1、河南省商丘市 2017-2018 高三第二次模拟考试试卷理科数学第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数 (是虚数单位）的共辄复数 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】因为 ，所以选 A.2. 已知集合 ，若 ，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 ，又因为 ，所以 ，所以 ，选 B.3. 已知等差数列 的公差为 ，且 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. 2 D. 4【答案】C【解析】因为 ，所以，选 C.4. 程序框图的算法思路源于我国
2、古代数学名著 九章算术中的“更相减损术” ，执行该程序框图，若输入的 分别为 91，39，则输出的 （ ）A. 11 B. 12 C. 13 D. 14【答案】C【解析】执行循环得：结束循环，输出 选 C.5. 高考结束后 6 名同学游览我市包括日月湖在内的 6 个景区，每名同学任选一个景区游览，则有且只有两名同学选择日月湖景区的方案有（ ）A. 种 B. 种 C. 种 D. 种【答案】D【解析】先确定选择日月湖景区两名同学，有 种选法；其他 4 名学生游览我市不包括日月湖在内的 5 个景区，共有 种选法，故方案有 种，选 D.6. 设 满足约束条件 若目标函数 的最大值为 18，则的值为（
3、）A. 3 B. 5 C. 7 D. 9【答案】A【解析】根据不等式组得到可行域是一个封闭的四边形区域，目标函数化为 当直线过点 时，有最大值，将点代入得到 故答案为：A.7. 已知 且 ，函数 在区间 上既是奇函数又是增函数，则函数的图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为函数 在区间 上是奇函数，所以，即因为 在区间 上是增函数，而函数 在区间 上是增函数，所以 ，当 时 单调递增，舍去 A,B; 当 时且单调递减，舍去 C，选 D.8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与椭圆相切，记 到直线的距离分别为 ，则 的值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答
4、案】B【解析】由 得，选 B.9. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】几何体为一个四棱锥（高为 ，底面为长位，宽为 3 的矩形）与一个半圆柱（半圆半径为 2，高为 3）的组合体，所以条件为 选 A.10. 将函数 的图象向左平移 个单位，得到函数 的图象，若在 上为增函数，则 的最大值为（ ）A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【答案】C【解析】 ， 向左平移 个单位，得到函数 的图象，所以 ，因为 ,所以即 的最大值为 6，选 C.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩” ，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必
5、须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母 而言. 由求增区间; 由 求减区间.11. 已知点 分别是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点，在双曲线 的右支上存在点 ，且满足 ， ，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】因为 ，选 D.点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 的方程或不等式，再根据 的关系消掉 得到 的关系式，而建立关于 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.12. 记函数 ，若曲线 上存在点 使得 ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为 为
6、单调递增函数，所以 因为函数 单调递减，所以 在 上有解，即 在 上有解，因为 ，所以的取值范围是 ，选 B.点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知球的表面积为 ，此球面上有 三点，且 ，则球心到平面 的距离为_【答案】【解析】因为球的表面积为 ，所以 因为 ，所以三角形 为直角三角形，因此球心到平面 的距离为球心到 BC 中点的距离
7、，为 .点睛：涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.14. 已知 是圆 上的两个动点， ，若 是线段 的中点，则的值为_【答案】【解析】 .15. 展开式中，各项系数之和为 4，则展开式中的常数项为 _【答案】【解析】因为 展开式中，各项系数之和为 因此展开式中的常数项为 16. 已知曲线 在点 处的切线 的斜率为 ，直线 交 轴、 轴分别于点，且 .给出以下结
8、论： ； 当 时， 的最小值为 ；当 时， ；当 时，记数列 的前 项和为 ，则 .其中，正确的结论有_(写出所有正确结论的序号）【答案】【解析】令 ， 所以 ；对；因为 ，所以 ；对；令 ，所以 ，即 ，错；因为 ，所以 对；点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ，且.（1）求证： 成等比数列；（2）若
9、的面积是 2，求边的长.【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理化简 得 ，由余弦定理得 ，再利用诱导公式化简 ，得 ，再根据正弦定理得 ，最后根据等比数列定义证结论， （2）根据三角形面积公式得 ，解得 ，最后根据余弦定理求边的长.试题解析：（1）证明： ， ， ， 在 中，由正弦定理得， ， ，由正弦定理可得： ， ， ，则 ， 成等比数列； （2） ，则 ， 由（1）知， ，联立两式解得 ， 由余弦定理得， . 18. 世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市
10、场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的 1000 名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：组别频数（1）求所得样本的中位数（精确到百元） ；（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出 服从正态分布 ，若该市共有高中毕业生35000 人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100 元以上；（3）已知本数据中旅游费用支出在 范围内的 8 名学生中有 5 名女生，3 名男生， 现想选其中 3 名学生回访，记选出的男生人数为 ，求 的分布列与数学期望.附:若 ，则 ， ，.【答案】 （1） （百元） ；（2） ；（3） .【解析】
11、试题分析：（1）根据中位数定义列式解得中位数， （2）由正态分布得旅游费用支出在 元以上的概率为 ，再根据频数等于总数与频率乘积得人数.(3)先确定随机变量取法，再利用组合数分别求对应概率，列表可得分布列，最后根据数学期望公式求期望.试题解析：（1）设样本的中位数为 ，则 ，解得 ，所得样本中位数为 （百元）. （2） ， ， ， 旅游费用支出在 元以上的概率为，估计有 位同学旅游费用支出在 元以上. （3） 的可能取值为 ， ， ， ， ， ， ， 的分布列为. 19. 如图所示的几何体是由棱台 和棱锥 拼接而成的组合体，其底面四边形 是边长为 2 的菱形， ， 平面 .（1）求证： ；（2
12、）求平面 与平面 所成锐角二面角的余弦值.【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）根据菱形性质得 ，根据线面垂直得 ，再根据线面垂直判定定理得 平面 ，即得 .最后根据 得结论， （2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系确定所成锐角二面角的余弦值.试题解析：(1)证明：因为底面四边形 是菱形， ， 又 平面 ， ， ， 平面 ， .又棱台 中，(2)建立空间直角坐标系如图所示， 则 ， ， ， ， ， 所以 ， ， ， ，设平面 的一个法向量为 ，则 , ， .令 ，得 ， ； 设平面 的法向量为 ，则 , ，令 ，得 ， ， ， 设平面 与平面 所成锐二面角为 ，则 ，所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值为 .
