1、第二节 Lesbesgue积分的定义及性质,第五章 积分理论,1.积分的定义,设 是 ( Ei可测且两两不交）上非负简单函数，定义 为 在E上的Lebesgue积分,非负简单函数的积分,非负可测函数的积分,若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数 的极限 ，而且还可办到,一般可测函数的积分,积分的几何意义：,注：当 有限时，称f(x)在E上 L可积,（要求 不同时为 ）为f(x)在E上的Lebesgue积分（有积分）,设f(x)为E上的可测函数，定义,积分的性质,零集上的任何函数的积分为0, f(x)可积当且仅当|f(x)|可积（f(x)是可测函数）,且,单调性:,线形:,
2、(5)设f(x)是E上的可测函数， ， 证明 a.e.于E,证明：则En为可测集,即f(x)=0 a.e.于E。,(6) 若f可积，则f几乎处处有限.,证明：,对每个n，有,(7)积分的绝对连续性,说明：若|f(x)|M,则只要取=/M即可，所以我们要把f(x)转化为有界函数。,若f(x)在E上可积，则及任何可测子集有,即：当积分区域很小时，积分值也很小.,积分的绝对连续性的证明,证明：由于f(x)可积，故|f(x)|也可积,故对任意，存在E上的简单函数(x) ，,使在E上,由于(x)为简单函数，故存在M，使得|(x)|M,非负可测函数可积的等价描述,设f(x)为E上几乎处处有限的非负可测函数, mE+，在0, +)上作分划:,则f(x)在E上可积当且仅当,非负可测函数可积的等价描述的证明,证明：,例：若E1, E2, En是0,1中的可测集，0,1中每一点至少属于上述集合中的k个(kn),则在E1, E2, En中必有一个点集的测度大于或等于k/n,例 设fn(x)为E上非负可测函数列，,
