1、定义:,设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得,对 进行运算 称为对 进行相似变换，,可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。,注：矩阵相似是一种等价关系,一.相似矩阵的定义及性质,证：,相似矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。,这表明A与B 有相同特征值,设 A与B 相似，,推论,其它的有关相似矩阵的性质： （介绍）,(5),特别地，若矩阵 A与对角阵 相似 (P -AP = )，则,（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似。,二. 矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）,P 的列向量 是与A相似的对角阵中相应对角元素 的特征向量,P可逆，因此 线性无关,且相似阵 P
2、,（2）可逆矩阵 由 的 个线性无关的特征向量作列向量构成。,得,得基础解系,当 时，齐次线性方程组为,当 时，齐次线性方程组为,得基础解系,线性无关,即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。,所以 不能化为对角矩阵.,当 时，齐次线性方程组为,当 时，齐次线性方程组为,若A 有重特征值, 不能马上断言A 是否与对角阵相似,只要 k 重特征值正好对应 k 个线性无关的特征向量即可,？,？,定理 n 阶矩阵A与对角阵相似的 充要条件为 A 有n 个线性无关的特征向量.,这时要看重根对应的特征向量.,为P 的列向量,推论若A有n 个互异的特征值，则 A与对角阵相似。,反之不真,解：,得基础
3、解系,当 时，齐次线性方程组为,当 时，齐次线性方程组为,得基础解系,线性无关，,可以对角化。,令,则有,注意：若令,即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的 位置要相互对应,则有,定理：,当 时，齐次线性方程组为,所以k=0时， 能化为对角矩阵.,当 时，齐次线性方程组为,把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且 在理论和应用上都有意义。,可对角化的矩阵主要有以下几种应用：,1. 由特征值、特征向量反求矩阵,例： 已知方阵 的特征值是,相应的特征向量是,求矩阵,解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵 是3 阶方阵。,因为 有 3 个不同的特征值，所以 可以对角化。,即存在可逆矩阵 , 使
4、得,其中,求得,2. 求方阵的幂,例 ：设 求,解：,可以对角化。,系数矩阵,令 得基础解系:,系数矩阵,令 得基础解系:,令,求得,即存在可逆矩阵 , 使得,3. 求行列式,解：,方法1 求 的全部特征值，再求乘积即为行列式的值。,设,的特征值是,方法2：已知 有 个不同的特征值，所以 可以对角化，,即存在可逆矩阵 , 使得,4. 判断矩阵是否相似,的特征值为,令,3阶矩阵 有3个不同的特征值，所以 可以对角化。,即存在可逆矩阵 , 使得,方法2：因为矩阵 有3个不同的特征值，所以可以对角化，,所以矩阵 能与对角阵相似。,例 ：设 阶方阵 有 个互异的特征值，,阶方阵 与 有相同的特征值。,
5、证：设 的n个互异的特征值为,则存在可逆矩阵 , 使得,所以存在可逆矩阵 , 使得,即,即存在可逆矩阵 ,使得,即 与 相似。,n n,相似矩阵的应用,例8,解,=O,例,某地对城乡人口的年度调查结果是一个稳定的迁移趋势,每年,若人口流动的趋势不变，并设总人口数不变，,解,则，一年后城乡人口分别为：,且总人口的 60 住在城镇，,问一年后住在城镇的人口所占比例是多少？,两年后？十年后？最终比例为多少？,人口流动趋势不变, 即系数阵A不变,A,n=2时,即两年后总人口的 60.786 住在城镇。,即最终人口的 5/7 住在城镇，2/7 住在农村。,x (0),与 无关,人,一个含有限个状态的系统，每时刻处在一个确定的状态， 随时间的流逝，系统将从一个状态迁移到另一个状态。,这是一个其每一个状态的概率仅与其前一个状态有关的连续过程,用调查所得资料和概率理论预测将来某时刻将会出现的状态,马尔可夫过程,再如,产品， 已用者继续买、未用者将要买,60,25,现市场占有率 52, 物质；,两种状态： 居住城镇、居住农村, 液态、气态,概率矩阵 (迁移矩阵),状态向量,
