高等代数电子教案(Ⅱ).ppt

1、高等代数（张禾瑞 郝炳新） 电子教案(),韩山师范学院数学与信息技术学院 张君敏,第一章 基本概念,第二章 多项式,第三章 行列式,第四章 线性方程组,第五章 矩阵,第六章 向量空间,第七章 线性变换,第八章 欧氏空间与酉空间,第九章 二次型,第四章 线性方程组,4.1 消元法 4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法 4.3 线性方程组的公式解 4.4 结式和判别式,4.1 消元法,学习内容4.1.1 线性方程组的初等变换4.1.2 矩阵的初等变换 阶梯形矩阵4.1.3 线性方程组有解的判别,前一章中我们只讨论了这样的线性方程组，这种方程组有相等个数的方程和未知量，并且方程组的系数行列式不等

2、于零，在这一章我们要讨论一般的线性方程组：,在实际的解线性方程组时，比较方便的方法是消元法.,（1）,例1 解线性方程组：,从第一和第三个方程分别减去第二个方程的1/2倍和2倍，来消去这两个方程中的未知量,（2）,得到：,为了计算的方便，把第一个方程乘以 -2 后，与第二 个方程交换，得：,现在很容易求出方程组（2）的解. 从第一个方程 减去第三个方程的3倍，再从第二个方程减去第三 个方程，得,再从第一个方程减去第二个方程的5/3倍，得：,这样我们就求出方程组的解.,交换两个方程的位置； 用一个不等于零的数某一个方程； 用一个数乘某一个方程后加到另一个方程.,4.1.1 线性方程组的初等变换,

3、线性方程的初等变换： 对方程组施行下面三种变换：,这三种变换叫作线性方程组的初等变换.,定理4.1.1 初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组,线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：,而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：,（3）,（4）,4.1.2矩阵的初等变换,叫做一个s行t列（或st）的矩阵，,叫做这个矩阵的元素.,注意：矩阵和行列式在形式上有些类似，但有完全不同的意义，一个行列式是一些数的代数和，而一个矩阵仅仅是一个表.,矩阵（3）和（4）分别叫作线性方程组（1）的系 数矩阵和增广矩阵. 一个线性方程组的增广矩阵显 然完全代表这个方程组.,定义2 矩阵的行（列

4、）初等变换指的是对一个矩阵 施行的下列变换：,3) 用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行 （列），即用某一数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素后加到另一行（列）的对应元素上.,1) 交换矩阵的两行（列）,2) 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列），即 用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）的每一 个元素；,显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题.下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.,在对于

5、 一个线性方程组施行初等变换时，我们的目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简. 因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个线性方程组的系数矩阵的问题. 在此，为了叙述的方便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即允许施行第一种列初等变换. 后一种初等变换相当于交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研究.,在例1中，我们曾把方程组（2）的系数矩阵,先化为,然后，进一步化为,定理4.1.2 设A是一个 m行n列的矩阵：,通过行初等变换和第一种列初等变换能把A化为 以下形式：,(5),进而化为以下形式，,（6）,乘第一行，然后由其余各行分别减去第一行的适 当倍数，矩阵A化为,若

6、B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，,那么B 已有（5）的形式. 设B 的后m 1 行中有 一个元素b 不为零，把b 换到第二行第二列的 交点位置，然后用上面同样的方法，可把B 化为,如此继续下去，最后可以得出一个形如（5）的矩阵.,形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是,显然的. 只要把由第一，第二，第r 1 行 分别减去第r 行的适当倍数，再由第一，第二， 第r 2行分别减去第r 1行的适当倍数，等等.,4.1.3用消元法解线性方程组,考察方程组（1）的增广矩阵（4）. 由定理4.1.2，我们可以对（1）的系数矩阵（3）施行一些初等变换而把它化为矩阵（6）. 对增广矩阵（4

7、）施行同样的初等变换，那么（4）化为以下形式的矩阵：,(7),与（7）相当的线性方程组是,（8）,由于方程组（8）可以由方程组（1）通过方程组的初等变换以及交换未知量的位置而得到，所以由定理4.1.1，方程组（8）与方程组（1）同解. 因此，要解方程组（1），只需解方程组（8）. 但方程组（8）是否有解以及有怎样的解都容易看出.,情形1，,情形2，,当r n 时，方程组（9）可以改写成,(10),叫做自由未知量，而把（10）叫做方程组（1）的 一般解.,例2 解线性方程组,这样，线性方程组（1）有没有解，以及有怎样的解，都可以从矩阵（7）看出. 因此，我们完全可以就方程组（9）的增广矩阵来解这

8、个方程组.,施行行初等变换，并且注意，我们是要把其中所含 的系数矩阵先化为（5），再化为（6）的形式. 由 第一和第二行分别减去第三行的5 倍和2 倍，然后 把第三行换到第一行的位置，得,解：对增广矩阵,由第二行减去第三行的2倍，得,虽然我们还没有把增广矩阵化成（5）的形式，但已 可看出，相当于最后矩阵的线性方程组中的一个方程是0 = 5 所以原方程无解.,例3 解线性方程组,解：这里的增广矩阵是,继续施行行初等变换，这一矩阵可以化为,这个矩阵本质上已有（5）的形式，这一点只要交换 矩阵的第二和第三两列就可以看出. 进一步由第一 行减去第二行的三倍，得出相当于（6）型的矩阵,把第一行的适当倍数

9、加到其它各行，得,对应的线性方程组是,4.2 矩阵的秩 线性方程组可解的判别法,学习内容 4.2.1 k阶子式、矩阵秩的定义用初等变换求矩 阵的秩 4.2.2 线性方程组可解的判别法,4.2.1 k阶子式、 矩阵秩的定义 用初等变换求矩阵的秩,在上一节课讲述了用消元法来解线性方程组：,(1),这个方法在实际解方程组是比较方便的，但是我们还有几个问题没解决。,简化为以下形式一个矩阵,（甲） 利用初等变换把方程组（1）的系数矩阵,（2）,（3）,并且看到，在矩阵（3）中出现的整数r在讨论中占有重要的地位. 但是我们对这个整数还没有什么了解. r 和系数矩阵（2）究竟有什么关系？它是由系数矩阵（2）

10、所唯一决定的，还是依赖于所用的初等变换？因为我们可以用不同的初等变换，把系数矩阵（2）化为形如（3）的矩阵.,（乙） 方程组（1）有解时，它的系数应该满足什么条件？,（丙） 我们没有得出，用方程组的系数和常数项来表示解的公式，而解的公式在理论上有重要的意义.,矩阵的秩 利用一个矩阵的元素可以构成一系列的行列式.,. 位于这些行列交点处的元素（不改变元素相对的位置）所构成的k 阶行列式叫作这个矩阵的一个k阶子式. 我们看一看，在矩阵（3）中出现的整数r和这个矩阵的子式之间有些什么关系. 假定r0 . 这时，矩阵（3）含有一个r 阶的子式：,定义1 在一个s行t列的矩阵中，任取k行k列,定义2 一

11、个矩阵中不等于零的子式的最大阶数叫做这个矩阵的秩. 若一个矩阵没有不等于零的子式，就认为这个矩阵的秩是零. 按照定义，一个矩阵的秩的不能超过这个矩阵的行的个数，也不能超过它的列的个数. 一个矩阵A的秩用秩A来表示. 显然，只有当一个矩阵的元素都为零是，这个矩阵的秩才能是零.,这个子式不等于零. 但矩阵（3）不含阶数高于r的不等于零的子式. 这是因为；在r = m 或r = n 时，矩阵（3）根本不含阶数高于r的子式；而当r m ， r n 时，矩阵（3）的任何一个阶数高于r的了式都至少含有一个元素全为零的行，因而必然等于零. 这样，r等于矩阵（3）中的不等于零的子式的最大阶数.,证明 我们先说

12、明以下事实：若是对一个矩阵A施行某一行或列的初等变换而等到矩阵B，那么对B施行同一种初等变换又可以得到A. 事实上，若是交换A的第i行与第j行而得到B，那么交换B 的第i行与第j列就得到A；若是把A的第i行乘以一不等于零的数a而得到B，那么将B的第i行乘以1/a就又可以得到A；若是把A的第j行乘以数k加到第i行得到B，那么B的第j行乘以 k加到第i行就得到A. 列的初等变换的情形显然完全一样. 现在我们就用第三种行初等变换来证明定理.,定理4.2.1 初等变换不改变矩阵的秩.,并且A 的秩是r . 我们证明，B 的秩也是r . 先证明，B 的秩不超过r . 设矩阵B 有s 阶子式D，而 s r

13、 . 那么有三种可能的情形: D不含第i 行的元素，这时D也是矩阵A的一个s阶子式，而s大于A的秩r ，因此D= 0.,设把一矩阵的第j 行乘以k加到第i行而得到矩阵B：,因为后一行列式是矩阵A的一个s阶子式., D含第i行的元素，也含第j行的元素. 这时，由命题3.3.10,这里,D含第i行的元素，但不含第j行的元素，这时,但我们也可以对矩阵B 施行第三种行初等变换而得到 矩阵A. 因此，也有,因此，在矩阵B有阶数大于r的子式的情形，B 的任何 这样的子式都等于零，而B的秩也不超过r . 这样，在任何情形，都有,这样，我们也就证明了，秩A = 秩B ，即第三种行初等变换不改变矩阵的秩. 对于

14、其它的初等变换来说，我们可以完全类似地证明定理成立. 这样，我们就解决了前面的第一个问题（甲）.,4.2.2 线性方程组可解的判别法,定理4.2.2 （线性方程组可解的判别法）线性方程组（1）有解的充分且必要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.,那么 的前n 列作成的矩阵 A 就是（1）的系数矩阵. 利用定理4.1.2所指出的那种初等变换把 化为,并且用B表示 的前n列作成的矩阵. 那么由定理4.2.1得：,（4）,故定理得证.,现在设线性方程组（1）有解. 那么或者r = m，或者r m ，而 ，这两种情形都有秩 .于是由（4）得， .,反过来，设 ，那么由（4）得，的秩也是r ，由此

15、得，或者r = m ，或者r m 而 ，因而方程组（1）有解.,定理4.2.3 设线性方程组的系数矩阵和增广矩阵有相同的秩，那么当r 等于方程组所含的未知量的个数n时，方程组有唯一解；当r n 时，方程组有无穷多解.,学习内容4.3.1 线性方程组的公式解4.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念4.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件,4.3 线性方程组的公式解,4.3.1 线性方程组的公式解,例1 考察线性方程组,(1),(2),考虑线性方程组,那么在这三个方程间有以下关系：,这就是说，第三个方程是前两个方程的结果。因此由中学代数知道，第三个方程可以舍去，亦即方程组和由它的前两个方程所组成

16、的方程组,同解。,证 由于方程组（1）的系数矩阵A的秩是r，所以A至少含有一个r阶子式 。,现在我们证明，方程组（1）的后 m -r 个方程中的每 一个都是（1）的前r 个方程,(3),的结果.,亦即使,(4),方程组（4）的增广矩阵是,而 的前r列作成（4）的系数矩阵B，我们要计算矩阵B和 的秩。注意， 的列刚好是方程组（1）的增广矩阵 的某些行。这样，矩阵 的左上角的 r阶子,式刚好是 子式D 的转置行列式，因而不等于零：,由于 也是矩阵B的子式，所以矩阵B和 的秩都至少是r，另一方面，矩阵 的任一个r +1阶子式 都是 的某一个r +1阶子式的转置行列式。由于 的秩是r，所以 的所有r

17、+1阶子式都等于零，由此得 必然等于零。但 没有阶数高于r +1的子式，所以B和 的秩都是r，而方程组（4）有解。这样我们就证明了，方程组（1）的后m -r个方程都是（1）的前r个方程的结果，而解方程组（1）归结为解方程组（3）。,假定方程组（1）满足定理4.3.1的条件，于是由定理4.3.1，解方程组（1），只需解方程组（3）。我们分别看 的情形。,方程组（1）的公式解：,现在设 ,这时方程组(3)的前r个未知量的系数所构成的行列式 ，在方程组（3）中把含未知量 的项移到右边，,方程组（3）可以写成：,(3),暂时假定 是数，那么（3）变成r 个未知量 的r 个方程。用克拉默规则解出 得,(

18、5),这里,把（5）中的行列式展开，（5）可以写成,(6),这里 都是可以由方程组（1）的系数和常数项表示的数。现仍旧把（6）中 看成未知量，那么（6）是一个线性方程组，从以上的讨论容易看出，方程组（6）与方程组（3）同解，因而和方程组（1）同解。正如用消元法解线性方程组的情形一样，方程组（6）给出方程组（1）的一般解，而 是自由未知量，要求方程组（1）的一个解，只需给予自由未知量 任意一组数值，然后由（6）算出未知量 的对应值，并且（1）的所有解都可以这样得到。,由于（6）的系数和常数项都可以由方程组（1）的 系数和常数项表出，所以（6）或它的前身（5）都 给出求方程组（1）的解的公式。,求

19、解这个方程组的公式，并求出一个解。,即：,用公式来求数字线性方程组的解是比较麻烦的，因为需要计算许多行列式。因此在实际求线性方程组的解的时候，一般总是用消元法。但是在数学问题中遇到线性方程组时，常常不需要真正求出它们的解，而是需要对它们进行讨论，在这种情况下，我们有时要用到（5）式或（6）式。,4.3.2 齐次线性方程组及其非零解的概念,定义 若是一个线性方程组的常数项都等于零，那么 这个方程组叫做一个齐次线性方程组.,我们来看一个齐次线性方程组,(8),这个方程组永远有解：显然,就是方程组（8）的一个解，这个解叫做零解。如果方程组（8）还有其它解，那么这些解就叫作非零解。,齐次线性方程组永远

20、有解.,4.3.3 齐次线性方程组有非零解的条件,定理4.3.2 一个齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：它的系数矩阵的秩r小于它的未知量的个数n。,证 当 时，方程组只有唯一解，它只能是零解。当 时，方程组有无穷多解，因而它除零解 外，必然还有非零解。,推论4.3.3 含有n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是：方程组的系数行列式等于零。,因为在这一种情况，方程组系数行列式等于零就是说，方程组的系数矩阵的秩小于n.,推论4.3.4 若在一个齐次线性方程组中，方程的个数m小于未知量的个数n，那么这个方程组一定有解。因为在这一情况，方程组的系数矩阵的秩r不能超过m，因

21、而一定小于n .,学习内容4.4.1结式与多项式的公根4.4.2多项式的判别式,4.4 结式和判别式,4.4.1结式与多项式的公根,假设 在C 内有公根,依次用 乘第一个等式,用 乘第二个等式,我们得到以下 个等式:,这就表明, 是一个含有 个未知量, 个方程的齐次线性方程组的非零解,因此系数行列式:,必须等于零.,行列式D叫做多项式 的结式,并且用符号 来表示.结式 不但 有公根时等于零,而且当 时显然也等于零.于是就得到,定理4.4.1 如果多项式,定理4.4.2 设,(1),有公根,或者 ,那么它们的结式等于零.,是复数域C上多项式. 是它们的结式.,(ii) 如果 ,而 的全部根,那么

22、,(2),证 我们对m 作数学归纳法来证明公式(1)。先看m=1的情形，这时,因此,假设当 时公式（1）成立。我们看 的情形，这时,令 的全部根。那么,这里 是一个k次多项式，它的根是 比较 的系数，我们有,因此,把行列式的第一列乘以 加到第二列上，再把新的第二列乘以 加到第三列上，最后,把第n+k列乘以 加到第n+k+1列上，并且注到,我们得到,把这个行列式依最后一列展开，我们有,再依次把第n+2行乘以 加到第n+1行，把第n+3行乘以 加到第n+2行，最后，把第n+k+1行乘以 加到第n+k行，于是,这里 是位于最后的行列式左上角的n+k阶行列式，它恰是多项式 的结式，因此由归纳法的假设，

23、,于是,公式（1）被证明。,容易看出，通过适当对调行列式D的行，可以得到,（3）,因此，如果 而 是 的全部根，那么由（1）可得（2）。,定理4.4.3 如果多项式 的结式等于零，那么或者它们的最高次项系数都等于零，或者这两个多项式有公根。,证 设 ，如果 ，那么由（1），一定有某一 ，从而 是 的一个公根，如果 那么由（2）也可以推出 有公根。,如果 ，同样的计算也可以得到上面的等式。当 时，上面的展开式的右端等于零，不论在任何情形，上面的展开式都成立。,现在利用结式来讨论两个二元多项式的公共零点问题。,设 是两个复系数二元多项式，我们按x的降幂写出这两个多项式：,把 分别看成f 中 和g中

24、 的系数，然后求出f 和g 的结式，记作 ， 是y 的一个多项式：,如果多项式 有公共零点 ，那么以 代替 中的文字y，所得到的一元多项式 有公根，由定理4.4.1，它们的结式 ，这就是说， 是多项式 的一个根。反过来，如果结式 有根 ，那么以 代替多项式 中的文字y，我们得到x 的多项式,的结式 ，因而由定理4.4.3，或者 或者 有公根。这样，求两个未知量两个方程,的公共解可以归结为求一个未知量的一个方程,的根，也就是说，可以用从两个方程中消去一个未知量，所以这个过程通常叫做未知量的消去法。,求出f 与g 的结式,这两个多项式有公根 ，所以 是方程组（4）的一个解，另一方面，以 代替y，所

25、得的多项式有公根 ，所以 也是方程组（4）的一个解，因此，方程组（4）有两个解：,;,；,4.4.2多项式的判别式,最后，我们介绍一下多项式的判别式的概念，并且指出判别式与结式之间的关系。设,是复数域C上一个n（n1）次多项式， 令 的全部根（重根按重数计算）。乘积,叫做多项式 的判别式（这里表示求积的符号）。,由定理2.5.2容易推出，多项式 有重根必要且只要 与它的导数 有公根，因为 ，所以由定理4.4.1和4.4.3， 有重根必要且只要 与 的结式 ，由此可见， 的判别式与结式 之间有密切的关系，下面我们将导出这个关系，根据定理4.4.2，公式（1），我们有,在Cx里，,求导数，我们有,

26、所以,这样，,在这个乘积里，对于任意i 和j（ij）都出现两个因式： 和 ，它们的乘积等于 ，由于满足条件 的指标i 和j 一共有 对，所以,D是多项式 的判别式,从表示 的行列式的第一列显然可以提出因子 ，因此多项式 的判别式D可以表成由系数 所组成的一个行列式，因而是 的多项式。,于是,所以判别式是,例3 求二次多项式 的判别式。,第五章 矩阵,5.1 矩阵的运算,5.2 可逆矩阵 矩阵乘积的行列式,5.3 矩阵的分块,5.1 矩阵的运算,学习内容,5.1.1 认识矩阵 5.1.2 矩阵的运算 5.1.3 矩阵的运算性质 5.1.4 方阵的多项式 5.1.5 矩阵的转置,5.1.1 认识矩

27、阵,矩阵的产生有丰富的背景: 线形方程组的系数矩阵, 矩阵的应用非常广泛.,设F是数域, 用F的元素 排成的m行n列的数表,5.1.2 矩阵的运算,定义1 (矩阵的数乘) 给定数域F中的一个数k与矩阵A的乘积定义为,A和B加法定义为:,A和B的乘法定义为,注意: 相加的两个矩阵必须同型, 结果也同型; 相乘的两个矩阵必须:第一个的列数等于第二个的行数, 试问: 结果的形状?,5.1.3 矩阵的运算性质,矩阵和定义在矩阵上的运算满足如下运算规律（其中A，B，C 均为F上的矩阵，k，l为数域F中的数）,(1) 加法交换律,(2) 加法结合律,(3) 零矩阵,(4) 负矩阵,(5) 数乘结合律,(6

28、) 数乘分配律,(7) 乘法结合律,(8) 乘法分配律,注意: 矩阵的乘法不满足交换律,5.1.4 方阵的多项式,方阵A的方幂:,规定:,设多项式,那么,在多项式的等式中, 用A代x可以作出形式相同的矩阵等式.,5.1.5 矩阵的转置,设,转置有下面的性质:,(9),(10),(11),5.2 可逆矩阵 矩阵的乘积的行列式,学习内容521 可逆矩阵的定义522 可逆矩阵的性质523 初等矩阵的定义、性质524 矩阵可逆的判别525 逆矩阵的求法526 矩阵乘积的行列式,5.2.1 可逆矩阵的定义,定义1 A为F上n 阶方阵，若存在n阶方阵B，使 AB = BA = I 称A为可逆矩阵（非奇异矩

29、阵），B称为A的逆矩阵.,例：,A与B互为逆矩阵.,注1 有零行或零列的矩阵不可逆.,5.2.2 可逆矩阵的性质, A可逆，则A的逆矩阵唯一。,证 设B,C均为A的逆矩阵 ，则 AB = BA =I,AC = CA =I B = BI = BAC =（BA）C = IC = C,证 注意到 即得.,证 注意到 即得., A可逆，则, A，B可逆，则AB也可逆，且 .,5.2.3 初等矩阵的定义、性质,定义2 由单位矩阵经过一次初等变换所得的矩阵称为初等矩阵.,n = 4,定理1 对A作初等行变换相当于用同类型的初等矩阵左乘A; 对A作初等列变换相当于用同类型的初等矩阵右乘A。如,1、交换A的i

30、 ，j 行相当于用 .,如,2、把A的第i 行乘以数k 相当于用 .,定理2 初等矩阵可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵.且,引理1 ，则 . （初等变换不改变可逆性）.,定理3 任一mn矩阵A总可以通过初等变换化为,证 由定理4.1.2，A可通过行及列变换化为,对（*）作第三种列变换即可化为,5.2.4 矩阵可逆的判别,n 阶矩阵A可逆,则 可逆， 无零行，即 . 反之，若AI，由I可逆知A可逆., AI，即IA即存在初等矩阵 使,注 A可逆,则A可经初等行变换化为I., 由 AI，,5.2.5 逆矩阵的求法, 行初等变换法,A可逆，由 ，即存在初等矩阵 ，使,即,例1, 公式法,设,则由行列式的依

31、行依列展开公式,，有,即,若A可逆，则|A|0，从而,即,例3：求矩阵 的逆矩阵.,解法一 利用公式,因为,计算每个元素 的代数余子式,所以,解法二 行初等变换法.,所以,例4 解矩阵方程 其中,解 显然A是可逆的.先求出,再在原方程两边左乘 得,所以,5.2.6 矩阵乘积的行列式,引理5.2.6：n阶矩阵A总可以通过第三种行和列的初等变换化为对角矩阵, 若A的第一行、第一列元素不全为零，则总可使A的左上角的元素不为零.,继续作第三种初等变换，则可将A化为对角形矩阵，且,定理：设A，B为n 阶矩阵，则|AB| = |A| |B|,证, 若A为对角矩阵,从而,推广,相当于对 作第三种行初等变换.

32、 故,定理 A，B为mn及np阶矩阵，则秩（AB）秩A，秩（AB）秩B. 特别当A可逆时，秩（AB）= 秩B.,推论：,例5 A可逆，则存在 n 阶可逆矩阵P，Q，使PAQ = I,证：A可逆，则,学习内容5.3.1 分块矩阵的概念5.3.2 分块矩阵的运算5.3.3 特殊的分块矩阵,5.3 分块矩阵,在行列式 中任意取定了 行.由这 行元素所组成的一切 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式 .,复习:拉普拉斯(Laplace)定理,一、分块矩阵的概念,定义,将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块(或子阵), 以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。,1. 线性运算,（

33、加法与数乘）,二. 分块矩阵的运算,2. 乘法运算,符合乘法的要求,例1 设,为了求乘积AB，我们可以对A，B如下地分块,这里I 是二阶单位矩阵，O 是二阶零矩阵.,按照分块矩阵的乘法，我们有,这里,3. 转置运算,1. 准对角阵,则,三. 特殊的分块阵,求A的行列式及逆。,解 将矩阵分块,例2,2. 分块三角阵,证明:,解：将矩阵分块,例3,解：将矩阵分块,例3,3. 分块次对角阵,小结: 一.分块矩阵的概念将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块(或子阵), 以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。 注意：分块矩阵是以子块为元素形成的矩阵，且 子块也是矩阵。 作用：简化高阶矩

34、阵运算简化运算的表达形式,二.分块矩阵的运算: 1. 线性运算 2. 乘法运算 将矩阵的子块视为元素时，矩阵应符合运算的要求 相应的子块间也应符合运算的要求 3. 转置运算. 注意：大块小块一起转,三. 特殊的分块矩阵 准对角, 分块三角阵 分块次对角 一些重要公式,课外作业: P215. 习题1, 习题2,习题4.,第6章 向量空间,6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间,向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）.本章的特点

35、及要求：,向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，是进一步学习数学必备的内容. 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解的结构. 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统. 所谓代数系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.,6.1 向量空间的定义和例子,引例定义产生的背景. 向量空间的定义抽象出的数学本质. 进一步的例子加深对定义的理解. 一些简单性质.,1. 引例定义产生的背景,A+B=B+A (A+B)+C= A+( B+C) OA=A A+(-A)=O,a(A+B)=

36、 aA+Ab (a+b)B=a B +Bb (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1AA,例2 设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个向量，加法和数乘满足同样的8条性质. 按照解析几何的方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都有表达式， 类似的问题许多，有必要总结它们的共性：,涉及两个集合（其中一个集合）.涉及两种运算（什么样的运算？）.满足8条运算性质.,2. 向量空间的定义抽象出的数学本质,定义1 设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：,闭合性

37、： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数 和V中元素v, 一定有： v属于V.,加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量，记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足：u+v= 0. 这样的u称为v的负向量.,乘法的性质：,(m1),(m2),(m3),(m4) 1u= u 对所有u属于V.,3

38、. 进一步的例子加深定义的理解,例4 数域F上一元多项式集合Fx按照通常的加法与数乘构成F上的向量空间，称为多项式空间.,证明：根据多项式加法和数乘的定义，,(a2) f(x)+g(x)+h(x)= f(x)+ g(x) +h(x) ,(a3) 0向量就是零多项式.,(a4) f(x)的负向量为（- f(x)）.,例5 Ca,b表示区间a,b上连续实函数按照通常的加法与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间. 证明： 比照例3，给出完整步骤.,例6 （1）数域F是F上的向量空间. （2）R是Q上的向量 空间，R是否为C上的向量空间？,例7 设数域取R, 集合为R+(实数)，加法和数乘定义为：

39、,证明：,注3：运算可以是通常的，可以重新定义的. 如何理解运算？ 注4：取数乘为通常的乘法如何？，向量空间与运算有关. 注5：证明向量空间需要10条性质，其中：8条是验证，2条需要解方程求出零向量与负向量.,证明：留作课外练习.,4. 简单性质,（1） 零向量0是唯一的. （2） 一个向量v的负向量是唯一的，用（- v）表示.,（5）,6.2 子空间,学习内容,6.2.1 子空间的概念,6.2.2子空间的交与和.,6.2.1 子空间的概念,设V是数域F上一个向量空间. W是V 的一个非空子集.对于W 中任意两个向量，它们的和+是V中一个向量. 一般说来，+不一定在W 内.如果W中任意两个向量

40、的和仍在W内，那么就说，W对于V的加法是封闭的. 同样，如果对于W中任意向量和数域F中任意数a，a仍在W内，那么就说，W 对于标量与向量的乘法是封闭的.,定理6.2.1,设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本身也作成上一个向量空间.,定义1,令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W是V 的一个子空间.,由定理6.2.1，V的一个子空间也是F上一个向量空间，并且一定含有V的零向量。,例1,向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单独一个零向量所成的集合0显然对于V的加法

41、和标量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间，称为零空间。,一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。V的非平凡子空间叫做V的真子空间。,例2,是不是 的子空间？是不是 的子空间？,解 U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间 的非空子集。又中 的运算是矩阵的加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U是 的 一个子空间。,不是 的子空间，因为n阶单位矩阵I及 I W，但,在空间V2里，平行于一条固定直线的一切向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平行于一条固定直线或一张固定平面的一切向

42、量分别作成V3的子空间(6.1,例1)。,例3,例4,中一切形如,的向量作成 的一个子空间。,例5,F x中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连同零多项式一起作成F x的一个子空间。,例6,闭区间a,b上一切可微分函数作成C a,b的一个子空间。,例7,设,(1) 把满足AX = 0的解X表示为 ，,显然 。并记AX = 0的解集为,证明 是向量空间 的一个子空间。,(2) 记AX = 的解集为 是否也是 的一个字空间？这里,证明 （1）首先，,，且A0 = 0，所以， 。,其次，如果 那么 所以 ，对于任何 。故 对于 的两种运算封闭， 是向量空间 的一个子空间。,定理6.2.2,向量空

43、间W的一个非空子集W是V的一个子空间，要且只要对于任意a,bF和任意,W，都有a+bW,（2）可以知道，在0 的时候， 不一定是 的子空间。因为对任何 ，都有A (X + Y) = AX +AY =+，故 对 的加法不封闭。,6.2.2子空间的交与和,设W1，W2是向量空间V的二个子空间，那么它们的交W1W2也是V的一个子空间.,一般，设 Wi 是向量空间V的一组子空间（个数可以有限，也可以无限）.令 表示这些子空间的交。如同上面一样可以证明，也是V的一个子空间.,作为子集的二个子空间W1与W2 的并集，一般说来不是子空间，现在考虑V的子集。,由于0W1，0W2，所以0=0+0W1+W2，因此

44、W1+W2。设a, bF, ,W1+W2, 那么, 因为W1,W2都是子空间,所以 , ,于是,这就证明了W1+W2是V的子空间,这个子空间叫做W1与W2 的和.,图6-2-1,图6-2-2,图6-2-3,例8 在 中，终点位于过原点的同一条直线l上的所有向量作成 的子空间W。为叙述简便，也说W就是过原点的直线 l ，直线 l 是 的子空间（图6-2-1）。这样， 中过原点的直线都是 的子空间。同理， 中以过原点的平面上的点为终点的所有向量作成 的子空间。这样，过原点的平面都是 的子空间（图6-2-2）。,两个子空间的和的概念也可以推广到任意有限的子空间的情形.设W1,W2,，Wn是V 的子空间.容易证明,一切形如 的向量作为V 的一个子空间,这个子空间称为子空间W1,W2,，Wn的和,并且用符号W1+W2+Wn来表示.,不过原点的直线不能作成 的子空间，如图6-2-3所示， 为不过原点的直线，以 上两点A，B为终点的向量，的和+按平行四边形法则 ，其终点C不在 上，因此 不能作成 的子空间。同样，不过原点的平面也不能作成 的子空间。,