1、1,第四章 级数,1 复数项级数,2,1. 复数列的极限 设an(n=1,2,.)为一复数列, 其中an=an+ibn, 又设a=a+ib为一确定的复数. 如果任意给定e0, 相应地能找到一个正数N(e), 使|an-a|N时成立, 则a称为复数列an当n时的极限, 记作,此时也称复数列an收敛于a.,3,定理一 复数列an(n=1,2,.)收敛于a的充要条件是,证 如果 , 则对于任意给定的e0, 就能找到一个正数N, 当nN时,4,反之, 如果,5,2. 级数概念 设an=an+ibn(n=1,2,.)为一复数列, 表达式,称为无穷级数, 其最前面n项的和sn=a1+a2+.+an 称为级
2、数的部分和. 如果部分和数列sn收敛,6,定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛 证 因sn=a1+a2+.+an=(a1+a2+.+an) +i(b1+b2+.+bn)=sn+itn, 其中sn=a1+a2+.+an, tn=b1+b2+.+bn分别为 和 的部分和, 由定理一, sn有极限存在的充要条件是sn和tn的极限存在, 即级数 和 都收敛.,7,定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数项级数的审敛问题.,8,定理三,证,9,10,11,另外, 因为 的各项都是非负的实数, 所以它的收敛也可用正项级数的判定法来判定.,例1 下列数列是否收敛? 如果收敛, 求出其极限.,12,解
3、 1) 因,13,2) 由于 an=n cos in=n ch n,因此, 当n时, an. 所以an发散.,例2 下列级数是否收敛? 是否绝对收敛?,解 1) 因 发散 ; 收敛, 故原级数发散.,14,2) 因 , 由正项级数的比值审敛法知 收敛, 故原级数收敛, 且为绝对收敛.,3) 因 收敛; 也收敛, 故原级数收敛. 但因 为条件收敛, 所以原级数非绝对收敛.,15,2 幂级数,16,1. 幂级数的概念 设fn(z)(n=1,2,.)为一复变函数序列,其中各项在区域D内有定义.表达式,称为复变函数项级数. 最前面n项的和sn(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z) 称为这级数的
4、部分和.,17,存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0)称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和一定是z的一个函数s(z):s(z)=f1(z)+f2(z)+.+fn(z)+.,如果对于D内的某一点z0, 极限,s(z)称为级数 的和函数,18,这种级数称为幂级数. 如果令z-a=z, 则(4.2.2)成为 , 这是 (4.2.3)的形式, 为了方便, 今后常就(4.2.3)讨论,当fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1时, 就得到函数项级数的特殊情形:,19,定理一(阿贝尔Abel定理),z0,x,y,O,20,证,21,22,2
5、3,2. 收敛圆和收敛半径 利用阿贝尔定理, 可以定出幂级数的收敛范围, 对一个幂级数来说, 它的收敛情况不外乎三种: i) 对所有的正实数都是收敛的. 这时, 根据阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝对收敛. ii) 对所有的正实数除z=0外都是发散的. 这时, 级数在复平面内除原点外处处发散. iii) 既存在使级数收敛的正实数, 也存在使级数发散的正实数. 设z=a (正实数)时, 级数收敛, z=b (正实数)时, 级数发散.,24,显然ab, 将收敛域染成红色, 发散域为蓝色.,O,a,b,Ca,Cb,x,y,25,当a由小逐渐变大时, Ca必定逐渐接近一个以原点为中心, R为半径的圆
6、周CR. 在CR的内部都是红色, 外部都是蓝色. 这个红蓝两色的分界圆周CR称为幂级数的收敛圆. 在收敛圆的外部, 级数发散. 收敛圆的内部, 级数绝对收敛. 收敛圆的半径R称为收敛半径. 所以幂级数(4.2.3)的收敛范围是以原点为中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛圆上是否收敛, 则不一定.,26,例1 求幂级数,的收敛范围与和函数. 解 级数实际上是等比级数, 部分和为,27,28,3.收敛半径的求法,29,30,31,32,33,例2 求下列幂级数的收敛半径,34,35,36,37,4. 幂级数的运算和性质 象实变幂级数一样, 复变幂级数也能进行有理运算. 设,在以原点为中心, r1,r2中较小的一个为半径的圆内, 这两个幂级数可以象多项式那样进行相加, 相减, 相乘, 所得到的幂级数的和函数分别就是f(z)与g(z)的和,差与积.,38,39,更为重要的是代换(复合)运算,这个代换运算, 在把函数展开成幂级数时, 有着广泛的应用.,40,41,O,x,y,a,b,当|z-a|b-a|=R时 级数收敛,42,43,3) f(z)在收敛圆内可以逐项积分, 即,44,45,46,47,48,
