1、在许多实际问题中，人们往往通过适当的变换把一个复杂的问题化成简单的问题研究。,例如，通过对数变换，把除法,化为加减运算，通过分式变换把复杂区域化为简单区域等。,傅里叶变换在电学、力学、控制理论等许多工程和科学领域中有广泛的应用。,傅里叶级数的应用可在力学中振动和波动部分找到：任何,振动和波动都可以表示为谐振动和谐波的叠加傅里叶级数展开.,第五章 傅里叶变换,在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要和随时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:,具有性质fT(t+T)=fT(t), 其中T称作周期, 而1/T代表单位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重复多少次, 单位是赫兹(He
2、rz, 或Hz).,5.1 傅里叶级数,最常用的一种周期函数是三角函数fT(t)=Asin(wt+j)其中w=2p/T,而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt,人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近.,方波,4个正弦波的逼近,100个正弦波的逼近,函数f(x)以2l为周期,即有:,则可取三角函数族,作为基本函数族，将f(x)展为傅里叶级数,(一) 周期函数的傅里叶展开,函数族正交,即任意两个函数的乘积在一个周期上积分为零,利用三角函数的正交性,可得展开系数为:,其中
3、,叫做周期函数f(x)的,傅里叶级数展开式,展开系数称为傅里叶系数,狄里希利定理:,若函数f(x)满足:(1)处处连续或者在每个周期,中只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期中只有有限个极值点,则级数收敛,且,(二) 奇函数及偶函数的傅里叶展开,若周期函数f(x)是奇函数,则傅里叶系数的计算公式可得,a0及ak都等于零,则展开式变为:,这里称为傅里叶正弦级数,由于对称性,展开系数为:,又,级数和在x=0和x=l处都为零.,若周期函数f(x)是偶函数,则由傅里叶系数bk=0,展开式为:,这里称为傅里叶余弦级数,由于对称性,展开系数为:,余弦的导数为正弦,余弦级数的和的导数在x=0和x=l为零.
4、,(三) 定义在有限区间上的函数的傅里叶展开,对于在有限区间,如(0,l)有定义的函数f(x),可以采用延拓的方法,让它称为某个周期函数g(x),且在(0,l)上,然后再对,g(x)作傅里叶级数展开,其级数和在区间(0,l)上代表f(x).,又f(x)在(0,l)外无定义,可以有无数种延拓方式,便有无数种展开但这些展开在区间(0,l)上代表f(x),若对函数f(x)在边界的行为有限制,满足一定的边界条件,就决定了如何延拓,例:,应延拓成奇的周期函数.,应延拓成偶的周期函数.,(四) 复数形式的傅里叶级数,取复指数函数,作为基本函数族,可以将周期函数f(x)展开成复数形式的傅里叶级数,且利用复指
5、数函数的正交性,可求出傅里叶系数为:,这里虽然f(x)是实函数,但傅里叶系数有可能是复数,并且可得,傅立叶展开的意义：理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角 级数表示；应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的 周期函数。例如：对称方波的傅立叶展开,5.2 傅里叶积分与傅里叶变换,(一) 实数形式的傅里叶变换,设f(x)为定义在区间,上的函数,一般地，非周期,函数不能展开成傅里叶级数,为了能让这类函数可以展开,采用,如下办法:将非周期函数f(x)看成某个周期函数g(x)当周期,的极限形式,这样g(x)的傅里叶级数展开,在,的极限形式就是要找的非周期函数f(x)的傅里叶展开.,引入不连续参量,其傅里
6、叶系数为:,代入展开式:然后取极限 即可.,对于系数a0,如果,有限,则有,余弦部分为:,又,离散参量,成为连续参量,记为,对k的求和就变成对连续参量,的积分,即:,同理,正弦部分的极限是:,则在,极限形式为:,其中,分别为:,称为傅里叶积分,为非周期函数f(x)的傅里叶积分表达式.,f(x)的傅里叶变换式,傅里叶积分定理:,函数在f(x)区间,满足(1) 在任一,有限区间满足狄里希利条件,(2)f(x)在 绝对可积,收敛),则f(x)可表示成傅里叶积分,且,积分值=f(x+0)+f(x-0)/2,振幅谱,相位谱,奇函数f(x)的傅里叶积分是傅里叶正弦积分,其中,是f(x)的傅里叶正弦变换,偶
7、函数f(x)的傅里叶积分是傅里叶余弦积分,其中,是f(x)的傅里叶余弦变换,奇函数,偶函数,傅里叶正弦变换,傅里叶余弦变换,写成对称的形式如下:,傅里叶正弦变换对,傅里叶余弦变换对,例1,矩形函数rectx如下:,将矩形脉冲,展为傅里叶积分,解,f(t)为偶函数,可展开成傅里叶余弦积分:,其傅里叶变换,图像如右图:,具有连续的谱,若有如上图的脉冲电波,则它含有一切频率,在无线电波收音机中,不管再优良的器件,不管在那个频段,总有噪音!,例2,由2N个(N是正整数)正弦波组成的有限正弦波列,将它展开成傅里叶积分,函数图像如图所示:,f(t)是奇函数,故可展开成傅里叶正弦积分,其傅里叶变换为:,频谱
8、如图:,在,为一尖峰,在两侧相差为 处,降为零。所以，有限长的正弦波列并非单色波（“单色”指的是只有一个单一频率）。大体上说，其所包含的圆频率集中在,左右,范围内，,高度为,波列越长(N越大)，圆频率分散的范围 越小.,(二) 复数形式的傅里叶积分,欧拉公式:,代入,整理得:,右边第二个积分中,换成,可合并成,其中,代入上式可得，对于,当,总之有,傅里叶变换,傅里叶积分,写成对称形式如下：,其中,分别称为傅里叶变换的原函数和像函数,例3,求矩形脉冲,复数形式的傅里叶变换,解,象原函数，,(三) 傅里叶变换的基本性质,（1）导数定理,证明：,（2）积分定理,证明：,记,则有,对,应用导数定理有,
9、即,原函数的求导和积分运算，傅里叶变换后变成了像函数的代数运算！,（3）相似性定理,证明：,作代换yax，则,即,（4）延迟定理,证明：,作代换y=x-x0，则,（5）位移定理,证明：,（6）卷积定理,其中，,为,的卷积,证明：,交换积分次序可得,作代换,则,运用傅氏变换的微分性质以及积分性质, 可以把线性常系数微分方程转化为代数方程, 通过解代数方程与求傅氏逆变换, 就可以得到此微分方程的解. 另外, 傅氏变换还是求解数学物理方程的方法之一。,傅氏变换的意义,(四) 多重傅里叶积分,二维或者三维无界空间的非周期函数也可以展开为傅里叶积分,这里积分是多重的。,然后再将F1(k1;y,z)按自变数y展开为傅里叶积分，傅里叶变换,F2(k1,k2;z)，z为参数，最后再将其按z展开为傅里叶积分，三次展开，可得f(x,y,z)的三重傅里叶积分：,三重傅里叶变换为,引入矢量r和k，且r=i1x+i2y+i3z , k=i1k1+i2k2+i3k3,则可写为,
