1、2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,线性代数,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,线性代数是数学的一个分支，是数学的基础理论课之一。它既是学习数学的必修课，也是学习其他专业课的必修课。,课程的性质：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,内容与任务：,1 线性代数是研究有限维线性空间及其线性变换的基本理论，包括行列式、矩阵及矩阵的初等变换、线性方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型等内容。 2.既有一定的理论推导，又有大量的繁杂运算。有利于培养学生逻辑思维能力、分析问题和动手解决问题的能力。,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算
2、科学学院,线性代数不仅为学习后续课程奠定必要的数学基础，而且在工农业生产如国防技术中有着广泛的应用，是理工科以及经管类大学生的一门重要的数学基础课。该课程的特点是：公式多、式子大、符号繁，但规律性强。课程内容比较抽象，需要学生具备一定的抽象思维能力，逻辑推理能力，分析问题能力和动手解决实际问题的能力,用途与特点：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,为学好这门课程，要求学生要认真上好每一节课，深刻理解每一节课的基本理论，熟练掌握每一节课的重要内容，熟练运用知识点解题，能够收到举一反三，触类旁通的效果。按时完成作业。考查方式:期末考试闭卷-70%; 平时作业、出勤、小测试-30
3、%。,学习与要求：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,辅导用书:,、 高等代数（第三版），北京大学数学系几何与代数小组编高等教育出版社,、线性代数辅导及习题精解 人大第三版罗剑、滕加俊编著陕西师范大学出版社,、线性代数习题集胡显佑、彭勇行主编 南开大学出版社,、 经济数学基础（第二分册 线性代数），龚德恩主编四川人民出版社,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,第一章 行列式,本章主要介绍n阶行列式的定义，,性质及其计,此外还要介绍用n阶行列式,方程组的克莱姆(Cramer)法则,算方法,求解n元线性,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,1
4、.1 二阶、三阶行列式,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,引例 二元线性方程组,将,得,同理可得,当,时，,方程组有,唯一解：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,称为二阶行列式，,横排的称为行，,表示一代数和,左上角到右下角称为,主对角线，,右上角到左下角称为,竖排的称为列,副对角线,对角线法则：二阶行列式等于主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,例,例,设,(1)当 为何值时,(2)当 为何值时,解,或,2018/10/16,阜阳师范学院数学
5、与计算科学学院,因此可得：,(1),(2),时,且,时,例,解二元线性方程组,解,此线性方程组有唯一解,当,或,当,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,称为三阶行列式,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,当,时，方程组(1)有唯一解：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,例4,主对角线及其主对角线方向上的三个元素的乘 积,副对角线及其副对角线方向上的三个元,带正号，,带负号，,所得六项的代数和就是,三阶行列,式的展开式,素的乘积,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,例5,满足什么条件时有,解,由题可得，即使,即,时，,给定
6、的行列式为零,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,例6,的充分必要条件是什么？,解,或,或,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,练习：,计算下列行列式,解,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,作 业,人管班,地理班,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,1.2 n阶行列式,引例,n元线性方程组,（方程个数未知量个数）,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,(1),(2),当,时，,方程组是否有唯 一解？,(3),解是否,当,时，,若方程组有唯一 解，,可以表示成,怎样算？,2018/10/16,阜阳师范学院数
7、学与计算科学学院,可以排成多少个,(一),排列与逆序,排列,三个数,每一个三位数,三级排列。,一般地，,个元素,有序数组,称为一个,如,是,是,一般地，n级排列,不重复的三位数?,都称为一 个,将,（数码）,排成一个,n级排列,级排列，,级排列，,共有,个,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,逆序及其,对于n个不同的元素，,逆序数,可规定各元素之间有一,个标准次序,（例如，n个不同的自然数，规定从,小到大为标准次序）,于是，在这n个元素的任意,排列中,当某两个元素的前后次序与标准次序,不同,时,逆序，,一个排列中所有逆序,的和,叫做这个排列的,逆序数是奇数的叫,奇排列，,是偶
8、数的叫,就说产生了一个,逆序数，,偶排列,如,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,逆序数的计算方法,即,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,如,的逆序数是4+1+0+1+0=6，,是偶排列,的逆序数是5+2+1+1+0+0=9,将,中的和,其余不动，,称为一个对换，,此时,的逆序数是,排列,说明了一个排列经过一个对换，,的奇偶性,偶,奇,奇,偶,是奇排列,两个数码对调，,得到,是偶,记为,改变排列,(定理.，P5),称为相邻对换,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,练习：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,定理1.2,(
9、二),定义1.2,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,、,、,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,定义1.2,定义1.2,（定理1.3.P9）,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,例,解,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,例,若 是五阶行 列式 的一项，,则 为何值，,项符号是什么？,此时该,解,此时,或,(1),若,则,取负号,(2),若,则,取正号,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,例,计算n阶行列式,其中,解,记行列式的一般项为,且,依次下去
10、，可得,称上面形式的行列式为,下三角形行列式,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,注：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,例,用行列式的定义来计算行列式,解,设,练习：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,例,用行列式定义计算,解：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,练习：,解：,计算n阶行列式,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,注：,20
11、18/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院, 1.3 行列式的性质,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,注：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院
12、数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与
13、计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,即,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计
14、算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,1.4 行列式按行(列)展开,引例：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,例如,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,20
15、18/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,注：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,例,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,注：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,解：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计
16、算科学学院,称为n阶的范德蒙(Vandermonde)行列式。,行列式,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,用数学归纳法证明：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,结论成立.,设对n-1阶的范德蒙行列式结论成立.,结论成立.,证,当 时,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,(根据归纳假设),2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,=12,=120,练习,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10
17、/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,作业：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,1.5 克莱姆法则,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,当系数行列式D0时，,线性方程组,称为方程组的系数行列式。,方程组有唯一解：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,当系数行列式D0时，,线性方程组,同理，用加减消元法，可得:,其系数行列式为,方程组有唯一解：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,一般地，,(),称为线性方程组(3)的系数行列式.,含有n个未知量n个方程的线性方程组:,它的系数 构成的行列式：,2018/10/16,阜阳
18、师范学院数学与计算科学学院,其中Dj(j=1,2,n)是,定理2.1 (克莱姆法则) 线性方程组,(3),当其系数行列式D0时,对应地换为方程组的常数项,得到的行列式.,方程组(3)有且仅有唯一解,后,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,当D0时,有且仅有唯一解,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,(解唯一),另一方面，可以验证,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,确实是方程组(3)的解.,(解存在),故当D0时,方程组(3)有且仅有唯一解.,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算
19、科学学院,例,=21000,=1680,方程组有唯一解.,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,=120,=420,=720,D=21000,D1=1680,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,D=2100 D1=1680 D2=420 D3=720 D4=120,方程组的唯一解为：,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,常数项均为零的线性方程组,方程(3)所对应的齐次线,(4),当然是方程（3）的解,称为齐次线性方程组(4)的零解.,齐次线性方程组除零解外,称为齐次线性方程组.,(3),是否还有其它解?,性方程组为:,2018/10/16,阜
20、阳师范学院数学与计算科学学院,例 齐次线性方程组,是其零解.,除零解外,x1=5 x2=4 x3=3,也是其解,例 齐次线性方程组,其解必满足,故此方程组只有零解.,x1=0 x2=0 x3=0,称为非零解,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,定理1.7 如果齐次线性方程组,(4),的系数行列式D0,则它仅有零解.,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,证:,D0时,=0,=0,=0,=0,即方程组只有零解,由克莱姆法则,方程组有唯一解:,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,由定理1.7,(4),D0,方程组(4)只有零解,方程组(4)有非零
21、解,D=0,D0,方程组(4)只有零解,方程组(4)有非零解,D=0,今后将证明:,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,例 k取何值时,解 方程组的系数行列式,=5k+63,D0,方程组仅有零解.,方程组,仅有零解?,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,有非零解,例 若齐次线性方程组,方程组有非零解,D=0,则 a、b应满足什么条件?,解,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,有非零解，,练习 如果齐次线性方程组,解,方程组有非零解,D=0,k =0或k =2,求k的值.,方程组的系数行列式,2018/10/16,阜阳师范学院数学与计算科学学院,
