1、系统的频域分析及其应用,连续时间系统的频率响应连续信号通过系统响应的频域分析无失真系统与理想低通抽样与抽样定理调制与解调离散时间系统的频域分析,连续系统的频率响应,虚指数信号ejwt(-t)通过系统的响应 任意非周期信号通过系统的响应 系统频响H(jw)的定义与物理意义 H(jw)与h(t)的关系 求H(jw)的方法,1、虚指数信号ejwt(-t)通过连续系统的零状态响应,其中,2、任意非周期信号通过连续系统的零状态响应,若信号f(t)的Fourier存在，则可由虚指数信号ejwt(-t)的线性组合表示，即,由系统的线性时不变特性，可推出信号f(t)作用于系统的零状态响应yf (t)。,2、任
2、意非周期信号通过连续系统的零状态响应,由积分特性,由均匀性,即,Yf (jw),3、连续系统的频率响应H(jw)的定义与物理意义,幅度响应,相位响应,H(jw)的物理意义：,系统把频谱为F(jw) 的输入改变成频谱为H(jw) F(jw) 的响应，改变的规律完全由H(jw) 决定。,H(jw)反映了系统对输入信号不同频率分量的传输特性。,H(jw)称为系统的频率响应，定义为,或,Yf (jw)= H(jw) F(jw),4、H(jw)与h(t)的关系,即H(jw)等于系统冲激响应h(t)的Fourier变换,由H(jw)的定义，显然有,5、求H(jw)的方法,由系统的动态方程式直接计算； 由系
3、统的冲激响应的傅里叶变换计算； 由电路的零状态频域电路模型计算。,解：利用Fourier变换的微分特性，微分方程的频域表示式为,由定义可求得,例1 已知某LTI系统的动态方程为y“(t) + 3y(t) + 2y(t) = f(t)，求系统的频率响应H(jw)。,例2 已知某LTI系统的冲激响应为h(t) = (e-t-e-2t) u(t)，求系统的频率响应H(jw)。,解： 利用H(jw)与h(t)的关系,例3 图示RC电路系统，激励电压源为f(t)，输出电压 y(t)为电容两端的电压vc(t)，电路的初始状态为零。求系统的频率响应H(jw)和冲激响应h(t)。,解： RC电路的频域(相量)
4、模型如图，,由Fourier反变换，得系统的冲激响应h(t)为,由电路的基本原理有,RC电路系统的幅度响应,随着频率的增加，系统的幅度响应|H(jw)|不断减小，说明信号的频率越高，信号通过该系统的损耗也就越大。,由于|H(j(1/RC)|=0.707，所以把wc=1/RC称为该系统的3db截频。,低通滤波器,连续信号通过系统响应的频域分析,连续非周期信号通过系统响应的频域分析 连续周期信号通过系统响应的频域分析 正弦信号通过系统的响应 任意周期信号通过系统的响应,一、连续非周期信号通过系统响应的频域分析,1. 已知描述系统的微分方程,方程两边进行Fourier变换，并利用时域微分特性，有,解
5、此代数方程即可求得零状态响应的频谱Yf (jw)。,一、连续非周期信号通过系统响应的频域分析,2. 已知系统的频域响应,对Yf (jw)进行Fourier反变换，可得,系统零状态响应频域分析方法与卷积积分法的关系：,1) 两种分析方法实质相同，只不过是采用单元信号不同。,2) 分析域不同，卷积积分法 时域，频域分析法 频域。,Fourier变换的时域卷积定理是联系两者的桥梁。,例1 已知某LTI系统的动态方程为y“(t) + 3y(t) + 2y(t) = 3f (t)+4 f(t)，系统的输入激励 f(t) = e-3t u(t)，求系统的零状态响应yf (t)。,解： 由于输入激励f(t)
6、的频谱函数为,系统的频率响应由微分方程可得,故系统的零状态响应yf (t)的频谱函数Yf (jw)为,二、连续周期信号通过系统响应的频域分析,1. 正弦信号通过系统的响应,由Euler公式可得,利用虚指数信号ejwt作用在系统上响应的特点及系统的线性特性，可得零状态响应y(t)为,二、连续周期信号通过系统响应的频域分析,1. 正弦信号通过系统的响应,同理,结论：正、余弦信号作用于线性时不变系统时，其输出的零状态响应y(t)仍为同频率的正、余弦信号。,输出信号的幅度y(t)由系统的幅度响应|H(jw0)|确定,输出信号的相位相对于输入信号偏移了f(w0),二、连续周期信号通过系统响应的频域分析,
7、2. 任意周期信号通过系统的响应,将周期为T0的周期信号f(t) 用Fourier级数展开为,利用虚指数信号ejwt作用在系统上响应的特点及线性特性可得系统的零状态响应为,若f(t)、h(t)为实函数，则有,例3 求图示周期方波信号通过系统H(jw) = 1/(a+jw) 的响应y(t)。,解： 对于周期方波信号，其Fourier系数为,可得系统响应y(t)为,由,优点：求解系统的零状态响应时，可以直观地体现信号通过系统后信号频谱的改变，解释激励与响应时域波形的差异，物理概念清楚。 不足： （1）只能求解系统的零状态响应，系统的零输入响应仍按时域方法求解。（2）若激励信号不存在傅里叶变换，则无
8、法利用频域分析法。（3）频域分析法中，傅立叶反变换常较复杂。 解决方法：采用拉普拉斯变换,系统响应频域分析小结,离散信号通过系统的响应,离散系统的频率响应ejWk通过LTI系统的稳态响应任意信号通过系统的响应信号通过线性相位系统的响应理想数字滤波器,一、离散系统的频率响应,magnitude response,phase response,group delay,离散系统的频率响应定义为,二、ejWk通过LTI系统的稳态响应,三、任意信号通过系统的响应,四、信号通过线性相位系统的响应,线性相位系统：f(W)= -W k0,线性相位系统的群延迟：,，通过线性相位系统的响应为,t (W)=k0,例
9、 已知一LTI系统的H(e jW)为,求系统的输出。,解：,一、无失真传输系统,若输入信号为f(t)，则无失真传输系统的输出信号y(t)应为,K为常数，td是输入信号通过系统后的延迟时间。,时域特性,频域特性,其幅度响应和相位响应分别为,一、无失真传输系统,无失真传输系统的幅度和相位响应,无失真传输系统应满足两个条件：,1) 系统的幅频响应|H(jw)|在整个频率范围内应为常数K，即系统的带宽为无穷大；,2) 系统的相位响应f(w)在整个频率范围内应与成正比。,例1 已知一LTI系统的频率响应为,(1) 求系统的幅度响应|H(jw)|和相位响应f(w)，并判断系统是否为无失真传输系统。 (2) 当输入为f(t)=sint+sin3t (-t) 时，求系统的稳态响应。,解：(1) 因为,所以系统的幅度响应和相位响应分别为,系统的幅度响应|H(jw)|为常数，但相位响应f(w)不是w的线性函数，所以系统不是无失真传输系统。,(2),例1 已知一LTI系统的频率响应为,(1) 求系统的幅度响应|H(jw)|和相位响应f(w)，并判断系统是否为无失真传输系统。 (2) 当输入为f(t)=sint+sin3t (-t) 时，求系统的稳态响应。,解：,显然，输出信号相对于输入信号产生了失真。,输出信号的失真是由于系统的非线性相位引起的。,输入和输出信号的波形,
