1、2.5 函数的微分,微分的概念与定义导数与微分的关系微分的几何意义微分形式的不变性 微分在近似计算中的应用,导数反映了函数因变量相对于自变量变化的快慢程度，即：函数的变化率。,微分指明, 当自变量有微小变化时，函数大体上改变了多少。,M,N,）,M,N,）,一、问题的提出,实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.,再例如,既容易计算又是较好的近似值,问题: 一般函数y=f(x)是否也有 y=f(x+x) f(x)=Ax+o(x)? A是什么?如何求?,二、微分的定义,定义1.,(微分的实质),P112,2.,3.,y、 x 、 dy、f(x)、A、o(x)之间的关系:,三、微分的几何意义,M,
2、N,）,P114,例: 已知曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为2x-y+1=0, 求x=1处的微分.,dy=f(x) x= 2x,习题P123-2,四、可微的条件可微与可导的关系P114,定理,证,(1) 必要性,(2) 充分性,例1,解,定义4.,定义5.,五、微分的求法,求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分.,1. 基本初等函数的微分公式,2. 函数和、差、积、商的微分法则,例2,解,例3,解,六、微分形式的不变性,结论：,微分形式的不变性,例4,解,例3,解,例5,解,在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使等式成立.,于是 xdy-ydx=xdx+ydy, .,例6 设由 确
3、定y为x的函数,求dy.,解 应用微分的运算法则及一阶微分形式的不变性,有,1、计算函数增量的近似值,例1,解,七、微分在近似计算中的应用,精确值=?,见3章1节,2、计算函数的近似值,例7,解,精确值=?,见3章3节,常用近似公式,证明,例8,解,某量的精确值为 A ,其近似值为 a ,称为a 的绝对误差,称为a 的相对误差,若,称为测量 A 的绝对误差限,称为测量 A 的相对误差限,3、误差估计,误差传递公式 :,已知测量误差限为,按公式,计算 y 值时的误差,故 y 的绝对误差限约为,相对误差限约为,若直接测量某量得 x ,例7. 设测得圆钢截面的直径,测量D 的,绝对误差限,欲利用公式,圆钢截面积 ,解:,计算 A 的绝对误差限约为,A 的相对误差限约为,试估计面积的误差 .,计算,(mm),小结,微分学所要解决的两类问题:,函数的变化率问题,函数的增量问题,微分的概念,导数的概念,求导数与微分的方法,叫做微分法.,研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做微分学.,导数与微分的联系:,导数与微分的区别:,思考,B,近似计算的基本公式,作业:,P123 3 (4) , (8) , (10) ;6； 7(1)；,思考,解答,
