1、1,理论力学,空间力系,2,第四章 空间力系,实际工程中，绝大多数结构所受力系的作用线往往是不在同一平面内的，即空间力系，空间力系是最一般的力系。本章将研究空间力系的简化和平衡问题。与平面力系一样，先研究空间力系的特殊情况 即空间汇交力系和空间力偶系，然后研究空间力系的一般情况 空间任意力系。,3,4-1 空间汇交力系,1.力在直角坐标轴上的投影,直接投影法,4,若已知力与正交坐标系Oxyz三轴正向间的夹角q、b、g 。则由空间力在轴上的投影定义，可直接将力F投影在正交坐标系Oxyz三轴上,5,间接投影法,6,当力与轴Ox，Oy正向夹角不易确定时，可先将 F 投影到坐标平面xy上，然后再投影到
2、x、y轴上，即,这里要强调指出，空间力在轴上的投影是代数量，而在平面上的投影则是矢量。,7,与平面力类似，空间力的解析表达式为,如果已知力F在x、 y、z轴上的投影，则可求得力F的大小和方向余弦为,8,例题 4-1,解：力F 的大小,力F 的方向余弦及与坐标轴的夹角为,已知车床在车削一圆棒时，由测力计测得刀具承受的力F 的三个正交分量 Fx，Fy，Fz的大小各为4.5 kN，6.3 kN，18 kN，试求力F 的大小和方向。,9,力 F 的方向余弦以及与坐标轴的夹角为,已知力沿直角坐标轴的解析式为,试求这个力的大小和方向，并作图表示。,解：,由已知条件得,所以力 F 的大小为,例题 4-2,1
3、0,三棱柱底面为直角等腰三角形，在其侧平面ABED上作用有一力F，力F与OAB平面夹角为30，求力F在三个坐标轴上的投影。,例题 4-3,利用二次投影法，先将力F投影到Oxy平面上，然后再分别向x，y，z轴投影。,解：,11,如图所示圆柱斜齿轮，其上受啮合力Fn的作用。已知斜齿轮的啮合角(螺旋角) 和压力角 q ，试求力 Fn 沿 x，y 和 z 轴的分力。,例题 4-4,12,将力Fn向 z 轴和Oxy 平面投影,解：,例题 4-4,将力Fxy向x，y 轴投影,13,沿各轴的分力为,例题 4-4,14,合力在x、y、z轴的投影为,2. 空间汇交力系的合力,与平面汇交力系类似，空间汇交力系的合
4、力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即,15,方向余弦,合力矢FR的大小和方向余弦为,大小,16,在刚体上作用着四个汇交力，它们在坐标轴上的投影如下表所示，试求这四个力的合力的大小和方向。,由上表得,解：,例题 4-2,17,所以合力的大小为,合力的方向余弦为,合力FR 与x，y，z 轴间夹角,例题 4-2,18,3. 空间汇交力系的平衡条件和平衡方程,由于一般空间汇交力系 的最终简化结果为一合力，因此，空间汇交力系平衡的必要与充分条件为：该合力等于零，即,由FR的大小,可得平衡方程,19,例题 4-5,空间铰接结构形如正角锥，各棱边与底面都成倾角。B，C处是活动球铰链支座，D处是固
5、定球铰链支座。顶点A的球铰链承受载荷F，不计各杆自重，试求各支座的约束力和各杆的内力。,20,解：,例题 4-5,为求各力在轴x，y上的投影，可先向坐标面Oxy上投影，然后再向轴上投影。,1.取球铰链A为研究对象,受力分析如图。,力F 在坐标面Oxy上投影为零,建立如图坐标系Bxyz，其中y轴平分CBD。由于ABCD是正交锥，所以AB与y 轴 的夹角为。,21,力FAC 和 FAD 在轴 x，y上的投影：,例题 4-5,俯视图,立体图,22,2.列平衡方程。,3.联立求解。,负号表示三杆都受压力。,例题 4-5,23,4.取球铰链B为研究对象,列平衡方程。,联立求解得,例题 4-5,因,由结构
6、和荷载的对称性可得,24,桅杆式起重机可简化为如图所示结构。AC为立柱，BC，CD和CE均为钢索，AB为起重杆。A端可简化为球铰链约束。设B点滑轮上起吊重物的重量P=20 kN，AD=AE=6 m，其余尺寸如图。起重杆所在平面ABC与对称面ACG重合。不计立柱和起重杆的自重，求起重杆AB、立柱AC和钢索CD，CE所受的力。,例题 4-6,25,1. 先取滑轮B为研究对象。注意，起重杆AB为桁架构件，两端铰接，不计自重，它是一个二力构件，把滑轮B简化为一点，它的受力图如图所示。,解：,这是一平面汇交力系，列平衡方程,解得,例题 4-6,26,2. 再选取C点为研究对象，它的受力图如图所示。,此力
7、系在Axy平面上投影为一平面汇交力系，其中：,先列出对Az轴的投影方程,这是一空间汇交力系，作直角坐标系Axy，把力系中各力投影到Axy平面和Az轴上。,例题 4-6,27,列平衡方程,由此解得,所求结果如下：,例题 4-6,28,例题 4-7,如图所示为空气动力天平上测定模型所受阻力用的一个悬挂节点O，其上作用有铅直载荷 F。钢丝 OA和 OB 所构成的平面垂直于铅直平面 Oyz,并与该平面相交于OD，而钢丝OC则沿水平轴y。已知OD与轴z间的夹角为，又AOD =BOD =q，试求各钢丝中的拉力。,29,取O点为研究对象，受力分析如图所示，这些力构成了空间共点力系。,解：,例题 4-7,力F
8、2 ，F3的方向通过q 角和角来表示，q 是这两力各自对坐标平面 Oyz 的倾角，是这两力在坐标平面Oyz上的投影对 z 轴的偏角。,故求这两力在 y 轴和 z 轴上的投影时，须先将它们投影到Oyz 平面上。,30,例题 4-7,力F2 在平面Oyz上的投影为：,并与 z 轴成角。,故力F2在y，z轴上的投影分别为:,力F3的投影可用同样方法求出。,力F2与x轴之间的夹角为90oq，故它在该轴上的投影为：,31,联立求解可得,列平衡方程,例题 4-7,32,4-2 力对点的矩与力对轴的矩,1. 力对点的矩以矢量表示力矩矢,对平面力系，由于各力与矩心均位于同一平面内，因此用代数量表示力对点的矩就
9、可以包含它的全部要素。但对于空间力系而言，由于各力与矩心所构成的平面（力矩作用面）的方位不同，用代数量就不足以概括其全部要素。为此引入力矩矢MO(F)来描述空间力对点的矩。,33,如图所示,以 r 表示力作用点的矢径，则力F对点O的矩可以定义为,即：力对点的矩等于矩心到该力 作用点的矢径与该力的矢量积。,显然，上式的模等于三角形OAB面积的两倍，正好是力对点矩的大小，方位垂直于力矩作用面，指向按右手螺旋法则来确定。这样空间力对点的矩的作用效果完全可以用上面定义的力矩矢MO（F）来表示。力矩矢MO（F）是定位矢，矢端必须位于矩心O。不可随意挪动。,34,由矢径和力的解析表达式,可得力矩矢的解析形
10、式,上式在x、y、z轴上的投影分别为,35,2. 力对轴的矩,工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为了度量力使刚体绕定轴转动的效果，有必要了解力对轴的矩的概念。,36,现有一力 F 作用在可以绕 z 轴转动的圆盘上，如下图所示。将力 F 分解为 Fxy 和 Fz ，由于Fz与转轴 z 平行，,不能使圆盘绕 z 轴转动,故它对 z 轴的矩为零；只有垂直 z 轴的分力 Fxy 对 z 轴有矩，且等于分力 Fxy 对z 轴与 xy 平面的交点O的矩。这样，空间力F 对 z 轴的矩为,37,力对轴的矩等于力在垂直于该轴平面上的投影对于这个平面与该轴的交点的矩。这样，空间力对轴的矩就转化成了平面问题中
11、力对点的矩。因而它是一个代数量，其正负号可按右手螺旋法则确定，如图所示。,空间力对轴的矩与平面力对点的矩类似，也可以用解析式表示如下,z,38,上式正是平面问题中力对点的矩的解析表达式。于是，平面问题中力对点的矩即是力对垂直于力与矩心所构成的平面且通过矩心的轴的矩。同理可得其余二式。合在一起有,以上即是计算力对轴之矩的解析表达式。,39,3. 力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系,比较力对点的矩的解析表达式和力对通过该点的轴的矩的解析表达式,可得,40,即力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。,利用这个关系来计算力对点的矩和力对
12、轴的矩往往较为方便。,41,例题 4-8,手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为q。如果CD=b，杆BC平行于x轴,杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。,42,解: 应用合力矩定理求解。力F 沿坐标轴的投影分别为：,由于力与轴平行或相交时力对该轴的矩为零，则有,解：,例题 4-8,43,在直角弯杆的C端作用着力F，试求这力对坐标轴以及坐标原点O的矩。已知 OA =a = 6 m， AB=b=4 m，BC=c=3 m，q =30, =60。,例题 4-9,44,由图示可以求出力F 在各坐标轴上的
13、投影和力F 作用点C 的坐标分别为：,解：,x= a = 4 m y= b = 6 m z= c =3 m,例题 4-9,45,则可求得力F 对坐标轴之矩以及对原点O之矩的大小和方向。,力F 对坐标轴之矩为：,例题 4-9,46,力F 对原点O之矩方向余弦：,例题 4-9,力F 对原点O之矩大小：,47,4-3 空间力偶,由于,48,由上式可以得出，力偶对空间任意点的矩矢相同，与矩心无关。因此空间力偶是一个自由矢量，以M（F,F)或M表示。力偶的转向为右手螺旋法则。从力偶矢末端看去，逆时针转动为正。决定空间力偶对刚体的作用效果的三要素为力偶矩大小，作用面方位和转向。,49,2. 空间力偶的等效
14、定理作用在同一刚体两个力偶，若它们的力偶矩矢相等，则两个力偶等效。,证明：先证明空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上，然后再由平面力偶的等效性即可证得。,50,3. 空间力偶系的合成与平衡条件,任意个空间分布的力偶可以合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。,51,即,其合力偶矢的大小和方向的计算与空间汇交力系的合力的大小和方向的计算完全相同。,合力偶矢的大小,方向余弦为,52,平衡方程是,显然空间力偶系平衡的必要与充分条件是合力矩偶矢为零，即,53,工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为80 Nm。求工件所受合力偶的矩在x，y，z轴上的投影M
15、x，My，Mz，并求合力偶矩矢的大小和方向。,例题 4-10,54,将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。可得,所以合力偶矩矢的大小,合力偶矩矢的方向余弦,解：,A,例题 4-10,55,图示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F 1）的矩M1=20 Nm；力偶（F2， F 2 ）的矩M2=20 Nm；力偶（F3 ，F 3）的矩M3=20 Nm。试求合力偶矩矢M。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。,例题 4-11,56,1.画出各力偶矩矢。,2.合力偶矩矢M 的投影。,解：,例题 4-11,57,3.合力偶矩矢M 的大小和方向
16、。,4. 为使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为 M4= M 。,例题 4-11,58,4-4 空间任意力系向一点的简化主矢和主矩,1.空间任意力系向一点的简化,与平面任意力系向一点的简化相同，空间任意力系向一点的简化的理论根据也是力线平移定理。,59,刚体上作用空间任意力系F1，F2，Fn.。用力线平移定理，将所有力向任意选定的简化中心O平移，同时附加一个力偶 。这样，原空间任意力系就被空间汇交力系和空间力偶系等效代替。,60,并有关系,然后，再分别将汇交力系和力偶系合成，得到一力FR和一力偶MO 。该力的大小和方向称为原力系的主矢，作用线过简化中心O；该力偶称为原力系对简化中心O的主矩
17、。主矢和主矩的计算与空间汇交力系的合力和空间力偶系的合力偶相同。,61,从上可得主矢与简化中心O的选择无关，主矩与简化中心O的选择有关。关于主矢与主矩的大小和方向的计算同前的空间汇交力系和力偶系。,62,1. 空间任意力系的简化结果分析,力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO 。此时主矩与简化中心O的位置无关。,力系可合成为一个合力，合力的作用线过简化中心O，大小和方向与主矢相同。,此时分三种情况讨论。,可进一步简化成一合力,63,合力的大小和方向与主矢相等，,作用线距简化中心O的距离,64,原力系简化成力螺旋，即力与力偶作用面垂直。例如,力螺旋不能进一步的合成为一个力或力
18、偶。,65,这是最一般的情况，可进一步简化成力螺旋。因此，在一般的情况下空间任意力系可合成为力螺旋。,这就是下节要讨论的空间任意力系的平衡,66,45 空间任意力系的平衡方程,1 . 空间任意力系的平衡方程,空间任意力系平衡的必要与充分条件是：该力系的主矢和对任意点的主矩都为零。即,平衡方程是,与平面任意力系类似，空间任意力系的平衡方程除了上面的一般形式外，还有四矩式，五矩式和六矩式。,67,例如对空间平行力系，不失一般性，假定取z 轴与各力平行，如右图所示，则空间任意力系的6个平衡方程中有3个衡为零，即,因而空间平行力系的平衡方程只有下面的3个,由空间任意力系的平衡方程还可导出其它特殊类型的
19、力系的平衡方程。,68,2. 空间约束的类型举例,69,止推轴承,70,空间固定端约束,71,3. 空间力系平衡问题举例,例题 4-12,铅直桅杆AB受彼此互相垂直的两个水平力F1和F2的作用，并由张索CD维持平衡。已知尺寸l，力F1和F2，向D点简化的结果是力螺旋，试求D点的位置。,72,令BD=s,将力F1和F2向D点简化得主矢FR和主矩MD 在坐标轴x1，y1上的投影：,解：,例题 4-12,因为向D点简化是力螺旋，即有FR/MD ,故,从而解得所求距离,73,涡轮发动机的涡轮叶片上受到的燃气压力可简化成作用在涡轮盘上的一个轴向力和一个力偶。图示中FO ， MO , 斜齿轮的压力角为q，
20、螺旋角为，节圆半径r及l1 , l2尺寸均已知。发动机的自重不计，试求输出端斜齿轮上所受的反作用力F 以及径向推力轴承O1和径向轴承O2 处的约束力。,例题 4-13,74,取整个系统为研究对象，建立如图坐标系O1xyz，画出系统的受力图。,其中在径向推力轴承O1处的约束力有三个分量。在径向轴承O2处的约束力只有两个分量。,在斜齿轮上所受的压力F 可分解成三个分力。周向力Fy ，径向力Fx 和轴向力Fz 。其中：,解：,例题 4-13,75,由以上方程可以求出所有未知量。,系统受空间任意力系的作用，可写出六个平衡方程。,例题 4-13,76,水平传动轴上装有两个胶带轮C和D，半径分别是r1=0
21、.4 m ， r2=0.2 m . 套在C 轮上的胶带是铅垂的，两边的拉力F1=3 400 N，F2=2 000 N，套在D轮上的胶带与铅垂线成夹角q =30o，其拉力F3=2F4。求在传动轴匀速转动时，拉力F3和F4以及两个径向轴承处约束力的大小。,例题 4-14,77,以整个系统为研究对象，建立如图坐标系Oxyz，画出系统的受力图。,解：,为了看清胶带轮C和D的受力情况，作出右视图。,例题 4-14,下面以对 x 轴之矩分析为例说明力系中各力对轴之矩的求法。,力FAx和FBx平行于轴 x ，力F2和F1通过轴 x 。它们对轴 x 的矩均等于零。,78,力FAz和FBz对轴 x 的矩分别为0
22、.25 Faz和1.25 FBz 。,力F3和F4可分解为沿轴 x 和沿轴 z 的两个分量，其中沿轴 x 的分量对轴 x 的矩为零。所以力F3和F4对轴 x 的矩为,例题 4-14, 0.75（F3+F4）cos 30o,系统受空间力系的作用，可写出五个平衡方程。,79,又已知F3 =2F4，故利用以上方程可以解出所有未知量。,例题 4-14,80,如图所示三轮小车，自重 = 8 kN，作用于E点，载荷F1 = 10 kN，作用于C点。求小车静止时地面对车轮的约束力。,例题 4-15,81,以小车为研究对象，主动力和约束反力组成空间平行力系，受力分析 如图。,列平衡方程,解方程得,解：,例题
23、4-15,82,在图中胶带的拉力 F2 = 2F1，曲柄上作用有铅垂力F = 2 000 N。已知胶带轮的直径D=400 mm，曲柄长R=300 mm，胶带1和胶带2与铅垂线间夹角分别为q和, q=30o , =60o ，其它尺寸如图所示，求胶带拉力和轴承约束力。,例题 4-16,83,以整个轴为研究对象，主动力和约束力组成空间任意力系。,列平衡方程,解：,例题 4-16,84,解方程得,又有 F2=2F1,例题 4-16,85,如图所示空间平行力系，当它有合力FR时，合力的作用点C 就称为空间平行力系的中心。,4-6 重心,1. 平行力系中心,如果让各力绕其作用点转过同一角度时，并仍然保持平
24、行，那么合力FR也同样绕作用点C转过相同的角度且与各力仍然保持平行。即合力的作用点的位置只与各平行力的大小和作用点的位置有关，而与方向无关。,86,由合力矩定理：,如果令F0是力作用线方向的单位矢量，,则将上式代入（1）式得,（1）,87,如果把物体的重力看成为平行力系，物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。则求重心问题就是求平行力系的中心问题。物体的重心位置为,2. 重心,若物体是均质的，上式可改写成,这时重心与几何中心重合,88,3. 确定物体重心的方法,（1）积分法,适用于几何形状规则的均质物体,解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox轴，即yC=0。取微段,求半径为R，顶角为2j 的均质圆弧的重心。,例题 4-17,89,(2) 组合法,解：,求：该组合体的重心？,如图所示组合体由一半圆和一长方形所构成，已知,如果一个物体由几个重心位置是已知的物体组合而成，则可用组合法求该物体的重心。,例题 4-17,90,简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。,(3) 实验法：(a) 悬挂法,(b) 称重法,求得,91,第四章结束,
