1、1考点规范练 28 数列的概念与表示基础巩固1.数列 1,的一个通项公式 an=( )A. B. C. D.2.若 Sn为数列 an的前 n项和,且 Sn=,则等于( )A. B. C. D.303.(2017江西上饶模拟)已知数列 an满足 an+1+an=n,若 a1=2,则 a4-a2=( )A.4 B.3 C.2 D.14.若数列 an满足 =d(nN *,d为常数),则称数列 an为调和数列 .已知数列为调和数列,且x1+x2+x20=200,则 x5+x16=( )A.10 B.20 C.30 D.405.已知数列 an满足 an+2=an+1-an,且 a1=2,a2=3,Sn为
2、数列 an的前 n项和,则 S2 016的值为( )A.0 B.2 C.5 D.66.已知数列 an的前 4项分别是,1,则这个数列的一个通项公式是 an= . 7.已知数列 an满足: a1+3a2+5a3+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(nN *),则数列 an的通项公式 an= . 8.已知数列 an的通项公式为 an=(n+2),则当 an取得最大值时, n= . 9.若数列 an的通项为 an=(-1)n(2n+1)sin+1,前 n项和为 Sn,则 S100= . 10.已知数列 an的前 n项和为 Sn.(1)若 Sn=(-1)n+1n,求 a5+a6及 an;(2)若
3、 Sn=3n+2n+1,求 an.能力提升11.设数列 an满足 a1=1,a2=3,且 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,则 a20的值是( )2A.4 B.4 C.4 D.412.已知函数 f(x)是定义在区间(0, + )上的单调函数,且对任意的正数 x,y都有 f(xy)=f(x)+f(y).若数列 an的前 n项和为 Sn,且满足 f(Sn+2)-f(an)=f(3)(nN *),则 an等于( )A.2n-1 B.n C.2n-1 D.13.已知数列 an的前 n项和为 Sn,Sn=2an-n,则 an= . 14.(2017山西晋中二模)我们可以利用数列 an的递
4、推公式 an=(nN *),求出这个数列各项的值,使得这个数列中的每一项都是奇数,则 a64+a65= . 15.设数列 an的前 n项和为 Sn.已知 a1=a(a3), an+1=Sn+3n,nN *.(1)设 bn=Sn-3n,求数列 bn的通项公式;(2)若 an+1 an,求 a的取值范围 .高考预测16.已知数列 an的通项公式是 an=-n2+12n-32,其前 n项和是 Sn,则对任意的 nm(其中 m,nN *),Sn-Sm的最大值是 . 答案：1.B2.D 解析:当 n2 时, an=Sn-Sn-1=,= 5(5+1)=30.3.D 解析:由 an+1+an=n,得 an+
5、2+an+1=n+1,两式相减得 an+2-an=1,令 n=2,得 a4-a2=1.34.B 解析: 数列为调和数列,=x n+1-xn=d. xn是等差数列 .又 x1+x2+x20=200=,x 1+x20=20.又 x1+x20=x5+x16,x 5+x16=20.5.A 解析: a n+2=an+1-an,a1=2,a2=3,a 3=a2-a1=1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-3,a6=a5-a4=-1,a7=a6-a5=2,a8=a7-a6=3. 数列 an是周期为 6的周期数列 .又 2 016=6336,S 2 016=336(2+3+1-2-3-1)=0,故选
6、 A.6. 解析:数列 an的前 4项可分别变形为,故 an=.7.3n 解析: a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3,把 n换成 n-1,得a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1=(n-2)3n+3,两式相减得 an=3n.8.5或 6 解析:由题意令解得 n= 5或 n=6.9.200 解析:当 n为偶数时,sin =0,即 an=(2n+1)sin+1=1(n为偶数) .当 n为奇数时,若 n=4k+1,kZ,则 sin=sin=1,即 an=-2n;若 n=4k+3,kZ,则 sin=sin=-1,即 an=2n+2.故 a4k+1+
7、a4k+2+a4k+3+a4k+4=-2(4k+1)+1+2+2(4k+3)+1=8,因此 S100=8=200.10.解:(1)因为 Sn=(-1)n+1n,所以 a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.当 n=1时, a1=S1=1;当 n2 时, an=Sn-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n+1n+(n-1)=(-1)n+1(2n-1).又 a1也适合于此式,所以 an=(-1)n+1(2n-1).(2)当 n=1时, a1=S1=6;当 n2 时, an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-3n-1+2(n-1)+1=23n-1+2.由于 a1不适
8、合 式,所以 an=11.D 解析:由 2nan=(n-1)an-1+(n+1)an+1,得 nan-(n-1)an-1=(n+1)an+1-nan=2a2-a1=5.令 bn=nan,则数列 bn是公差为 5的等差数列,故 bn=1+(n-1)5=5n-4.4所以 b20=20a20=520-4=96,所以 a20=4.12.D 解析:由题意知 f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(nN *),S n+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n2),两式相减,得 2an=3an-1(n2) .又 n=1时, S1+2=3a1=a1+2,a 1=1. 数列 an是首项为 1,公比为
9、的等比数列 .a n=.13.2n-1 解析:当 n2 时, an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1),即 an=2an-1+1a n+1=2(an-1+1).又 S1=2a1-1,a 1=1. 数列 an+1是以 a1+1=2为首项,公比为 2的等比数列,a n+1=22n-1=2n,a n=2n-1.14.66 解析:由题得,这个数列各项的值分别为 1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,11,3,故 a64+a65=a32+65=a16+65=a8+65=a4+65=1+65=66.15.解:(1)因为 an+1=Sn+3n,所以 Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即
10、 Sn+1=2Sn+3n,由此得 Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即 bn+1=2bn.又 b1=S1-3=a-3,故 bn的通项公式为 bn=(a-3)2n-1.(2)由题意可知, a2a1对任意的 a都成立 .由(1)知 Sn=3n+(a-3)2n-1.于是,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=23n-1+(a-3)2n-2,故 an+1-an=43n-1+(a-3)2n-2=2n-2.当 n2 时,由 an+1 an,可知 12+a-30,即 a -9.又 a3,故所求的 a的取值范围是 -9,3)(3, + ).16.10 解析:由 an=-n2+12n-32=-(n-4)(n-8)0得 4n8,即在数列 an中,前三项以及从第 9项起后的各项均为负且 a4=a8=0,因此 Sn-Sm的最大值是 a5+a6+a7=3+4+3=10.
