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类型线性规划问题及其数学模型.ppt

  • 上传人:saw518
  • 文档编号:4875748
  • 上传时间:2019-01-18
  • 格式:PPT
  • 页数:80
  • 大小:1.52MB
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    线性规划问题及其数学模型.ppt
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    1、1,第1节 线性规划问题及其数学模型,线性规划问题的提出:资源有限和目标明确在生产管理和经营活动中,经常会遇到两类问题:一类是(资源有限)如何合理的使用现有的劳动力、设备、资金等资源,以得到最大的效益;另一类是(目标一定)为了达到一定的目标,应如何组织生产,或合理安排工艺流程,或调整产品的成分等,以使所消耗的资源(人力、设备台时、资金、原材料等)为最少。,2,例 1 生产计划安排问题,某工厂在计划期内要安排生产、两种产品,已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗,如表1-1所示。,问应如何安排计划使该工厂获利最多?,3,如何用数学关系式描述这问题,4,数学模型,5,例2、运输问题

    2、,求:运输费用最小的运输方案。,6,解:设xij为i 仓库运到j工厂的货物数量其中:i 1,2,3j 1,2,3,Min Z= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33,x11 + x12+ x13 50 x21 + x22+ x23 30 x31 + x32+ x33 10 x11 + x21+ x31 = 40 x12 + x22+ x32 = 15 x13 + x23+ x33 = 35xij 0,s.t,7,线性规划问题的特点,决策变量: (x1 xn)T 代表某一解决方案, 决策者要考虑和控制的因素; 目标函数:Z=(x1

    3、xn) 为线性函数,待优化指标的函数表达式,求Z极大或极小; 约束条件:可用线性等式或不等式表示.一般是根据一系列主观或客观条件下建立具备以上三个要素的问题就称为 线性规划问题。,8,目标函数,约束条件,线性规划的数学模型的一般形式,决策变量,右端常数,9,线性规划的标准型,由于目标函数和约束条件内容和形式上的差别,线性规划问题有多种表达式,为了便于讨论和制定统一的算法,规定标准形式如下:(1)目标函数极大化; (2)约束条件为等式且右端项0; (3)决策变量0。,10,(2) 线性规划模型标准形式,目标函数 极大化,决策变量0,右端常数0,约束条件为等式,11,简记形式,(3) 线性规划模型

    4、其它形式,12,矩阵形式,价值向量,决策向量,系数矩阵,右端向量,13,价值向量,决策向量,右端向量,向量形式,列向量,14,如何变换为标准型,(1)目标函数为求极小值minZ=CX, 则作Z=-CX, 即maxZ=-CX (2)右端项小于0 : 只需将两端同乘(-1) (3)约束条件为不等式当约束条件为“”时,则在左边加上一个新变量称为松弛变量,将不等式改为等式。当约束条件为“”时,则在不等式左边减去一个新变量称为松弛变量,将不等式改为等式。 (4)存在无约束的变量,就是自由变量,即可正可负引入两个新变量,x,x”,令x=x-x”,其中x0,x”0,将其代入线性规划模型 (5)X0的情况:

    5、令xx,显然x0。,15,例3 将例1的数学模型化为标准型,16,例4 将下述线性规划问题化为标准型,17,例4 的标准型,18,图解法,图解法简单直观,对于两个变量的线性规划问题,可以通过在平面上作图的方法求解。而且可以从中得到有关线性规划问题的许多重要结论,有助于我们理解线性规划问题求解方法的基本原理。1. 图解法的基本步骤 (1)建立坐标系 (2)图示约束条件,找出可行域 (3)图示目标函数,寻找最优解,19,图解法求解例1,x1,x2,20,图解法求解例1,x1,x2,21,无穷多最优解(多重最优解),目标函数 max z=2x1+4x2,22,无界解,23,不存在可行域,增加的约束条

    6、件,24,线性规划问题解的几种情况唯一最优解(如例1) 无穷多最优解 (多重最优解) 无界解 无可行解 当求解结果出现后两种情况时,一般说明线性规划问题的数学模型错误。,25,直观结论,若线性规划问题有解,则可行域是一个凸多边形(或凸多面体); 若线性规划问题有最优解,则 唯一最优解对应于可行域的一个顶点; 无穷多个最优解对应于可行域的一条边; 若线性规划问题有可行解,但无最优解,则可行域必然是无界的; 若线性规划问题无可行解,则可行域必为空集。,26,线性规划问题的解的概念,(1)可行解与可行域:满足约束条件的解,称为线性规划问题的可行解,所有可行解的集合称为可行域。 (2)最优解:使目标函

    7、数值达到最优的可行解称为最优解。 (3)基阵:设约束方程组中的系数矩阵Amn的秩为m(mn),若B是A中的一个m阶的满秩子方阵,则B称为线性规划问题的一个基矩阵(基)。B中与之对应的m个变量称为基变量。 (4)基解(基本解):对于一个选定的基阵B,令所有的非基变量为零得到的解,称为相应于基阵B的基本解。 (5)基可行解(基本可行解):满足非负约束的基本解,称为基本可行解。 (6)可行基:与基本可行解对应的基称为可行基。,27,基 向 量,非 基 向 量,基变量,非基变量,28,例5 求下面问题的基阵,基变量,基本解,基本可行解,系数矩阵,基矩阵:,基变量:,x1=( x3 x4 x5 )T,x

    8、2=( x1 x4 x5 )T,基本解:,29,凸集,所谓凸集是指:集合中任两点的连线仍属此集,30,几个基本定理,定理1:若线性规划问题存在可行域,则问题的可行域是凸集。 引理:线性规划的可行解X(x1,xn)为可行解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量(基向量)是线性独立的。 定理2:线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域(凸集)的顶点。 引理2:若K是有界凸集,则任何一点XK可表示为K的顶点的凸组合。 定理3:若可行域有界,线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优。,31,单纯形法求解线性规划的思路,一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数,这时有不定

    9、的解。但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形,每一个单纯形可以求得一组解,然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小,决定下一步选择的单纯形。这种思想就是迭代,直到目标函数实现最大值或最小值为止。这样 就可以得到问题的最优解。,32,单纯形法例1的标准型,33,由约束方程可得,将其代入目标函数,得到,34,将x2定为换入变量后,需满足,由于x1仍为非基变量(取值为0),故只有选择,因为当x2=3时, x5第一个减少到0,故用 x2替换x5 此时非基变量为x1, x5,用非基变量表示基变量,用高斯消去法,得,35,从目标函数的表达式(1-18)中可以看到,非基变量x1的系数是正的,说明目标函数值还

    10、可以增大,X(1)还不是最优解。于是再用上述方法,确定换入、换出变量,继续迭代,36,37,找出一个初始基可行解 对于(max,),松弛变量对应的列构成一个单位阵 检验当前基可行解是否为最优解 所有检验数 cj0,则为最优解(终止迭代计算) 否则 确定改善方向 从 cj 0 中找出最大者,作为入基变量 确定出基变量(最快减为0) 利用新的基可行解重复上述步骤,单纯型法求解的基本步骤,38,初始基可行解的确定先用下述方法得到一个初始可行基: 直接观察法如果可能,从线性规划问题的标准型中直接观察到一个初始可行基(单位矩阵) 松弛变量法若所有约束条件都是“”形式的不等式,可用化标准型的方法得到由松弛

    11、变量的系数所构成的单位矩阵作为初始可行基 人工变量法若上述两种方法不能奏效,则对于“”形式的不等式约束,左端减去一个非负的剩余变量后,再加上一个非负的人工变量;对于等式约束,左端加上一个非负的人工变量,这样总能得到一个单位矩阵,作为初始可行基。由初始可行基可得到相应的初始可行解。,39,最优性检验与解的判别,40,最优性检验与解的判别,41,基变换,42,43,迭代(旋转运算)(以矩阵的形式给出变换方法),44,45,如何进行基的变换(旋转运算)? 以主元素为支点,进行旋转运算(初等行变换),令非基变量为零,得到新的基可行解,46,举例说明 例的标准型为,47,48,单纯形法的计算步骤单纯形表

    12、 例的约束方程,49,50,51,初始单纯形表,52,单纯形法计算步骤最大化,53,举例说明例1的标准型,54,初始单纯形表,55,经过一次迭代得到的单纯形表:,56,经过两次迭代得到的单纯形表:,57,经过三次迭代得到的单纯形表:,58,单纯形表-例题,解 答,59,求初始基的人工变量法,求解线性规划问题的单纯形法第一步就是要找到一个初始可行基并求出初始基可行解,以它作为迭代的起点。 获得初始可行基及初始基可行解的途径主要有: (1) 试算法; (2) 人工变量法。 在约束方程组中的每一个没有单位向量的约束方程中人为加入一个变量,使系数矩阵中凑成一个单位方阵,以形成一个初始可行基阵。,60,

    13、人工变量法得到人工初始可行基后,为求得原问题的解,需要经过基的变换,将人工变量从基变量中逐个替换出来。经单纯形法的迭代运算后,在最终表中:若基变量中不再含有非零的人工变量,表明原问题可行解;否则,原问题一定无可行解。,61,人工变量法之大M法为使加入的人工变量对目标函数取值不产生影响,因此假定人工变量在(最大化)目标函数中的系数为(-M) (M为任意大的正数),这样在最大化目标函数时,必需把人工变量从基变量中换出。,62,举例说明:用大M法求解线性规划(P32,例8),63,64,得到最优解,目标函数的最优值为z =-2,65,人工变量法之两阶段法,66,举例说明:用两阶段法求解前面的例子(P

    14、34,例9),67,68,69,大M法与二阶段法的一些说明 人工变量在原问题的解中是不能存在的,应尽快被迭代出去。 大M法实质上与原单纯形法一样,M可看成一个很大的常数 人工变量被迭代出去后就不会再成为基变量 当检验数都满足最优条件,但基变量中仍有人工变量,说明原线性规划问题无可行解 在计算上,大M法不如二阶段法方便 计算机中常用大M法 二阶段法手算可能容易,70,二阶段法的求解过程,第一阶段的任务是将人工变量尽快迭代出去,从而找到一个没有人工变量的基本可行解 第二阶段以第一阶段得到的基本可行解为初始解,采用原单纯形法求解 若第一阶段结束时,人工变量仍在基变量中,则原问题无(可行)解,71,退化单纯形法的计算中,当用规则确定换出变量时,有时会出现两个或两个以上的最小比值。这样,在下一次迭代中,就会有一个或几个基变量等于零,这就出现退化解。,72,检验数的几种表示形式,标准型,检验数,73,单纯形法小结(1、列出初始单纯形表),变量,约束条件,目标函数,74,否,否,否,否,是,是,是,是,75,第6节 应用举例,几种套裁方案,方案,下料根数,长度(m),76,77,78,79,80,

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