1、第6章 异步电动机的动态数学模型和坐标变换,异步电动机动态数学模型的性质三相异步电动机的多变量非线性数学模型坐标变换三相异步电动机在两相坐标系上的数学模型三相异步电动机在两相坐标系上的状态方程。,问题的提出,前节论述的基于稳态数学模型的异步电机调速系统虽然能够在一定范围内实现平滑调速，但是，如果遇到轧钢机、数控机床、机器人、载客电梯等需要高动态性能的调速系统或伺服系统，就不能完全适应了。 要实现高动态性能的系统，必须首先认真研究异步电机的动态数学模型。,6.1 异步电动机动态数学模型的性质,1. 直流电机数学模型的性质 直流电机的磁通由励磁绕组产生，可以在电枢合上电源以前建立起来而不参与系统的
2、动态过程（弱磁调速时除外），因此它的动态数学模型只是一个单输入和单输出系统。,直流电机模型变量和参数,输入变量电枢电压 Ud ；输出变量转速 n ；控制对象参数：机电时间常数 Tm ；电枢回路电磁时间常数 Tl ；电力电子装置的滞后时间常数 Ts 。,控制理论和方法,在工程上能够允许的一些假定条件下，可以描述成单变量（单输入单输出）的三阶线性系统，完全可以应用经典的线性控制理论和由它发展出来的工程设计方法进行分析与设计。 但是，同样的理论和方法用来分析与设计交流调速系统时，就不那么方便了，因为交流电机的数学模型和直流电机模型相比有着本质上的区别。,2. 交流电机数学模型的性质,（1）异步电机变
3、压变频调速时需要进行电压（或电流）和频率的协调控制，有电压（电流）和频率两种独立的输入变量。在输出变量中，除转速外，磁通也得算一个独立的输出变量。 因为电机只有一个三相输入电源，磁通的建立和转速的变化是同时进行的，为了获得良好的动态性能，也希望对磁通施加某种控制，使它在动态过程中尽量保持恒定，才能产生较大的动态转矩。,多变量、强耦合的,由于这些原因，异步电机是一个多变量（多输入多输出）系统； 而电压（电流）、频率、磁通、转速之间又互相都有影响，所以是强耦合的多变量系统，可以先用右图来定性地表示。,图 异步电机的多变量、强耦合模型结构,模型的非线性,（2）在异步电机中，电流乘磁通产生转矩，转速乘
4、磁通得到感应电动势，由于它们都是同时变化的，在数学模型中就含有两个变量的乘积项。这样一来，即使不考虑磁饱和等因素，数学模型也是非线性的。,模型的高阶性,（3）三相异步电机定子有三个绕组，转子也可等效为三个绕组，每个绕组产生磁通时都有自己的电磁惯性，再算上运动系统的机电惯性，和转速与转角的积分关系； 即使不考虑变频装置的滞后因素，也是一个八阶系统。,因此，异步电机的动态数学模型是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。,6.2 异步电动机的三相数学模型,假设条件： （1）忽略空间谐波，设三相绕组对称，在空间互差120电角度，所产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布； （2）忽略磁路饱和，各绕组的自感
5、和互感都是恒定的； （3）忽略铁心损耗； （4）不考虑频率变化和温度变化对绕组电阻的影响。,物理模型 无论电机转子是绕线型还是笼型的，都将它等效成三相绕线转子； 并折算到定子侧，折算后的定子和转子绕组匝数都相等。 这样，实际电机绕组就等效成下图所示的三相异步电机的物理模型。,三相异步电动机的物理模型,图6-1 三相异步电动机的物理模型,图中，定子三相绕组轴线 A、B、C 在空间是固定的，以 A 轴为参考坐标轴； 转子绕组轴线 a、b、c 随转子旋转，转子 a 轴和定子A 轴间的电角度 为空间角位移变量。 规定各绕组电压、电流、磁链的正方向符合电动机惯例和右手螺旋定则。 这时，异步电机的数学模型
6、由下述电压方程、磁链方程、转矩方程和运动方程组成。,1. 磁链方程,每个绕组的磁链是它本身的自感磁链和其它绕组对它的互感磁链之和，因此，六个绕组的磁链可表达为,（6-1）,或写成,（6-1a）,电感矩阵,式中，L 是66电感矩阵，其中对角线元素 LAA， LBB， LCC，Laa，Lbb，Lcc 是各有关绕组的自感，其余各项则是绕组间的互感。 实际上，与电机绕组交链的磁通主要只有两类：一类是穿过气隙的相间互感磁通，另一类是只与一相绕组交链而不穿过气隙的漏磁通，前者是主要的。,电感的种类,定子漏感 Lls 定子各相漏磁通所对应的电感，由于绕组的对称性，各相漏感值均相等；转子漏感 Llr 转子各相
7、漏磁通所对应的电感。定子互感 Lms与定子一相绕组交链的最大互感磁通；转子互感 Lmr与转子一相绕组交链的最大互感磁通。,2. 电压方程,三相定子绕组的电压平衡方程为,电压方程（续）,与此相应，三相转子绕组折算到定子侧后的电压方程为,注意：上述各量都已折算到定子侧，为了简单起见，表示折算的上角标“ ”均省略，以下同此。,式中,Rs, Rr定子和转子绕组电阻。,A, B, C, a, b, c 各相绕组的全磁链；,iA, iB, iC, ia, ib, ic 定子和转子相电流的瞬时值；,uA, uB, uC, ua, ub, uc 定子和转子相电压的瞬时值；,电压方程的矩阵形式：,将电压方程写成
8、矩阵形式，并以微分算子 p 代替微分符号 d /dt,（6-12）,或写成,（6-12a）,由于折算后定、转子绕组匝数相等，且各绕组间互感磁通都通过气隙，磁阻相同，故可认为 Lms = Lmr,3. 转矩方程,根据机电能量转换原理，在多绕组电机中，在线性电感的条件下，磁场的储能和磁共能为,（6-14）,（6-15）,而电磁转矩等于机械角位移变化时磁共能的变化率 （电流约束为常值），且机械角位移 m = / np ，于是,转矩方程的矩阵形式,将式（6-14）代入式（6-16），并考虑到电感的分块矩阵关系式，得,（6-16）,又由于 代入式（6-16）得,（6-17）,转矩方程的三相坐标系形式,以
9、式（6-9）代入式（6-17）并展开后，舍去负号，意即电磁转矩的正方向为使 减小的方向，则,（6-18）,应该指出，上述公式是在线性磁路、磁动势在空间按正弦分布的假定条件下得出来的，但对定、转子电流对时间的波形未作任何假定，式中的 i 都是瞬时值。 因此，上述电磁转矩公式完全适用于变压变频器供电的含有电流谐波的三相异步电机调速系统。,4. 电力拖动系统运动方程,在一般情况下，电力拖动系统的运动方程式是,（6-19）,TL 负载阻转矩； J 机组的转动惯量；,转角方程为：,（6-20）,便构成在恒转矩负载下三相异步电机的多变量非线性数学模型，用结构图表示出来如下图所示,异步电机的多变量非线性动态
10、结构图,（1）异步电机可以看作一个双输入双输出的系统： 输入量是电压向量和定子输入角频率； 输出量是磁链向量和转子角速度。 电流向量可以看作是状态变量。,（2）非线性因素存在于1（）和2（） 中，即存在于产生旋转电动势 er 和电磁转矩 Te 两个环节上，还包含在电感矩阵 L 中。 旋转电动势和电磁转矩的非线性关系和直流电机弱磁控制的情况相似，只是关系更复杂一些。,（3）多变量之间的耦合关系主要也体现在 1（）和2（） 两个环节上，特别是产生旋转电动势的1对系统内部的影响最大。,6.3 坐标变换,上节中虽已推导出异步电机的动态数学模型，但是，要分析和求解这组非线性方程显然是十分困难的。在实际应
11、用中必须设法予以简化，简化的基本方法是坐标变换。,6.3.1. 坐标变换的基本思路,从上节分析异步电机数学模型的过程中可以看出，这个数学模型之所以复杂，关键是因为有一个复杂的 66 电感矩阵，它体现了影响磁链和受磁链影响的复杂关系。 因此，要简化数学模型，须从简化磁链关系入手。,直流电机的物理模型：,直流电机的数学模型比较简单，先分析一下直流电机的磁链关系。 图6-2中绘出了二极直流电机的物理模型，图中 F为励磁绕组，A 为电枢绕组，C 为补偿绕组。 F 和 C 都在定子上，只有 A 是在转子上。 把 F 的轴线称作直轴或 d 轴（direct axis），主磁通的方向就是沿着 d 轴的；A和
12、C的轴线则称为交轴或q 轴（quadrature axis）。,图6-2 二极直流电机的物理模型,励磁绕组,电枢绕组,补偿绕组,直流电机的物理模型,图6-2中绘出了二极直流电机的物理模型，图中 F为励磁绕组，A 为电枢绕组，C 为补偿绕组。 F 和 C 都在定子上，只有 A 是在转子上。 把 F 的轴线称作直轴或 d 轴（direct axis），主磁通的方向就是沿着 d 轴的；A和C的轴线则称为交轴或q 轴（quadrature axis）。,分析:,电枢磁动势的作用可以用补偿绕组磁动势抵消，或者由于其作用方向与 d 轴垂直而对主磁通影响甚微； 所以，直流电机的主磁通基本上唯一地由励磁绕组的
13、励磁电流决定，这是直流电机的数学模型及其控制系统比较简单的根本原因。,交流电机的物理模型,如果能将交流电机的物理模型（见下图）等效地变换成类似直流电机的模式，分析和控制就可以大大简化。 坐标变换正是按照这条思路进行的。 在这里，不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产生的磁动势完全一致。,交流电机三相对称的静止绕组 A 、B 、C ，通以三相平衡的正弦电流时，所产生的合成磁动势是旋转的磁动势F，它在空间呈正弦分布，以同步转速 1 （即电流的角频率）顺着 A-B-C 的相序旋转。这样的物理模型绘于下图a中。,（1）交流电机绕组的等效物理模型,a）三相交流绕组,旋转磁动势的产生,然而，旋转磁
14、动势并不一定非要三相不可，除单相以外，二相、三相、四相、 等任意对称的多相绕组，通以平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势，当然以两相最为简单。,（2）等效的两相交流电机绕组,F,i,1,b）两相交流绕组,图b中绘出了两相静止绕组 和 ，它们在空间互差90，通以时间上互差90的两相平衡交流电流，也产生旋转磁动势 F 。 当图a和b的两个旋转磁动势大小和转速都相等时，即认为图b的两相绕组与图a的三相绕组等效。,（3）旋转的直流绕组与等效直流电机模型,c）旋转的直流绕组,再看图c中的两个匝数相等且互相垂直的绕组 M 和 T，其中分别通以直流电流 im 和it，产生合成磁动势 F ，其位置相对于绕组来说
15、是固定的。 如果让包含两个绕组在内的整个铁心以同步转速旋转，则磁动势 F 自然也随之旋转起来，成为旋转磁动势。,把这个旋转磁动势的大小和转速也控制成与图 a 和图 b 中的磁动势一样，那么这套旋转的直流绕组也就和前面两套固定的交流绕组都等效了。 当观察者也站到铁心上和绕组一起旋转时，在他看来，M 和 T 是两个通以直流而相互垂直的静止绕组。 如果控制磁通的位置在 M 轴上，就和直流电机物理模型没有本质上的区别了。 这时，绕组M相当于励磁绕组，T 相当于伪静止的电枢绕组。,等效的概念:,由此可见，以产生同样的旋转磁动势为准则，图a的三相交流绕组、图b的两相交流绕组和图c中整体旋转的直流绕组彼此等
16、效。 或者说，在三相坐标系下的 iA、iB 、iC，在两相坐标系下的 i、i 和在旋转两相坐标系下的直流 im、it 是等效的，它们能产生相同的旋转磁动势。,有意思的是：就图c 的 M、T 两个绕组而言，当观察者站在地面看上去，它们是与三相交流绕组等效的旋转直流绕组； 如果跳到旋转着的铁心上看，它们就的的确确是一个直流电机模型了。 这样，通过坐标系的变换，可以找到与交流三相绕组等效的直流电机模型。,现在的问题在于：如何求出iA、iB 、iC 与 i、i 和 im、it 之间准确的等效关系，这就是坐标变换的任务。,6.3.2. 三相-两相变换（3/2变换）,现在先考虑上述的第一种坐标变换在三相静
17、止绕组A、B、C和两相静止绕组、 之间的变换，或称三相静止坐标系和两相静止坐标系间的变换，简称 3/2 变换。,下图中绘出了 A、B、C 和 、 两个坐标系，为方便起见，取 A 轴和 轴重合。 设三相绕组每相有效匝数为N3，两相绕组每相有效匝数为N2，各相磁动势为有效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。,三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量,设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套绕组瞬时磁动势在 、 轴上的投影都应相等，,写成矩阵形式，得,（6-26）,考虑变换前后总功率不变，在此前
18、提下，可以证明，匝数比应为,（6-27）,代入式（6-26），得,（6-28）,令 C3/2 表示从三相坐标系变换到两相坐标系的变换矩阵，则,（6-29）,三相两相坐标系的变换矩阵,如果三相绕组是Y形联结不带零线，则有 iA + iB + iC = 0，或 iC = iA iB 。代入式（6-28）并整理后得,（6-33）,（6-34）,按照所采用的条件，电流变换阵也就是电压变换阵，同时还可证明，它们也是磁链的变换阵。,6.3.3. 两相两相旋转变换（2s/2r变换）,从等效的交流电机绕组和直流电机绕组物理模型的图 b 和图 c 中从两相静止坐标系到两相旋转坐标系 M、T 变换称作两相两相旋转
19、变换，简称 2s/2r 变换，其中 s 表示静止，r 表示旋转。 把两个坐标系画在一起，即得下图。,两相静止和旋转坐标系与磁动势（电流）空间矢量,图中，两相交流电流 i、i 和两个直流电流 im、it 产生同样的以同步转速1旋转的合成磁动势 Fs 。 由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表示，例如 Fs 可以直接标成 is 。 但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。,M，T 轴和矢量 Fs（ is ）都以转速 1 旋转，分量 im、it 的长短不变，相当于M，T绕组的直流磁动势。 但 、 轴是静止的， 轴与 M 轴的夹角 随时间而变化，因此 is 在 、 轴上的分量的长短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。 由图可见， i、 i 和 im、it 之间存在下列关系,2s/2r变换公式,写成矩阵形式，得,是两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵。,式中,两相旋转两相静止坐标系的变换矩阵,两边都左乘以变换阵的逆矩阵，即得,(6-39),
