1、第 四 章 目 标 规 划,教学时数：6学时 教学目的与要求：理解目标规划的概念与图解法,能建立目标规划模型 教学内容： 1.目标规划的概念与模型 2.目标规划的图解法与单纯形法 3.目标规划的灵敏度分析 教学重点：目标规划的建模与图解法 教学难点：目标规划的建模与图解法,第四章讲授内容与知识,第一节 目标规划问题及其数学模型 第二节 目标规划的图解法 第三节 解目标规划的单纯形法 第四节 灵敏度分析,第一年：100000=,x11,+x41,第二年：1.06 x41=,+x32,第三年：1.15x11+1.06 x41=,x13,+x23,+x43,第四年：1.15x12+1.06 x43=
2、,x14,+x44,第五年：1.15x13+1.06 x44=,x45,maxZ =1.15x14+1.40x23+1.25x32 +1.05x45,第 一 节 目标规划问题及其数学模型,1、线性规划的局限性 （ 1 ）线性规划只能处理一个目标，而现实问题往往要处理多种目标；（）线性规划立足于满足所有约束条件，而实际问题中可能存在相互矛盾的约束条件；（）线性规划的约束条件是不分主次地同等对待，而现实中可根据需要给予轻重缓急的考虑。,一、基本知识,第 一 节 目标规划问题及其数学模型,2、目标规划的定义 （1）目标规划是一种数学方法：用于解决目标数目在两个或两个以上的多目标决策问题。 （2）多目
3、标决策问题：多目标决策问题是由法国经济学家V.Pareto在1896年提出的。他从政治经济学角度，把很多本质上不可比的目标转化为单一的最优目标。经济学目前使用最多的是帕累托最优效率：没有人能在不使别人受损害的情况下，让自己过得更好（所谓最优，实质上是恰如其分的折中、妥协）。,第 一 节 目标规划问题及其数学模型,3、发展历程 （1）1961年，Charnes和Cooper在管理模型及线性规划的工业应用中，作为一个解没有可行解的线性规划的方法而提出目标规划的概念和数学模型。 （2）1965年，尤吉艾吉里引入了加权系数和优先因子的概念，进一步完善了目标规划的数学模型。（3）作为多目标决策（规划）的
4、一个分支，目标规划理论、方法已经基本完善。但开始于上世纪70年代的多目标决策研究，只取得了有限的成果和进展（复杂性所致）,第 一 节 目标规划问题及其数学模型,4、多目标决策（规划）研究的动力（ 1）自亚当斯密起，西方经济学的一个基本假设是：企业的决策者是“经济人”。他们的行为只受利润最大化准则的支配，没有其他的个人动机。由于他们掌握了获取最大利益的所有信息，在这种情况下，追求利润最大化就成为他们唯一的目标。单目标问题由此诞生。 （2）然而，经济人假设不能解释经济活动中各种各样的行为和现象，为此，H.A.西蒙提出了管理人和令人满意行为准则。可以说，多目标决策是对社会实践的响应。,第 一 节 目
5、标规划问题及其数学模型,5、建立目标体系的考虑 由于是多目标问题，所以必须考虑： （1）目标分类 一类是必须达到的目标，另一类是希望实现的目 标；（2）目标分层 希望实现的目标根据轻重缓急的要求来分出层次；同一层次的目标属性应是独立的。,第一节:目标规划问题及其数学模型,1、目标规划的基本概念 （1）绝对约束和目标约束我们把必须严格满足的条件、目标称为绝对约束，也称系统约束；而把希望达到的目标称为目标约束。（2）偏差变量对于希望达到的目标，决策值与满意范围的边界可能不相等，存在偏差。为建立数学模型，我们引入：正偏差d+决策值大于目标边界值部分负偏差d-决策值小于目标边界值部分,二、目标规划问题
6、数学模型,第 一 节 目标规划问题及其数学模型,（3）优先因子（PlPl-1P1）和权系数wk要寻求的方案希望满足的目标往往不唯一，因此根据主次轻重进行层次划分。首先需要满足的目标为第一层次，可用优先因子P1表示，只有在寻得上一层次对应的目标最优的条件下，才考虑较低层次的目标。其次需要满足的为第二层次，用P2表示，依次类推。对于在某一层次上需要综合一起考虑的几个目标，这些目标的重要程度可用权系数表示。（4）目标规划中的目标函数目标规划追求最满意解尽可能满足决策者的要求，也就是使未进入满意范围的偏差最小。（1）要求不低于目标值。min f (d-)（2）要求不超过目标值。 min f (d+)（
7、3）要求恰好达到目标值。 min f (d-+d+),第 一 节 目标规划问题及其数学模型,x1+2x2 + d1- - d1+ =10,2x2 = - x1 + 10 d1- + d1+,d1- =0; d1+ 0,d1+ =0; d1- 0,第 一 节 目标规划问题及其数学模型,例4-1 某车间计划生产A、B两种产品。决策者首先考虑要充分利用供电部门分配的电量限额指标62.5kW /日，然后考虑完成与超额完成利润指标10元/日。每日可给车间供应所需原材料8t。有关数据汇总于下表，应当如何安排产品A、B的产量。,解：设x1、 x2分别表示A、B两种产品的日产量。,第 一 节 目标规划问题及其
8、数学模型,第 一 节 目标规划问题及其数学模型,2、目标规划的一般模型,例42：有三个产地向四个销地供应物资。各产销地之间的单位物资运费cij 见下表。,P1：B4是重点保证单位，其需要量应尽可能全部满足； P2：A3向B1提供的物资不少于100 t； P3：每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%； P4：实际的总运费不超过当不考虑P1至P6各目标时的最小运费的10%； P5：因路况原因，尽量避免安排A2的物资运往B4； P6：对B1和B3的供应率要尽可能相同； P7：力求使总运费最省。 试求满意的调运方案。,第一节：目标规划问题及其数学模型,解：设xij为产地Ai配给销地Bj的数量。该
9、问题是销大于产的运输问题。用表上作业法可以求得不考虑P1至P6各目标时的最小运费调运方案，相应的最小运费为2950元。,第一节：目标规划问题及其数学模型,（1）供应量的约束,（2）需求量的约束 B4是重点保证单位，其需要量应尽可能全部满足；,第一节：目标规划问题及其数学模型,（3） A3向B1提供的物资不少于100 t。,（4）每个销地得到的物资数量不少于其需要量的80%。,第一节：目标规划问题及其数学模型,（5）P4中运费上的限制,（6）考虑路况的限制,（7）考虑B1和B3的供应率要尽可能相同,（8）力求使总运费最省,第一节：目标规划问题及其数学模型,目标函数为,第二节:图解法,求解目标规划
10、问题常用的有两种方法。图解法特点：形象直观，但只适用于只有两个决策变量。单纯形法目标规划的数学模型与线性规划的数学模型本质上是一致的，故可以利用单纯形方法求解目标规划问题,第二节:图解法,一、图解法步骤 1、画出平面直角坐标系。 2、如果有系统约束，运用线性规划图解法的步骤确定可行区域；如果没有系统约束，转下步。 3、从第一个目标（最重要目标）起，令偏差变量等于零，确定哪半个平面是超过目标的部分；哪半个平面是达不到目标的部分。 4、分析半个平面的取舍并结合系统约束，确定满足第一目标的可行区域并确定达成目标的函数 （1）要求不低于目标值：min f (d-)（2）要求不超过目标值： min f
11、(d+)（3）要求恰好达到目标值： min f (d-，d+)5 、第二目标在第一目标确定区域内选择,依此类推,第二节:图解法,A点坐标为（0，5.2）， C点坐标为（0.6，4.7) 故满意解集合为,解 ：（1）对于第一优先级，要求不足部分尽可能的小，所以，确定出AB线以上的半平面。 （2）对于第二优先级，存在两目标，且权重不一样。通常的做法是：先考虑权数大的目标。因此，在AB线的右上方部分，GE线及其以下为第三目标可取部分，即GEB。然后，考虑第二目标。它也要求正偏差尽可能的小，在GEB区域，只有E点满足此要求。 （3）第三优先级在E点自动满足。,第三节:解目标规划的单纯形法,利用单纯形法
12、求解目标规划时,需要注意以下几点： 1、偏差变量与决策变量、松弛变量一样看待。一般 可以利 用偏差变量、松弛变量作为初始基变量，常常不需（或需较少的）人工变量；,2、目标规划是求极小化的目标函数，满意判别准则是所有检验数cj-zj0 3、某一变量整体检验数正负取决于第一优先因子的系数,如果为正,则大于零,否则,小于零。只有当第一优先因子的检验数为零时，该变量的整体检验数的正负取决于第二优先因子的系数,依此类推。,第三节:解目标规划的单纯形法,4、在整体检验数小于零的变量中选择进基变量时，应按第一优先因子选择检验数mincj-zj/cj-zj0 对应的变量为进基变量；只有当第一优先因子的检验数均
13、为0时，按第二优先因子选择检验数mincj-zj0 对应的变量为进基变量，依此类推。 5、当有多重最满意解时，一般应将所有满意解都求出，以供决策者选择。,第三节:解目标规划的单纯形法,第三节:解目标规划的单纯形法,1 2 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 1 -1 0 0 0 0 1 -2 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 -1,1,第三节:解目标规划的单纯形法,第四节 灵敏度分析,1.目标规划灵敏度分析的方法与线性规划的灵敏度分析方法本质上相同。2.目标规划模型中，目标的优先级与权系数的确定往往带有一定的主观性，因此，对它们的灵敏度分析是目
14、标规划的主要内容。,第四节 ：灵敏度分析,在例45的目标规划问题中，决策者想知道各目标优先级和权系数对最终满意解的影响。,（1）将第三优先级的目标函数与第四优先级的目标函数互换，最优解的变化情况。,（2）P3的目标函数系数发生变化时，最优解的变化情况。,P3,5P4,3P4,P3,3P4,0 0 0 0 3/4 -3/4 17/4 3/4 0 3,0 0 1 0 -1 1 0 0 0 0,1,第四节 ：灵敏度分析,P1 P2 P3 P4,cj -zj,1 0 1/2 -1/2 0 0 1/2 -1/2 0 0 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 -1/4 1/4 0 0 1/4
15、 -1/4 1 -1 0 1 1/4 -1/4 0 0 -1/4 1/4 0 0,5 3 3/2 1/2,00 3P3 0,x1 x2,b,XB,CB,0 0 P1 P3 0 P2 5P4 0 3P4 0,cj,0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 1 0 0 0 0,0 0 3/4 -3/4 0 0 17/4 3/4 0 3,0 0 0 1 0 0 0 0 0 0,第四节 ：灵敏度分析,P1 P2 P3 P4,cj -zj,1 0 0 0 1/2 -1/2 1/2 -1/2 0 0 0 0 -1 1 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1/4 1/4 1/4 -
16、1/4 1 -1 0 1 0 0 1/4 -1/4 -1/4 1/4 0 0,13/2 3 3/4 5/4,0 P4 w2P3 0,x1 x2,b,XB,CB,0 0 P1 P4 0 P2 w1P3 0 w2P3 0,cj,0 0 1 0 0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 1 0 0 0 0,0 0 1 0 -1 1 0 0 0 0,第四节 ：灵敏度分析,从上表看出，原满意解是否改变取决于d3-的检验数1-2/4。当1- 2/4 0 ，即1 / 21/4 时，原满意解不变（此时d3- =0,d4- =3/4 ）。当1- 2/40 ，即1 / 21/4时，原满意解变化，可用单纯形法继续
17、求解,最终求得满意解（此时d3- =3, d4- =0 ）。,当1- 2/4=0，即1 / 2=1/4时（临界点），原来的满意解(x1,x2)T=(3/2,5/4) T与(x1 ,x2 ) T =(5,2)皆是满意解。因而所有的满意解可表示为:,第五节 ：应用案例,例1：某公司决定使用1000万元新产品开发基金开发A、B、C三种产品经预测估计，开发A、B、C三种新产品的投资利润率分别为5%、7%、10%。由于新产品开发有一定风险，因此，公司研究后确定了下列优先顺序目标： 第1：A产品至少投资300万元 第2：为分散投资风险，任何一种新产品的开发投资不超过开发基金总额的35% 第3：应至少留有1
18、0%的开发基金以备用 第4：使总的投资利润最大,解：令x1、x2、x3为投资A、B、C三种产品的金额,第五节 ：应用案例-例1,第1：A产品至少投资300万元,第2：为分散投资风险，任何一种新产品的开发投资不超过开发基金总额的35%,投资总额的限制,第五节 ：应用案例-例1,第3：应至少留有10%的开发基金以备用,第4：使总的投资利润最大,第五节 ：应用案例-例1,=,第五节 ：应用案例-例2,某地区新建两个火力发电站，发电量用来供应该地区3个城市的工业和生活用电，但由于发电量不能完全满足3个城市的用电需求，为此，经过讨论决定满足其中一个城市的全部用电需求，并力求其它两个城市需求量能均衡供应，
19、单位输电费用及供应和需求情况见下表：,第五节 ：应用案例-例2,目标1：考虑丙为工业城市、出口创汇，必须满足丙的全部用电需求； 目标2：因建发电站与甲签定协议，发电站B应向甲供应一定的电量，但最多不超过500单位；目标3：总输电费用最小； 目标4：满足城市甲和乙需求电量的百分比应力求平衡。,解:设为发电站i向城市j供应的电量,第五节 ：应用案例-例2,P1 ：必须满足丙的全部用电需求,P2：B应向甲供应一定的电量,但最多不超过500单位,P3：总输电费用最小,P4 ：满足城市甲和乙需求电量的百分比应力求平衡。,第五节 ：应用案例-例3,例3：已知单位牛奶、牛肉、鸡蛋的维生素及胆固醇含量等有关数据见表4-15，如果只考虑这三种食物，并且设立了下列三个目标。 第一：满足三种维生素的每日最少需求量 第二：使每日摄入的胆固醇最少 第三：使每日购买食品费用最少,第五节 ：应用案例-例3,
