1、第九章 级数,傅里叶级数,在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动。最简单的周期运动，可用正弦函数 来描写。,(1),一、问题的提出,(1)也称为简谐振动，其中 为振幅， 为初相角， 为角频率，于是简谐振动 的周期是 。,的叠加,较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动,如：非正弦周期函数:矩形波,可以由不同频率正弦波逐个叠加逼近得到,若级数（3）收敛，则它所描述的是更为一般的周期运动现象。对于级数（3），只要讨论 （如果 ，可用 代替）的情形。由于所以,（3）,（3）,再看几个简谐振动的叠加,记 , , , 则级数（3）可写成,它是由三角函数列（也称为三角函数系） 1， ， ，
2、， ， ， ,（4）,所产生的一般形式的三角函数。,定义.三角级数,问题:,1.若能展开, 是什么?,2.展开的条件是什么?,二、三角级数 、三角函数系的正交性,1.三角函数系的正交性,三角函数系,二、三角级数 、三角函数系的正交性,三、函数展开成傅里叶级数,问题:,1.若能展开, 是什么?,2.展开的条件是什么?,1.傅里叶系数,且等式右边级数一致收敛。,傅里叶系数,傅里叶级数,问题:,的傅里叶系数为系数的三角级数称为 （关于三角函数系）傅里叶级数，记作,以,2.狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理),解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,和函数图象为,所求函数的傅氏展开式为,注意
3、:,对于非周期函数,如果函数 只在区间 上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅氏级数.,作法:,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,拓广的周期函数的傅氏级数展开式在 收敛于 .,所求函数的傅氏展开式为,四、奇函数和偶函数的傅里叶级数,定理,一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.,证明,奇函数,同理可证(2),定义,偶函数,定理证毕.,解,所给函数满足狄利克雷充分条件.,和函数图象,解,所给函数满足狄利克雷充分条件, 在整个数轴上连续.,五、函数展开成正弦级数或余弦级数,非周期函数的周期性开拓,则有如下两种情况,奇延拓:,偶延拓:,解,(1)求正弦级数.,(2)求余弦级数.,六、以2l为周期的傅氏级数,定理,代入傅氏级数中,则有,则有,解,谢谢大家！,
