50rad.s-1, wB=200rad.s-1。已知A 圆盘半径RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m, 质量mB=4kg. 试求两圆盘对心衔
10、接后的角速度w .,解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向正压力，但他们均不产生力矩；圆盘间切向摩擦力属于内力。因此系统角动量守恒，得到,P171：例题5.8,5.6 转动中的功和能,一、转动动能,动能：,转动惯量：,转动动能：,二、力矩的功和功率,力矩的功：,力矩功率：,常力矩：,力的功等于力矩的功,力的功,恒力矩的功:,三、刚体定轴转动的动能定理,定轴转动的动能定理：,合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。,四、刚体的重力势能,一个不太大的刚体的重力势能相当于质量集中于质心时的重力势能,五、刚体定轴转动的功能原理,功能原理、机械能守恒定律
11、等都适用于含有刚体的系统 。,直线运动与定轴转动规律对照,质点的直线运动,刚体的定轴转动,P174：例题5.11,解：据机械能守恒定律：,例5.12 一个质量为、半径为的定滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳，绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一质量为的物体而下垂。忽略轴处摩擦，求物体由静止下落高度时的速度和此时滑轮的角速度。,mg,例5.13 最初棒静止在水平位置, 求它由此下摆角时质心的角速度和速度。,解：,力矩的功,机械能守恒定律,解：以棒和球为系统, 碰撞过程中外力矩为零，角动量守恒。,初态：,末态：,由碰撞而损失的机械能为(势能不变)：,初态机械能：,机械能的损失为：,末态机械能：,例2、
12、一质量为m，长为l的均质细杆，转轴在o点，距A端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕o点转动，求：（1）水平位置的角速度和角加速度。（2）垂直位置时的角速度和角加速度。,解：,c,o,B,A,（1）,mg,（2）,（3）*垂直位置时轴的支持力F=?,例3 一长为l 、质量为m 的匀质细杆，可绕光滑轴O 在铅直面内摆动。当杆静止时，一颗质量为m0 的子弹水平射入与轴相距为a 处的杆内，并留在杆中，使杆能偏转到q=300，求子弹的初速v0。,解：,(1) 角动量守恒:,(2) 机械能守恒:,例4、一质量为M，半径R的圆盘，盘上绕由细绳，一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时，其速度为多大？求下落过程中物体的加速度？,解：,解得：,M、m 、绳、地球系统机械能守恒：,系统角动量为：,例5、均质细杆长2l，以垂直于杆的速度v在瞬时与支点A碰撞。求：（1）碰撞后杆的角速度。（2）碰撞后机械能损失多少？,作业: 习题（P35）2，6，8，9 11，12，15，19，20,
