1、线性规划,Chapter Two：LP,第一节 线性规划的数学模型及相关概念,现实中的线性规划问题及数学模型 线性规划的标准形式 线性规划的几何解释 线性规划的基及基本可行解,一 现实中的线性规划问题及模型,例2-1 生产计划问题 某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙、丙、丁四种产品。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如表2-1所示，试用线性规划制订使总利润最大的生产计划。,一 现实中的线性规划问题及模型,一 现实中的线性规划问题及模型,5,求解这个线性规划，可以得到最优解为：x1=294.12（件） x2=1500 （件） x3=0
2、 （件） x4=58.82 （件） 最大利润为z=12737.06（元）请注意最优解中利润率最高的产品丙在最优生产计划中不安排生产。说明按产品利润率大小为优先次序来安排生产计划的方法有很大局限性。尤其当产品品种很多，设备类型很多的情况下，用手工方法安排生产计划很难获得满意的结果。,一 现实中的线性规划问题及模型,6,例2-2 配料问题 某工厂要用四种合金T1，T2，T3和T4为原料，经熔炼成为一种新的不锈钢G。这四种原料含元素铬（Cr），锰（Mn）和镍（Ni）的含量（%），这四种原料的单价以及新的不锈钢材料G所要求的Cr，Mn和Ni的最低含量（%）如下表所示：设熔炼时重量没有损耗，要熔炼成10
3、0公斤不锈钢G，应选用原料T1，T2，T3和T4各多少公斤，使成本最小。,一 现实中的线性规划问题及模型,一 现实中的线性规划问题及模型,8,例2-3 背包问题 一只背包最大装载重量为50公斤。现有三种物品，每种物品数量无限。每种物品每件的重量、价值如下表所示：要在背包中装入这三种物品各多少件，使背包中的物品价值最高。,一 现实中的线性规划问题及模型,9,一 现实中的线性规划问题及模型,10,例2-4 最小费用流问题某公司下设两个分工厂，两个仓库及一个配送中心。其中F1和F2是两个工厂，W1和W2是两个仓库。D是一个分销中心。由工厂生产的产品经由图所示的运输网络运往仓库。每一条路线运输的单位成
4、本在线段上给出，其中，F1F2与DW2路线由于受到路线中的桥梁承重上限的要求，因此有最大运输量限制。其他路线有足够的运输能力来运输两个工厂生产的货物。需要制订的决策是关于每一条路线应该运输多少，目标是总体的运输成本最小化。,一 现实中的线性规划问题及模型,11,一 现实中的线性规划问题及模型,12,一 现实中的线性规划问题及模型,可用一些变量表示这类问题的待定方案，这些变量的一组定值就代表一个具体方案 这些变量称为决策变量，并往往要求它们非负 有一个期望达到的目标，这个目标能以某种确定的数量指标刻画出来，而这种指标可表示为关于决策变量的线性函数，按所考虑的问题不同，要求该函数值最大化或最小化
5、存在一定的约束条件，这些约束条件都能用关于决策变量的线性不等式或等式来表示,一 现实中的线性规划问题及模型,线性规划模型的三要素： 决策变量：指模型中要求解的未知量，简称变量。 目标函数：指模型中要达到的目标的数学表达式。 约束条件：指模型中的变量取值所需要满足的一切限制条件。,一 现实中的线性规划问题及模型,一 现实中的线性规划问题及模型,16,二、线性规划的标准形式,二、线性规划的标准形式,二、线性规划的标准形式,非标准形LP问题的标准化一、极小化目标函数的问题min z = CX 令 z= zmax z= CX例：min z = 3x1 2x2max z= 3x1 2x2二、约束条件不是
6、等式的问题 bi0 两边同时乘以 -1 约束为形式 加上松弛变量 约束为形式 减去剩余变量三、变量符号无限制或小于等于零的问题若xk为自由变量, 令 xk = xk xk且 xk,xk 0 若xk 0, 令 xk = xk,则 xk 0,x,z,z,zmin,z = - z,z max,x*,二、线性规划的标准形式,二、线性规划的标准形式,21,解:,max z= x1 2x2 3x3,s.t.,x1 2x2 x3 + x4 = 5 2x1 3x2 x3 - x5 = 6x1 x2 x3 +x6 = 2 x1 , x4 , x5 , x6 0 , x3 0,练习：将下述LP问题化成标准形,二、
7、线性规划的标准形式,22,令,x2 = x2 x2 ，且 x2，x2 0,x3 = -x3,代入上式中，得,三、线性规划的几何解释,23,只有两个变量的线性规划问题,X*= (4, 6)T,z* = 42,1画出可行域图形2画出目标函数的等值线及其法线3确定最优点,x1= 8,A(8,0),2x2= 12,D(0,6),3x1 + 4x2 = 36,z = 15,z = 30,z 法向,z* = 42,边界方程,三、线性规划的几何解释,几点说明 实际运用时还须注意以下几点: (1)若函数约束原型就是等式,则其代表的区域仅为一直线,而且问 题的整个可行域R(若存在的话)也必然在此直线上。 (2)
8、在画目标函数等值线时只须画两条就能确定其法线方向,为此,只须赋给z 两个适当的值。 (3)在找出最优点后,关于其坐标值有两种确定方法: 在图上观测最优点坐标值 通过解方程组得出最优点坐标值,24,三、线性规划的几何解释,几种可能结果 一、唯一解如例1、例2都只有一个 最优点，属于唯一解的情形。,25,二、多重解,z = 12,z* = 36,线段BC上无穷多个 点均为最优解。,三、线性规划的几何解释,26,x1,x2,z*,三、无界解,R2,R1R2 = ,四、无可行解,+,R1,三、线性规划的几何解释,相关定义 定义2-1 可行域 在n维空间中，满足条件 ai1x1+ai2x2+ain xn
9、 (= ) bi 且xj 0 的点集。,27,三、线性规划的几何解释,28,定义2-2 凸集,设S是n维空间中的一个点集。若对任意n维向量X1S，X2S，且X1X2，以及任意实数（01），有X=X1+(1-)X2S 则称S为n维空间中的一个凸集（Convex Set）。点X称为点X1和X2的凸组合。,凸集：,非凸集：,三、线性规划的几何解释,29,定义2-3 凸集的极点,设S为一凸集，且XS，若X不能用不同的两点X1S，X2S的线性组合表示为X=X1+(1-)X2 （01） 则称X为S的一个极点。,运用以上的定义，线性规划的可行域以及最优解有以下性质：（1）若线性规划的可行域非空，则可行域必定
10、为一凸集。 （2）若线性规划有最优解，则最优解一定可以在凸集的极点中找到。这样，求线性规划最优解的问题，从在可行域内无限个可行解中搜索的问题转化为在其可行域的有限个极点上搜索的问题。,四、线性规划的基、基本可行解,可行解 满足线性规划问题所有约束条件的一组变量的取值，称为线性规划问题的可行解。可行解的集合称为可行域。 最优解 使线性规划问题的目标函数达到最优的可行解称为最优解。,四、线性规划的基、基本可行解,定义2-4 线性规划的基 设A为约束方程组的mn阶系数矩阵（nm），其秩为m，B是A矩阵中的一个非奇异的mm 阶（满秩）子矩阵，则称B为线性规划的一个基。 与其中的列向量所对应的变量叫做基
11、变量，除基变量之外的变量称为非基变量。,四、线性规划的基、基本可行解,定义2-5 基本解 令所有的非基变量等于零，根据Cramer Rule，将得到唯一解，称为线性规划的基本解。基本可行解 满足非负约束条件（XB=B-1b0）的基本解称为基本可行解。相应地，基本可行解对应的基称为可行基。,-33-,Max z=2x1+3x2st. x1+x2 3 x1+2x2 4 x1,x2 0,Max z=2x1+3x2 +0x3 +0x4st. x1+x2+x3=3 x1+2x2+x4=4 x1, x2, x3 , x4 0,A=,x1 x2 x3 x4,1 1 1 0 1 2 0 1,可行解：X=(0，
12、0)T，X=(0，1)T，X=(1/2，1/3)T 等。,设,B=,1 00 1,，令,，则,| B |=10,令 x1=x2 =0，则 x3 =3, x4=4，X=(0,0,3,4)T,例：,x3 x4,基变量,令,B=,1 1 1 0,x1 x3,，则,令 x2=x4 =0，则 x3 =-1, x1=4，X=(4,0,-1,0)T,| B |=-10,非基本可行解,基本可行解,标准化,四、线性规划的基、基本可行解,四、线性规划的基、基本可行解,定理2-1 线性规划的基本可行解就是可行域的极点。,34,Max z=2x1+3x2s.t. x1+x2 3 x1+2x2 4 x1,x2 0,Ma
13、x z=2x1+3x2 +0x3 +0x4s.t. x1+x2 +x3 = 3 x1+2x2 +x4=4 x1, x2, x3 , x4 0,例：,标准化,A矩阵包含以下六个22的子矩阵：B1=p1，p2 B2=p1，p3 B3=p1，p4B4=p2，p3 B5=p2，p4 B6=p3，p4其中所有的子矩阵行列式值均不等于0，均为非奇异方阵，因此该问题共有6个基。,四、线性规划的基、基本可行解,35,B6=,1 00 1,，则,| B6 |=10,x3 x4,基变量,基本可行解 对应O点,令 x1=x2 =0，则 x3 =3, x4=4，X6=(0,0,3,4)T,同理可以求得B1、B2、B3
14、、B4、B5对应的基本解： X1=(x1，x2，x3，x4)T=(2，1，0，0)T 对应B点 X2=(x1，x2，x3，x4)T=(4，0，-1，0)T对应E点 X3=(x1，x2，x3，x4)T=(3，0，0，1)T对应C点 X4=(x1，x2，x3，x4)T=(0，2，1，0)T对应A点 X5=(x1，x2，x3，x4)T=(0，3，0，-2)T对应D点其中X1， X3 ， X4 是基本可行解。,B(2,1),E(4,0),C(3,0),A(0,2),D(0,3),习题一,习题二,习题三,习题四,Cramer Rule,如果线性方程组的系数行列式不等于零，那么，方程组有唯一解,一组概念,可逆矩阵 A可逆，则|A|0 非奇异矩阵 非奇异矩阵的|A|0 满秩矩阵 满秩矩阵的|A|0,
