1、第二章 随机过程的 概念与基本类型,2.1 随机过程的一般概念,设(, F,P)为概率空间，T是参数集。若对任意 t T ，有随机变量X(t, e)与之对应，则称随机变量族X(t, e)， t T 是(, F,P)上的随机过程，简记为X(t)，t T 或Xt，t T 。X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空间或相空间，记为I。,随机过程的例子,以X(t)表示某电话交换台在时间段0,t内接到的呼叫次数，则X(t)，t0,)是随机过程； 以X(t)表示某地区第t天的最高气温，则X(t)，t=0,1, 是随机过程； 以X(t)表示某固定点处在时刻t的海面相对于平均海平面的高度，则X(t)，t0,)
2、是随机过程； X(t)=acos(t+)， t（- ,)，其中a，是常数，是随机变量。则X(t)，t （- ,)是随机过程,2.1 随机过程的基本概念,从数学上看，随机过程X(t, e)， t T 是定义在T上的二元函数。对固定的t，X(t, e) 是(, F,P)上的随机变量；对固定的e，X(t, e) 是定义在T上的普通函数，称为随机过程的一个样本函数或样本轨道。,2.1 随机过程的基本概念,按参数T和状态空间I分类（1）T和I都是离散的（2）T是连续的，I是离散的（3）T是离散的，I是连续的（4）T和I都是连续的按Xt 的概率特性分类正交增量过程独立增量过程马尔可夫过程平稳随机过程,2.
3、2 随机过程的分布和数字特征,随机过程X(t)，t T 的有限维分布函数族其中 是n维随机变量 (X(t1), X (t2), , X (tn)的联合分布函数,例：X(t)=tV,-t ,其中V为随机变量。P(V=1)=0.6,P(V=-1)=0.4, 求F1.5 (x), F2 (x), F1.5,2 (x1,x2),2.2 随机过程的分布律和数字特征,有限维分布函数族的性质(1)对称性其中 是 的任意排列(2)相容性m n,2.2 随机过程的分布律和数字特征,定理（柯尔莫哥洛夫，Kolmogorov)：设已给参数集T及满足对称、相容的有限维分布函数族F则必存在概率空间(, F,P)及定义在
4、其上的随机过程X(t)，t T ，它的有限维分布函数族就是F 有限维特征函数族,2.2 随机过程的分布和数字特征,定义2.3 设X(t)，t T 是随机过程，定义 均值函数 若对 ,EX2(t)存在，则称该过程为二阶矩过程。 方差函数协方差函数,2.2 随机过程的分布律和数字特征,相关函数显然有关系式,随机过程数字特征之间的关系,均值函数,自相关函数,最主要的数字特征,2.2 随机过程的分布律和数字特征,例 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t0，Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2。求X(t), t0的均值函数和协方差函数。 解,2.2 随机过程的分布律和数字特征,2
5、.2 随机过程的分布律和数字特征,例 设X(t)=Y+Zt, t0，Y, Z N(0, 1)求X(t), t0的一、二维概率密度族。 解 因Y, Z为正态随机变量，则其线性组合X(t)也是正态随机变量，,X(t)N(0, 1+t2),2.2 随机过程的分布律和数字特征,随机过程X(t), t 0的一维概率密度,2.2 随机过程的分布律和数字特征,随机过程X(t), t0的二维概率密度,2.2 随机过程的分布律和数字特征,设X(t)，t T ，Y(t)，t T 是两个随机过程，二阶矩函数存在，定义 二阶矩过程 一、二阶矩函数存在 定义2.4 互协方差函数互相关函数显然有关系式,2.2 随机过程的
6、分布律和数字特征,例 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相关函数。解,2.2 随机过程的分布律和数字特征,2.3 复随机过程,定义2.5设Xt，t T ，Yt，t T 是取实值的两个随机过程，对t T ，Zt = Xt + iYt，则称Zt，t T 是复随机过程。 均值函数方差函数,2.3 复随机过程,相关函数协方差函数显然有关系式,2.3 复随机过程,设Xt，t T ，Yt，t T 是两个复随机过程，定义 互相关函数互协方差函数显然有关系式,2.3 复随机过程,复随机过程的协方差函数具有性质 (1)共轭对称性 (2)非负定性,2.3
7、 复随机过程,例 设复随机过程X1, X2, , Xn独立，w1, w2, , wn为参数， 求Zt, t0的均值函数m(t)和相关函数R(s, t)解,2.3 复随机过程,2.4 几种重要的随机过程,定义2.6设X(t)，t T 是随机过程，且EX(t)=0, EX2(t) +，若对任意的t1 t2 t3 t4T,有E(X(t2)-X(t1)(X(t4)-X(t3)=0，则称X(t)，t T 为正交增量过程。 不相关t1 t2 t3 t4 定理：设T=a,b , 规定X(a)=0, 若Xt，t T 是正交增量过程，则,2.4 几种重要的随机过程,证:对于astb 同理对于a t s b ,
8、有 于是,2.4 几种重要的随机过程,定义2.7设X(t)，t T 是随机过程，对任意正整数n和t1t2tnT, 随机变量X(t2)-X(t1)，X(t3)-X(t2), , X(tn)-X(tn-1)是相互独立的，则称X(t)，t T 是独立增量过程或可加过程。定理：若Xt，t T 是独立增量过程，且EX(t)=0，EX2(t)+，则Xt，t T 是正交增量过程。,2.4 几种重要的随机过程,事实上，对t1t2t3t4T,由独立增量性，有 E(X(t2)-X(t1)(X(t4)-X(t3) = EX(t2)-X(t1)EX(t4)-X(t3) =0,2.4 几种重要的随机过程,定义2.8设X
9、(t), tT是独立增量过程，若任意st, 随机变量X(t)-X(s)的分布仅依赖于 t-s，则称X(t), tT是平稳独立增量过程。维纳过程和泊松过程是平稳独立增量过程,定义2.9 设 X(t)，t T 为随机过程，若对任意正整数n及t10，且条件分布 PX(tn)xn|X(t1)=x1, X(tn-1)=xn-1 = PX(tn) xn|X(tn-1)=xn-1， 则称X(t)，t T 为马尔可夫过程。 若t1,t2,tn-2表示过去，tn-1表示现在，tn表示将来，马尔可夫过程表明：在已知现在状态的条件下，将来所处的状态与过去状态无关。,定义2.12 设X(t)，t T 是随机过程，对任
10、意常数和正整数n，t1,t2, tnT, t1+, t2+,tn+ T，若(X(t1), X(t2), , X(tn)与(X(t1+), X(t2+), X(tn+)有相同的联合分布，则称X(t)，t T 为严平稳过程，也称狭义平稳过程。,6.1 平稳随机过程的概念,定义2. 13 设X(t)，t T 是随机过程，并满足： (1)X(t)，t T 是二阶矩过程； (2)对任意t T ，mX(t)=EX(t)=常数； (3)对任意s, t T ，RX(s, t)=EX(s)X(t)=RX(t-s)，则称X(t)，t T 为宽平稳过程，也称广义平稳过程，简称平稳过程。若T为离散集，称平稳过程Xn，
11、nT 为平稳序列。,2.4 几种重要的随机过程,定义2.10设X(t)，t T 是随机过程，对任意正整数n和t1t2tnT, (X(t1),X(t2), , X(tn)是n维正态分布随机变量，则称X(t)，t T 是正态过程或高斯过程。,2.4 几种重要的随机过程,定义2.11设W(t), - 0则称W(t), - t +为维纳过程，或布朗运动。,2.4 几种重要的随机过程,定理：设W(t), - t +是参数为2的维纳过程，则 (1)对任意t(-, +), W(t) N(0, 2|t|) (2)对任意- a s, t +, E(W(s)-W(a) (W(t)-W(a)=2min(s-a, t
12、-a) RW(s, t)=2min(s, t)证 (1)由定义，显然成立。,2.4 几种重要的随机过程,(2)不妨设s t，则 E(W(s)-W(a) (W(t)-W(a) =E(W(s)-W(a) (W(t)-W(s)+W(s)-W(a) =E(W(s)-W(a) (W(t)-W(s)+E(W(s)-W(a)2 =EW(s)-W(a)EW(t)-W(s)+DW(s)-W(a) =2(s-a),2.4 几种重要的随机过程,若 t s ，则 E(W(s)-W(a) (W(t)-W(a)=2(t-a)，所以 E(W(s)-W(a) (W(t)-W(a)=2min(s-a,t-a)若取a = 0，则 RW(s, t)=EW(s)W(t) =E(W(s)-W(0)(W(t)-W(0) =2min(s, t) 注：维纳过程也是正交增量过程 (EX(t)=0, EX2(t)=2|t|+)，还是马尔可夫过程,6.2 联合平稳随机过程,一维随机变量 e X(e) 二维随机变量 e （X(e)， Y(e)） 。 n维随机变量 e （X1(e)， X2(e)，,Xn(e)） 随机序列 e （X1(e)， X2(e)，, ） 随机过程 e （X(t,e)， tT ）,随机变量族 (t ,e) xt(e)=x(t, e),xx (ti,e)t1 t2 t3,
