1、流体流动与传热过程模拟讲义之六 代数方程组求解,主要内容,1、代数方程组 2、直接法 3、迭代法（重点）,知识回顾：一维问题,例4-4：对图4-5所示的一维稳态圆棒内的无源导热问题，其两端分别保持100 OC和500 OC。求解圆棒内的稳态一维热传导。导热系数k=1000 w/(mK),横截面积A=1010-3m2。,控制方程：,边界条件：,边界,边界,TA=100,x,TA=500,知识回顾,x,x,1,2,3,4,5,T1,T2,T3,T4,x,TA,TB,网格划分,知识回顾,步骤5：矩阵建立,AT=B,A: 系数矩阵55， T: 待求向量51 ， B：向量51,第三节 应用举例,步骤6：
2、代数方程组求解,直接法,迭代法,最后解得,二维问题： 应用举例,例：对下图所示的二维稳态金属块的无源导热问题，其四周边界温度为定值。求解金属块内的稳态二维热传导。导热系数k=1000 w/(mK)。,控制方程：,边界条件：,x,Y,第一节 应用举例,步骤1：建立坐标系,0,x,Y,0.5,0.5,二维坐标L=0.5 mH=0.5 m,第一节 应用举例,步骤2：网格划分,0,1,2,3,4,5,x,y,1,2,3,4,5,x,x/2,y,y/2,E,W,N,S,E,e,W,w,N,n,S,s,x=0.5/5=0.1,y=0.5/5=0.1,P,中心节点P,第一节 应用举例,0,1,2,3,4,5
3、,x,y,1,2,3,4,5,x,x/2,y,y/2,E,W,N,S,E,e,W,w,N,n,S,s,P,1,中心节点P,步骤2：网格划分2,x=0.5/5=0.1,y=0.5/5=0.1,第一节 应用举例,步骤3：控制方程离散,式一,第一节 应用举例,步骤3：控制方程离散,式二,第一节 应用举例,步骤3：控制方程离散,第一节 应用举例,令,得到,第一节 应用举例,0,1,2,3,4,5,x,y,1,2,3,4,5,x,x/2,y,y/2,E,W,N,S,E,e,W,w,N,n,S,s,P,a 系数与网格划分有关,1,第三节 应用举例,节点T12,节点T13,节点T14,节点T11,第一行4个
4、节点，4个方程,步骤4：代数方程组建立,第三节 应用举例,节点T22,节点T23,节点T24,节点T21,第二行4个节点，4个方程,步骤4：代数方程组建立,第三节 应用举例,节点T32,节点T33,节点T34,节点T31,第三行4个节点，4个方程,步骤4：代数方程组建立,第三节 应用举例,节点T42,节点T43,节点T44,节点T41,第四行4个节点，4个方程,步骤4：代数方程组建立,x,Y,第一节 应用举例,步骤5：边界条件离散和赋值,第一节 应用举例,步骤6：代数方程组求解,6.1直接法,6.2 迭代法,第二节 直接法,直接法求解步骤,第一步：矩阵,A: 系数矩阵1616， T: 待求向量
5、161 ， B：向量161,第二步：矩阵运算 （高斯消元法）,优点： 不存在收敛问题 缺点：当矩阵较大时，求解时间长,第二节 迭代法,迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。 迭代法又分为精确迭代和近似迭代。“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。 它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。,百度百科,第二节 迭代法,迭代法求解两大关键,第一：迭代格式
6、,第二：设定初值,第三节 应用举例,100,400,T1,T2,T3,T4,图1,关系式精确解： T2=200 T3=300,第三节 迭代法应用举例,迭代法求解两大关键,第一：迭代格式,第二：设定初值,n:当前迭代步数 n+1 :下一迭代步数,残差,第三节 迭代法应用举例,第三节 迭代法应用举例,第三节 迭代法应用举例,第一：迭代格式,第二：设定初值,n:当前迭代步数 n+1 :下一迭代步数 松弛因子 01,第三节 迭代法一般步骤,设定边界,假定初始值,根据迭代格式 计算新值,计算残差 0.001?,结束,是,输出结果,否,二维问题： 迭代求解,例：对下图所示的二维稳态金属块的无源导热问题，其四周边界温度为定值。求解金属块内的稳态二维热传导。导热系数k=1000 w/(mK)。,控制方程：,边界条件：,x,Y,0,1,2,3,4,5,x,y,1,2,3,4,5,x,x/2,y,y/2,E,W,N,S,E,e,W,w,N,n,S,s,P,a 系数与网格划分有关,1,迭代求解,迭代格式一：,迭代格式二：,假定初值：T=0,
