1、,信号与系统,Signals and Systems,倪育德,中国民航大学,第6章 s域系统函数的零、极点分析,Signals and Systems,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,6.2 由系统函数零、极点分布决定频响特性,6.3 一阶系统频响的s平面零、极点分析,6.4 线性系统的稳定性,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,一、零点与极点的概念（1）,H(s)的极点：B(s)=0的根称为H(s)的极点（特征方程的根）,H(s)的零点：A(s)=0的根称为H(s)的零点,H(s)的极点: p1， p2， pn,H(s)的零点: z1， z2， z
2、m,中国民航大学 CAUC,一、零点与极点的概念（2）,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,零极点分布图,极点,零点,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,一、零点与极点的概念（3）,例,中国民航大学 CAUC,二、研究系统零极点的意义,可预测系统的时域特性；,确定系统函数H(s);,描述系统的频响特性；,说明系统正弦稳态特性；,研究系统的稳定性。,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,三、H(s)的零极点分布与h(t)波形特征的对应（1）,1. pi为 H(s)的一阶实极点（1）,
3、中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,三、H(s)的零极点分布与h(t)波形特征的对应（2）,（1） pi=0（实极点）,（2） pi=a（a为实数，实极点）,1. pi为 H(s)的一阶实极点（2）,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,三、H(s)的零极点分布与h(t)波形特征的对应（3）,s,jw,0,u(t),eat u(t),eat u(t),a,a,1. pi为 H(s)的一阶实极点（3）,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,三、H(s)的零极点分布与h(t)波形特征的对应（4）,2. pi
4、、pi*为 H(s)的一阶共轭极点（1）,（0，任意）,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,三、H(s)的零极点分布与h(t)波形特征的对应（5）,2. pi、pi*为 H(s)的一阶共轭极点（2）,（1） pi、pi*位于虚轴上,（2） pi、pi*位于s左半平面,（3） pi、pi*位于s右半平面,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,三、H(s)的零极点分布与h(t)波形特征的对应（6）,s,jw,0,-1,1,sin(t) e-t u(t),sin(t) et u(t),sin(t) u(t),1,-1,2. pi、pi*为
5、 H(s)的一阶共轭极点（3）,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,三、H(s)的零极点分布与h(t)波形特征的对应（7）,3. H(s)存在多重极点（1）,（1）pi=0（二阶或三阶）,（2）pi=a（二阶，a为实数）,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,三、H(s)的零极点分布与h(t)波形特征的对应（8）,3. H(s)存在多重极点（2）,（3）pi=j，pi* =-j（二阶）,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,三、H(s)的零极点分布与h(t)波形特征的对应（9）,总结,若H(s)的极点p
6、i位于s左半平面，则hi(t)为衰减指数或衰减振荡。当t时, hi(t) 0。若H(s)的所有极点均位于s的左半平面，则该系统属于稳定系统；,若H(s)的极点pi位于s右半平面，则hi(t)为增长指数或增长振荡。当t时，hi(t) 。该系统属于不稳定系统。,若H(s)的单极点pi位于s平面的虚轴（包括原点），则hi(t)为等幅振荡或阶跃信号。若H(s)的所有极点均具有该特点，则该系统属于临界稳定系统。若位于虚轴（包括原点）的极点pi 为n（n2）重极点，则hi(t)呈增长形式，系统也属于不稳定系统。,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,四、H(s) 、E(s)的
7、极点分布与系统零状态响应特征的对应（1）,1. 自由响应和强迫响应（1）,R(s)=H(s)E(s),r(t)=L-1R(s)= L-1 H(s)E(s),中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,1. 自由响应和强迫响应（2）,自由响应rh(t)时间函数的形式仅由H(s)决定，即只由系统本身的特性决定，与激励函数E(s)的形式无关；,强迫响应rp(t)时间函数的形式只取决于激励函数E(s)的形式。,系统特征方程的根称为系统的固有频率(或自由频率,自然频率),四、H(s) 、E(s)的极点分布与系统零状态响应特征的对应（2）,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数
8、零、极点分布决定时域特性,例 在下图所示电路中，输入信号 v1(t)=10cos(4t)u(t),求输出电压 v2(t) ，并指出 v2(t) 中的自由响应与强迫响应。,四、H(s) 、E(s)的极点分布与系统零状态响应特征的对应（3）,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,2. rh(t)、rp(t)与rt(t)、rs(t)之间的关系（1）,四、H(s) 、E(s)的极点分布与系统零状态响应特征的对应（4）,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,（1） 自由响应与暂态、稳态响应的关系,若Rep1i0，则rh1i(t)为减幅振荡，rh
9、1i(t)为暂态响应；,若Rep1i=0，则rh1i(t)为等幅振荡，rh1i(t)为稳态响应;,若Rep1i0，则rh1i(t)为增幅振荡，这时系统为不稳定系统。,四、H(s) 、E(s)的极点分布与系统零状态响应特征的对应（5）,2. rh(t)、rp(t)与rt(t)、rs(t)之间的关系（2）,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,（2） 强迫响应与暂态、稳态响应的关系,四、H(s) 、E(s)的极点分布与系统零状态响应特征的对应（6）,2. rh(t)、rp(t)与rt(t)、rs(t)之间的关系（3）,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点
10、分布决定时域特性,四、H(s) 、E(s)的极点分布与系统零状态响应特征的对应（7）,中国民航大学 CAUC,6.1 由系统函数零、极点分布决定时域特性,例 在下图所示电路中，输入信号 v1(t)=10cos(4t)u(t)，求输出电压 v2(t) ，并指出 v2(t) 中的自由响应与强迫响应，暂态响应和稳态响应。,四、H(s) 、E(s)的极点分布与系统零状态响应特征的对应（8）,中国民航大学 CAUC,6.2 由系统函数的零、极点分布决定频响特性,一、系统频响的概念（1）,第四章“连续时间系统的频域分析”对系统的频响函数H(j)的定义为:,H(jw)的物理意义： H(jw)反映了系统对输入
11、信号不同频率分量的传输特性。,R(jw)= H(jw) E(jw),1. 频响函数定义一,中国民航大学 CAUC,6.2 由系统函数的零、极点分布决定频响特性,一、系统频响的概念（2）,系统的频响特性，是指系统在正弦信号激励之下，稳态响应随激励信号频率的变化情况。,2. 频响函数定义二,中国民航大学 CAUC,6.2 由系统函数的零、极点分布决定频响特性,一、系统频响的概念（3）,中国民航大学 CAUC,6.2 由系统函数的零、极点分布决定频响特性,一、系统频响的概念（）,中国民航大学 CAUC,6.2 由系统函数的零、极点分布决定频响特性,一、系统频响的概念（）,H(j)是加权函数，它完全反
12、映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性。,幅频响应,相频响应,中国民航大学 CAUC,6.2 由系统函数的零、极点分布决定频响特性,一、系统频响的概念（）,利用系统的频响函数H(j),可求得系统的滤波特性，即某些频率分量被增强，而另一些频率分量则相对被削弱或变为零；,可求得系统的正弦稳态响应。,中国民航大学 CAUC,6.2 由系统函数的零、极点分布决定频响特性,例某系统的系统函数为,（）求系统的频率特性； （）若激励e(t)=100cos(2t+/4)，求系统的正弦稳态响应r(t)。,中国民航大学 CAUC,6.2 由系统函数的零、极点分布决定频响特性,二、系统频响的类型,按照系统“幅频特
13、性”形式的不同，可将系统划分为：,低通滤波器；,高通滤波器；,带通滤波器；,带阻滤波器；,全通滤波器。,中国民航大学 CAUC,6.2 由系统函数的零、极点分布决定频响特性,三、由H(s)的零、极点图确定系统的频响特性（1）,可见，H(j)的特性取决于H(s)零、极点的位置。,中国民航大学 CAUC,6.2 由系统函数的零、极点分布决定频响特性,三、由H(s)的零、极点图确定系统的频响特性（2）,幅频特性,相频特性,当点j沿虚轴移动时，各零点和极点对应的矢量都随之改变，于是便可得出幅频特性曲线和相频特性曲线。,中国民航大学 CAUC,6.3 一阶系统频响的s平面零、极点分析,电路如图所示，v1
14、(t)为激励，v2(t)为响应。采用零、极点分析法绘制该电路的频响特性曲线。,(1) 网络的传递函数H(s)为：,(2) 网络的频响函数H(j)为：,(3) H(s)的零、极点分布为：,中国民航大学 CAUC,6.3 一阶系统频响的s平面零、极点分析,(4) 将H(j)以矢量因子表示为：,中国民航大学 CAUC,(5) 分析当从0沿虚轴向增长时，H(j)及()如何随之改变，从而画出幅频特性曲线和相频特性曲线。,6.3 一阶系统频响的s平面零、极点分析,中国民航大学 CAUC,6.3 一阶系统频响的s平面零、极点分析,中国民航大学 CAUC,6.4 线性系统的稳定性,一、系统的稳定性定义,定义1
15、：如果 ，则称该系统是稳定的。,定义2：对所有的激励信号e(t)，且e(t)Me （Me为有界正值），即输入是有界的，若系统的零状态响应r(t)也是有界的，即r(t)Mr （Mr为有界正值），则称该系统是稳定的。（BIBO定义）,二、从H(s)的极点分布判断系统的稳定性,系统稳定的充要条件是，H(s)的所有极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。,中国民航大学 CAUC,6.4 线性系统的稳定性,三、从h(t)的有界性判断系统的稳定性,对于LTI系统，系统稳定的充要条件是 ，M为有界正值。,总结（从H(s)的极点分布考虑）,稳定系统：如果H(s)的全部极点落于s左半平面（不包括虚轴），则系统是稳定的。,不稳定系统：如果H(s)有一个极点落于s右半平面，或在虚轴上具有二阶或二阶以上极点，则系统是不稳定的。,临界稳定系统：如果H(s)的极点落于s平面的虚轴上，且只有一阶，则系统是临界稳定的。,中国民航大学 CAUC,6.4 线性系统的稳定性,例 判断下述系统是否稳定。,解：,1）极点为p1= -1和p2= -2，都在s左半平面，故系统是稳定的。,2）极点为p1，2=j0，是虚轴上的一对共轭极点，故系统是临界稳定的。,中国民航大学 CAUC,6.4 线性系统的稳定性,例 线性反馈系统如下图所示，讨论当K从0开始增长时，系统稳定性的变化。,
