1、专题六 概率与统计、推理与证明、算法初步、复数 （120分钟 150分）,一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.（2010烟台模拟）若复数2sin+(i-1)cos是纯虚数，则tan的值为( ) （A）2 （B） （C） （D）,【解析】选B.由已知得 tan=,2.在样本的频率分布直方图中，一共有n个小矩形，若中间 一个小矩形的面积等于其余n-1个小矩形面积和的 且样本容量为160，则中间一组的频数是( ) （A）20 （B）25 （C）32 （D）40 【解析】选C.中间一个小矩形的面积是n个小矩形面积和 的 则中间一
2、组的频数是160 =32.,3.某地区为了解中学生的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了n位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则n等于( ),（A）80 （B）90 （C）100 （D）110,【解析】选C.设第1个小长方形的面积为S,则4个小长方形 的面积之和为4S+ 0.1,由题意知，4S+ 0.1=1,S=0.1,又 =0.1,n=100.,4.（2010广州模拟） 在如图所示的算法流程 图中，若f(x)=2x,g(x) =x3,则h(2)的值为(
3、 ) （A）9 （B）8 （C）6 （D）4,【解析】选B.f(2)=22=4,g(2)=23=8, h(2)=g(2)=8.,5.学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子， 甲：由“若三角形周长为l，面积为S，则其内切圆 半径 ”类比可得“若三棱锥表面积为S，体积为V， 则其内切球半径 ”; 乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a、b，则其外接 圆半径 ”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂 直，侧棱长分别为a、b、c，则其外接球半径 ”.这两位同学类比得出的结论( ) （A）两人都对 （B）甲错、乙对 （C）甲对、乙错 （D）两人都错,【解析】选C.利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的
4、结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的三棱锥补成一个长 方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半 径，可求得其半径 因此，乙同学类比的结论 是错误的.,6.在( )n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( ) （A）-7 （B）7 （C）-28 （D）28,【解析】选B.由已知得n=8.二项展开式的通项为令8- r=0得r=6，故展开式中的常数项为T7= (-1)6( )2 =7.,7.（2010金华十校模拟）形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字、千位数字均比与它们各自相邻的数字大，则由1,2,3,4,5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为( ) （A）
5、20 （B）18 （C）16 （D）11 【解析】选C.分两类：第一类当十位和千位数字分别为4， 5时，共有“波浪数” =12个；第二类当十位和千位数 字分别是3，5时，共有2 =4个“波浪数”，综上知共有16个“波浪数”.,8.停车场有3个并排的车位，分别停放着“奔驰”，“捷达”，“桑塔纳”轿车各一辆，则“捷达”停在“桑塔纳”右边的概率和“奔驰”停在最左边的概率分别是( ) （A） （B） （C） （D）,【解析】选D.三辆车排放的顺序共有 =6种不同的情况， 其中“捷达”停在“桑塔纳”右边的情况有3种，“奔驰” 停在最左边的情况有2种，故“捷达”停在“桑塔纳”右边 的概率是 奔驰”停在最左
6、边的概率是,9.甲、乙两人进行5场比赛，每场甲获胜的概率为 乙获 胜的概率为 如果有一人胜了三场，比赛即告结束，那么比赛以乙获胜3场负2场而结束的概率是( ) (A) (B) (C) (D),【解析】选C.由已知得前4场甲、乙各胜两场，第5场乙 胜，故所求概率为,10.（2010浙江六校联考）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)）,已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其他得分情况）,则ab的最大值为( ) (A) (B) (C) (D),【解析】选A.由已知得3a+2b+0c=2, 3a+2b=2， ab= (3a)(2b) ,二、
7、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在题中的横线上） 11.若i是虚数单位，复数z- + i,则z2=_. 【解析】 答案：- - i,12.为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体进行教学次数在15,25)内的人数为_.,【解析】由茎叶图知，使用多媒体进行教学次数在 15,25）内的频率为 人数约为200 =60(人). 答案：60,13.甲，乙两人玩猜数字游戏，先由甲在心中任想一个数字，记为a，再由乙
8、猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，且a,b1,2,3,4.若|a-b|1,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为_.,【解析】甲、乙各猜一个数字,基本事件总数为44=16. 所求事件包含的基本事件为(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(3,4), (4,3),(4,4),共10个. 故所求事件的概率为 答案:,14.（2010金华模拟）从某社区150户高收入家庭，360户中等收入家庭，90户低收入家庭中，用分层抽样法选出100户调查社会购买力的某项指标，则低收入家庭应抽取的户数为_.,【解析】低收入家庭应
9、抽取100 =15（户）. 答案：15,15.对于函数f(x)=x2(x0)图象上任意两点A(a,a2),B(b,b2)，直线段AB必在曲线段AB的上方，则由图 象的特征可得不等式 请分析y=lgx的图象特征，类比上述不等式可以得到.,【解析】由线段AB与函数f(x)在a,b上的图象位置可比 较直线 分别与线段AB和图象交点的纵坐标的大小， 由于y=lgx的图象是上凸的，故有(a0,b0). 答案： (a0,b0),16.按如图所示的程序框图运算，若输出 k=2，则输入x的取值范围是_.,【解析】输入x,k=0，x=2x+1,k=0+1,x=2x+1115不成立， x=2(2x+1)+1=4x
10、+3,k=1+1,x=4x+3115成立 所以 解得28x57. 答案：(28,57,17.（2010嘉兴模拟）有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲不排在两头，乙和丙必须相邻，则这样的排法共有_种. 【解析】先安排除甲以外的5人有 种方法，再安排 甲，有3种方法，由分步乘法计数原理知排法共有 3=144（种）. 答案：144,三、解答题(本大题共5小题，共72分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18.（14分）（2010湛江模拟）某校从参加某次“广州亚运”知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制）（均为整数），分成6组后得到如下部分频率分布直方图.观察图形的信
11、息，回答下列问题：,(1)求分数在70,80）内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分； （3）若从60名学生中随机抽取2人，抽到的学生成绩在40，70）记0分，在70，100记1分，用表示抽取结束后的总记分，求的分布列和数学期望.,【解析】（1）设分数在70，80）内的频率为x，根据频率分布直方图，则有(0.01+0.0152+0.025+0.005)10+x=1,可得x=0.3，所以频率分布直方图如图所示.,（2）平均分为：=450.1+550.15+650.15+750.3+85 0.25+950.05=71
12、. (3)学生成绩在40,70）的有0.46024人，在70，100的有0.660=36人.并且的可能取值是0,1,2.,19.（14分）已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴有两个不同的公共点，若f(c)=0，且0xc时，f(x)0. （1）试比较 与c的大小； （2）证明-2b-1.,【解析】（1）由题意知方程f(x)=0有两个不同的实数根 x1、x2，且x1x2= 又f(c)=0，故f(x)=0的两根就是c和 假设 c，a0， 0. 0 c. 0xc时，f(x)0， f( )0，这与f( )=0矛盾，假设不成立. c.,(2)f(c)=0，ac2+bc+c=0.又c0
13、， ac+b+1=0. ac0，b+10.b-1. 又f(x)图象的对称轴x=- 在点(c，0)和( ,0)之间， - b-2.综上知-2b-1.,20.（14分）（2010徐州模拟）如图， 在某城市中，M,N两地之间有整齐的方格 形道路网，其中A1、A2、A3、A4是道路网 中位于一条对角线上的4个交汇处.今在 道路网M,N处的甲、乙两人分别要到N,M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N,M为止.,（1）求甲经过A2到达N的方法有多少种； （2）求甲、乙两人在A2处相遇的概率； （3）求甲、乙两人相遇的概率.,【解析】(1)甲经过A2，可分为两步： 第一
14、步，甲从M经过A2的方法数为 种； 第二步，甲从A2到N的方法数为 种； 所以甲经过A2到达N的方法数为( )2=9种. （2）由（1）知，甲经过A2的方法数为（ ）2；乙经过A2 的方法数也为( )2. 所以甲、乙两人在A2处相遇的方法数为( )4=81; 甲、乙两人在A2处相遇的概率为,（3）甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1、A2、A3、 A4处相遇，他们在Ai(i=1,2,3,4)相遇的走法有( )4种方法； 所以 故甲、乙两人相遇的概率,21.（15分）（2010安徽五校联考）某地区举行环保知识 大赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题
15、答题的机会，选手累计 答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题直接进入 决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲连续两次答错的概 率为 (已知甲回答每个问题的正确率相同，且相互之间没有影响). （1）求选手甲回答一个问题的正确率； （2）求选手甲进入决赛的概率； （3）设选手甲在初赛中的答题的个数为，试求的分布列，并求出的数学期望.,【解析】（1）设甲答对一个问题的正确率为P, 由题意：（1-P）2= P= 所以，甲答对一个问题的正确率为 （2）甲答了3道题进入决赛的概率为 甲答了4道题进入决赛的概率为 甲答了5道题进入决赛的概率为 故选手甲进入决赛的概率为 所以，选手甲进入决赛的概率为,（
16、3）的取值为3，4，5，其中P(=3)= P(=4)= P(=5)= 所以，的分布列为其数学期望E=,22.（15分）在数列an中，a1=2,an+1=an+n+1+ (2-)2n(nN*)，其中0. (1)求数列an的通项公式； (2)求数列an的前n项和Sn; (3)证明存在kN*,使得 对任意nN*均成立.,【解析】(1)方法一：a2=2+2+(2-)2=2+22, a3=(2+22)+3+(2-)22=23+23, a4=(23+23)+4+(2-)23=34+24. 由此可猜想出数列an的通项公式为an=(n-1)n+2n. 以下用数学归纳法证明： 当n=1时，a1=2，等式成立.
17、假设当n=k(kN*)时等式成立，即ak=(k-1)k+2k, 那么，ak+1=ak+k+1+(2-)2k =(k-1)k+2k+k+1+2k+1-2k =(k+1)-1)k+1+2k+1,这就是说，当n=k+1时等式也成立，根据和可知， an=(n-1)n+2n对任何nN*都成立. 方法二：由an+1=an+n+1+(2-)2n(nN*),0,可得所以 为等差数列，其公差为1，首项为0, 故 所以数列an的通项公式为an=(n-1)n+2n. (2)设Tn=2+23+34+(n-2)n-1+(n-1)n Tn=3+24+35+(n-2)n+(n-1)n+1 当1时，式减去式，得,(3)通过分析，推测数列 的第一项 最大. 下面证明： n2 由0知an0.要使式成立，只要 2an+1(2+4)an(n2). 因为(2+4)an=(2+4)(n-1)n+(2+4)2n4 (n-1)n+42n=4(n-1)n+1+2n+22nn+1+2n+2 =2an+1(n2), 所以式成立. 因此，存在k=1,使得 对任意nN*均成立.,本部分内容讲解结束,
