1、例：随机变量X的分布函数为,求 (1) A； (2) X的分布密度函数； (3),例：10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，记,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),则,本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上 “事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个 缩小了的范围内来考虑问题.,例2.袋中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从袋中连续取球4次,试求第1、2次
2、取得白球，第3、4次取得红球的概率.,解：,例: 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,设A=飞机被击落, Bi=飞机被i人击中,i=1,2,3,由全概率公式,解:,P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2),+ P(B3)P(A |B3),为求P(Bi ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3,可求得:,将数据代入计算得:,P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.
3、,P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机被击落的概率为0.458.,于是,例3. 有甲乙两个袋子，甲袋中有2个红球，3个白球，乙袋中有3个红球，2个白球从甲袋中任取一球(不看颜色)放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？,例4.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为 2、1、3，试求市场上该品牌产品的合格品率.,例5. 某大学生准备参加毕业论文答辩，答辩的效果与他的精神状态有关
4、。据他估计如果他的精神状态很好的话，则答辩通过的概率为0.8；若精神状态一般的话，则通过的概率为0.6；若精神状态很差的话，则通过的概率降为0.4。该生感到他的精神状态处于“很好”、“一般”或“很差”都是等可能的。(1)试求他通过毕业论文答辩的概率；(2)现在已知他通过了这次论文答辩；求它答辩时，精神状态处于“很好 ”的概率。,解： 设A表示事件“他通过论文答辩”， 分别表示他的精神状态处于“很好”、“一般”、“很差 ”这三个事件。显然， 是样本空间 的一个划分，且,例6. 数字通讯过程中信源发射0、1两种状态信号, 其中发0的概率为0.55, 发1的概率为0.45. 由于信道中存在干扰，在发
5、0的时候, 接收端分别以概率0.9、0.05和0.05接收为0、1和不清在发1的时候, 接收端分别以概率0.85、0.05和0.1接收为1、0和不清. 现接收端接收到一个不清的信号, 问发端发的是0的概率,例7 商店论箱出售玻璃杯,每箱20只,其中每箱含0，1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.问这一箱含有一个次品的概率是多少？,B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品,解: 设A为从一箱中任取4只检查,结果都是好的.,已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1,由Bayes
6、公式:,例3 若X和Y 是两个相互独立的随机变量 , 具有相同的分布 N(0,1) , 求 Z=X+Y 的概率密度.,解: 由题意知：,因为X和Y相互独立，由公式得：,令,=,可见 Z=X+Y 服从正态分布 N(0,2).,有限个独立正态变量的线性组合仍然服从正态分布.,更一般地, 可以证明:,例 4,例4 设X和Y是两个相互独立的随机变量，它们的概率密度 分别为：,解：,Z的概率密度为,上面的积分中y0,所以,故所求Z的概率密度为：,例4.设(X,Y)服从如图区域 D上的均匀分布，求关于X 的和Y 的边缘概率密度.,例4设某车间里共有9台车床，每台车床使用电力都是间歇性的，平均起来每小时中约
7、有12分钟使用电力，假定车床工作是相互独立的，试问在同时刻有7台或7台以上的车床使用电力的概率为多少?,解,合理配备维修工人问题,例6 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的,发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障但不能及时维修的概率小于0.01?,由泊松定理得,故至少需配备8个工人,才能保证设备发生 故障但不能及时维修的概率小于0.01.,例、一篮球运动员的投篮命中率为45%，以X表示他首
8、次投中时 累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率。,例1 设某电子产品平均寿命5000小时为达到标准，现从一批产品中抽出12件，试验结果如下 ：5059，3897，3631，5050，7474，50774545，6279，3532，2773，7419，5116 假设该产品的寿命 ，试问此批产品是否合格？,解:,(2)取统计量,(1)提出假设,(4)计算统计量的值,(5) 接受原假设H0 ，即认为该产品合格,此时可能犯第一类错误，犯错误的概率不超过0.01.,解:,(2)取统计量,例2 某织物强力指标X的均值 =21公斤. 改进工艺后生产一批织物，今从中取30件，测得 =21.5
9、5公斤. 假设强力指标服从正态分布 ，且已知 =1.2公斤， 问在显著性水平 =0.01下，新生产织物比过去的织物强力是否有提高?,(1)提出假设,(4)计算统计量的值u=2.512.33，,(5) 拒绝原假设H0 ，即认为新生产织物比过去的织物强力有所提高.,此时可能犯第一类错误，犯错误的概率不超过0.01.,例3 用精饲料养鸡，若干天后鸡的平均重量为4斤，今对 一批鸡改用粗饲料饲养，同时改善饲养方法，经同样长的饲养期，随机抽测10只，得重量数据如下(单位：斤)：,3.7 3.8 4.1 3.9 4.6 4.7 5.0 4.5 4.3 3.8,问这批鸡的平均重量是否提高了 ？,解,(2)取检
10、验统计量,(5)计算检验统计量的值t=1.691.383,(6) 拒绝原假设H0 ，即认为这批鸡的平均重量提高了.,(1)提出假设,解,(2)取检验统计量,(4)计算检验统计量的值| t |=2.9974.0322,(5) 接受原假设H0 ，即认为这批产品合格.,(1)提出假设,解,(2)取检验统计量,(4)计算检验统计量的值| t |=2.67562.7764,(5) 接受原假设H0 ，即认为=1277.,(1)提出假设,例1 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30, 7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30
11、之间的均匀随机变量, 试求他候车时间少于5 分钟的概率.,解:,依题意， X U ( 0, 30 ),以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,解:,P(X h)0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我们来求满足上式的最小的h .,看一个应用正态分布的例子:,例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,设车门高度为h cm,按设计要求,因为
12、 XN(170,62),故 P(X h)=,求满足P(X h ) 0.99的最小的 h .,所以:,查表得 (2.33)=0.99010.99,因而 = 2.33,即 h=170+13.98 184,0.99,解：,3. n维随机变量的独立性：,则称X1 , X2, , Xn 相互独立，或称(X1 , X2, , Xn )是独立的.,设n维随机变量(X1 , X2, , Xn )的分布函数为F(x1, x2, , xn), 若Xk 的边缘分布函数为FXk(xk), k=1,2,n, 且有,例2. 某单位内部有260架电话分机，每个分机有4%的时间要用外线通话，可以认为各个电话分机用不用外线是相
13、互独立的，问总机要多少条外线才能以95%的把握保证各个分机在用外线时不必等候。,解：,把考察每部电话分机是否使用外线作为一次独立的试验，,例3. (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产?,用X表示在某时刻工作着的车床数，依题意，,解：,XB(200, 0.6),设需N台车床工作，现在的问题是：,P(XN)0.999的最小的N.,求满足,由德莫佛-拉普拉斯极限定理得,P(XN)= P(0X
14、N),查正态分布函数表得,故N141.5,即N=142.,也就是说, 应供应 142千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.,本题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随,机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求,数学期望的,此方法具有一定的意义.,例6 一民航送客车载有20位旅客自机场开出,旅客有10个车站可以下车,如到达一个车站没有旅客下车就不停车.以X表示停车的次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的,并设各旅客是否下车相互独立),按题意,一旅客8:20到车站,求他 候车时间的数学期望.,例7 按规定,某车站每天8:009:00,9:0010
15、:00都恰有一辆客车到站,但到站时刻是随机的,且两者到站的时间相互独立。其规律为：,例2.已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.3元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%.,解：,解：,例3 设总体 X 的均值 和方差 都存在 , 未知 . 是来自 X 的样本 , 试求 的矩估计量 .,解得,于是 的矩估计量为,解：,例6 设总体 X N( ) , 未知 . 是来自 X 的样本值 , 试求 的最大似然估计量 .,似然函数为,解：,X 的概率密度为,于是,令,解得,的最大似然估计量为,(4) 矩形不等式：,反之，任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为某个二维随机变量(X, Y)的分布函数。,对于任意(x1, y1), (x2, y2)R2, (x1 x2， y1y2 ),F(x2, y2)F(x1, y2) F (x2, y1)F (x1, y1)0.,例2. 袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次， 令,求 (X, Y)的分布律。,求：(1)常数A；(2) (X, Y)的分布函数F(x, y)； (3) (X, Y)落在三角形区域D：x0, y0, 2x+3y6内的概率.,
