1、第 三 章 正弦稳电路分析,教案制作 龙达峰,2010年3月,学 习 目 标,1 正确理解正弦量的概念，牢记正弦量的三要素。 确区分瞬时值、最大值、有效值和平均值。 深刻理解正弦量的相量表示法。 深刻理解和掌握交流电路中电阻、电容、电感 元 件上的电压、电流之间的相位关系，并能进行相关的计算。 正确区分瞬时功率、平均功率、有功功率、无功功率和视在功率，并会进行计算。,3.1 正弦量的基本概念,一. 正弦量的三要素若电压、电流是时间t的正弦函数，称为正弦交流电。,以电流为例，正弦量的一般解析式为：,波形如图3-1所示,图 3-1 正弦量的波形,其中Im 叫正弦量的最大值，也叫振幅；角度 叫正弦量
2、的相位，当t=0时的相位 叫初相位，简称初相； . 叫正弦量的角频率。,因为正弦量每经历一个周期的时间T，相位增加2，则角频率、周期T和频率之间关系为：,工频f=50HZ， =314rad/S，T=20mS,、T、反映的都是正弦量变化的快慢，越大，即越大或T越小，正弦量变化越快；越小，即越小或T越大，正弦量变化越慢。,把振幅、角频率和初相称为正弦量的三要素。,只有确定了三要素，正弦量才是确定的 。,二. 相位差,设有两个同频率的正弦量为,叫做它们的相位差。正弦量的相位是随时间变化的，但同频率的正弦量的相位差不变，等于它们的初相之差。初相相等的两个正弦量，它们的相位差为零，这样的两个正弦量叫做同
3、相。同相的正弦量同时达到零值，同时达到最大值，步调一致。两个正弦量的初相不等，相位差就不为零，不同时达到最大值，步调不一致，,同频率正弦量的相位差,-0.5T,0.5T,T,2,0,-,t,t,1,u(t)=Umsin(t+1),u(t),2,i(t)=Imsin(t+2),i(t),(t+1)- (t+2)= 1-2 = ,0 180 u 超前i（i 滞后u）,-180 0 u 滞后i（i 超前u）,=0 u与i 同相,= 180 u与i 反相,= 90 u与i 正交,如图分别表示两个正弦量超前、同相、正交、反相.,三. 正弦电流、电压的有效值1、有效值有效值是按等效应概念来定义的，如热效应
4、。让周期电流和直流电流流过等值的电阻，在相同时间T（周期电流的一个周期）内，若两者产生的热效应相等，则称直流电流的数值为周期电流的有效值。,周期电流产生的热量 :,直流电流产生的热量:,周期电流i的有效值用其大写字母I表示，有效值又称方均根值。,2、正弦量的有效值,对于正弦电流，设,周期电压的有效值同样有,复数的四种表示形式 1)代数形式 A = a +jb 复数的实部和虚部分别表示为： ReA=a ,ImA=b 。,2)图3.1为复数在复平面的表示。,图 3.1,3)根据图 8.1 得复数的三角形式：,或,两种表示法的关系：,3.2 正弦量的相量表示法,根据欧拉公式可将复数的三角形式转换为指
5、数表示形式：,4)指数形式有时改写为极坐标形式：,2. 复数的运算 (1) 加减运算 采用代数形式比较方便。,若,则,即复数的加、减运算满足实部和实部相加减，虚部和虚部相加减。,复数的加、减运算也可以在复平面上按平行四边形法用向量的相加和相减求得，如图3.2所示,图3.2,(2) 乘除运算 采用指数形式或极坐标形式比较方便。,即复数的乘法运算满足模相乘，辐角相加。除法运算满足模相除，辐角相减.,若,则,例3-1 计算复数,解：,本题说明进行复数的加减运算时应先把极坐标形式转为代数形式。,例3-2 计算复数,解：,二. 正 弦 量 的 相 量 表 示 设有一复数,由于,可见A(t)的虚部为正弦函
6、数。这样就建立了正弦量和复数之间的关系。为用复数表示正弦信号找到了途径。,式中同理,把这个复数 分别称为正弦量的有效值相量和振幅相量。特别应该注意，相量与正弦量之间只具有对应关系，而不是相等的关系。,例 3-3已知 u1=141sin(t+60o)V ，u 2 =70.7sin(t-45o)V 。求： 求相量 ；(2) 求两电压之和的瞬时值 u(t)（3） 画出相量图,解（1）,（2）,（3） 相量图如图3-4所示,图 3-4,3.3 基本元件相量形式和KCL、KVL相量形式,一 .基本元件的相量形式在交流电路中，电压和电流是变动的，是时间的函数。电路元件不仅有耗能元件的电阻，而且有储能元件电
7、感和电容。下面分别讨论它们的伏安关系式的相量形式。,1 、电阻元件,设流过的i电流为:,电压为:,（1）R中的瞬时电压与电流电阻元件R的电压、电流参考方向如图,由此可得到如下关系： (a) 电阻的电压有效值与电流有效值仍然满足欧姆定律: UR = RIR (b) 电阻的电压uR与电流iR同相位，即u =i,电阻元件的瞬时电压、电流波形如图1（b）所示。,（2）R 中的电压相量与电流相量:,设电阻电流相量为:,故电阻电压、电流的相量形式仍满足欧姆定律:,电阻元件的相量电路如图2（a）所示。图2（b）是电阻的相量图。,2、电感元件L (1). L中的瞬时电流与电压,在图参考方向下，电感电压与电流满
8、足关系式,因此，如果设电感电流为,则电压为:,由上式可得 （a） 电感电压、电流有效值的关系为UL =LIL （b） 电感电压超前电流90，即u =i+90 电感电压与电流的正弦波形如图3（b）所示。 （2）L中的电压相量与电流相量,所以，电感电压相量与电流相量的关系为,设电感电流相量为:,式中XL =L ，称为感抗,电感元件的相量电路、相量图分别如图4（a）、（b）所示。,式中XL =L ，称为感抗，具有与电阻相同的量纲 。当角频率的单位取弧度/秒(rad/s)、电感L取亨利（H）的情况下，感抗的单位是欧姆。感抗的大小反映了电感对正弦电流抵抗能力的强弱。,3、电容元件C （1） C中的瞬时电
9、压与电流,在图参考方向下，电容电压与电流满足关系式:,因此，如果设电容电压为 :,由以上分析可得如下关系 （a） 电容电压、电流有效值的关系为IC =CUC （b） 电感电压滞后电流90，即u =i-90,电容电压与电流的瞬时波形如图。,（2）C中的电压相量与电流相量 设电容电压相量为,则电容电流相量,所以电容元件的电压、电流相量的关系式:,其中 ，称为容抗。其单位也是欧姆， 此时角频率的单位取弧度/秒（rad/s）、电容为法拉（F）。,电容元件的相量电路、相量图分别如图6（a）、（b）所示。,4、相量（频域）与正弦量（时域）的对应关系 （1） 对于电阻元件 （2） 对于电感、电容元件 （3）
10、 电感、电容元件的另一种表达形式,二、KVL、KCL的相量形式 当多个正弦量相加时，对应的相量也满足相加关系。基尔霍夫电流定律的时域形式： 其相量形式同样满足KCL方程： 同理由KVL的时域形式： 得到KVL相量形式 ：,=220(1+0.5+j0.87),一、阻抗 在关联参考方向下，电阻、电感和电容三种元件的电压、电流相量形式为 取统一形式 称Z为元件的阻抗，阻抗的单位也是欧姆（）。上式称为相量形式的欧姆定律。由一个元件推广到一个不含独立电源的网络N0，如图1（a）所示电路。,34 阻抗与导纳,如设二端网络N0的端口电压、电流为 则二端网络N0的等效阻抗 即任何一个不含独立电源的二端网络N0
11、,其阻抗 其中|Z|称为阻抗的模，为阻抗角，阻抗的实部R称为电阻，虚部X称为电抗，等效电路如图1（b）和（c）所示。 阻抗Z反映了电压、电流相量的关系，虽是复数但并不代表正弦量，故在其符号上面不能加圆点表示。电阻、电感和电容元件的阻抗分别为:,例33求图所示RLC串联电路的等效阻抗。,解：根据KVL得,所以电路的等效阻抗为,当X=XL-XC=0，即=u -i=0时，电路端口处电压与电流同相位，称该电路为电阻性电路. 当X=XL-XC0，即=u -i0时，电路端口处电压超前电流一个正角度，即阻抗角为正，那么该电路为感性电路. 当X=XL-XC0，即=u -i0时，电路为容性电路 .,二 导纳,对
12、于如图示R、L、C并联电路，根据相量形式得KCL，得到：,RLC并联电路,Y为无源二端电路的复导纳（或导纳），对于同一电路，导纳与阻抗互为倒数。Y称为导纳模，它等于阻抗模的倒数；对于同一电路，导纳模与阻抗模也互为倒数。称为导纳角，导纳角等于电流与电压的相位差，它也等于负的阻抗角。,3.5.1 阻抗的串联,在相量模型电路中, 每个元件都符合相量形式的 欧姆定律, 因此串并联公式形式与电阻电路相同,等效阻抗: Z=Z1+Z2,分压公式:,Y1、Y2 - 导纳,3.5.2 阻抗的并联,等效阻抗,设:,则:,导纳适合于并联电路的计算, 单位是西门子( s )。,1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不
13、变）,2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图,3.5.3 一般正弦交流电路的解题步骤,3、用复数运算法或相量图求解,4、将结果变换成要求的形式,45,正弦稳态电路的分析 电阻电路与正弦电流电路的分析比较,结论：引入相量法和阻抗的概念后，正弦稳态电路和电阻电路依据的电路定律是相似的 。 因此，可将电阻电路的分析方法直接推广应用于正弦稳态电路的相量分析中。,46,例1 求图 (a) 电路中各支路的电流。已知电路参数为,图（ a ）,47,解： 电路的相量模型如图（所示)。,设,则,48,各支路电流为,49,，,。,50,解 V的读数为U=220V，A1的读数为,，A2的读数为11A。,故A的读数
14、为11A。,所以:,，,解题方法有两种：,1.利用复数进行相量运算,2.利用相量图求结果,已知： I1=10A、UAB =100V，,则：,求：A、UO的读数,求：A、UO的读数,已知： I1=10A、UAB =100V，,设：,、领先 90,I=10 A、 UO =141V,求：A、UO的读数,已知： I1=10A、 UAB =100V，,55,例4 用叠加定理计算图（a）电路的电流 ，已知,56,+,解：画出独立电源单独作用的分电路如图（b）和（c）所示，由图（a）得,图（b） 图（c）,：,57,由图（b）得 则所求电流,求：各支路电流的大小,例5 用戴维南定理,B,A,+,-,一.R、
15、L、C元件的电压电流关系:,在正弦稳态电路中,若R、L、C元件中的电流为:,根据元件的约束关系,它们的电压分别为:,3.6 正弦稳态中的功率,二. R、L、C元件的功率和能量1 .电阻元件的功率 正弦稳态电路中，在关联参考方向下，瞬时功率为 pR(t)= u(t)I(t)设流过电阻元件的电流为:IR (t)=Im sint A其电阻两端电压为:uR(t)=Im R sint =Um sint V 则瞬时功率为,在正弦稳态电路中,正弦电压与正弦电流的乘积称为瞬时功率,用小写字母p表示.,pR(t)= u(t) i(t)= Um sint Im sint =2URIRsin2t=URIR（1-co
16、s2t）W 由于cos2t1,故此pR（t）=URIR（1-cos2t）0,其瞬时功率的波形图如3-10所示。由图可见，电阻元件的瞬时功率是以两倍于电压的频率变化的，而且pR（t）0，说明电阻元件是耗能元件。,图 3-10 电阻元件的瞬时功率,电阻的平均功率:,可见对于电阻元件，平均功率的计算公式与直流电路相似。 2. 电感元件的功率在关联参考方向下，设流过电感元件的电流为:则电感电压为：,其瞬时功率为 :,上式表明，电感元件的瞬时功率也是以两倍于电压的频率变化的；且pL(t)的值可正可负，其波形图如图3-11所示。,图3-11 电感元件的瞬时功率,电感消耗的平均功率为：,电感消耗的平均功率为
17、零，说明电感元件不消耗功率，只是与外界交换能量。,3电容元件的功率在电压、电流为关联参考方向下，设流过电容元件的电流为:,则电容电压为 ：,其瞬时功率为：,uc(t)、Ic(t)、pc(t)的波形如图3-12所示。,图 3 -12 电容元件的瞬时功率,从图上看出，pc(t)、与pL(t)波形图相似，电容元件只与外界交换能量而不消耗能量。电容的平均功率也为零.,电容的平均功率也为零，即：,电感元件以磁场能量与外界进行能量交换，电容元件是以电场能量与外界进行能量交换。,三. 二端电路的功率,1.瞬时功率,在图3-13所示二端电路中，设电流i(t)及端口电压u(t)在关联参考方向下，分别为：,则二端
18、电路的瞬时功率为：,图 3-13,上式表明，二端电路的瞬时功率由两部分组成，第一项为常量，第二项是两倍于电压角频率而变化的正弦量。瞬时功率如图3-14所示。,图 3-14 二端RLC电路的瞬时功率,2. 有功功率（也叫平均功率）和功率因数,式中 称为二端电路的功率因数，功率因数的值取决于电压与电流之间的相位差 ， 也叫功率因数角。,有功功率又被称为平均功率，是瞬时功率在一个周期内的平均值。,纯电阻时, = 0, 纯电感时，= /2 P =UIcos = 0 纯电容时，= - /2 P =UIcos = 0 由此同样可以得出与前面相同的结论，即电感、电容元件不消耗能量。,3. 无功功率,无功功率
19、用Q表示，定义:,单位为无功伏安，简称乏（var）。 当Q0时，0， 电压超前电流，为感性电路；当Q0时，0， 电压滞后电流，为容性电路。,4、视在功率（又称表观功率） 视在功率定义 S=UI 与有功P、无功Q 的关系为:,视在功率的单位是伏安（VA）。变压器的容量即以视在功率来定义。由于变压器的电压、电流都有一个额定值，变压器即便是工作在额定状态下，其输出功率的大小还要看负载的功率因数的大小。例如变压器的容量为1kVA，且工作在额定状态下， 如负载的功率因数cos = 0.5 ，则变压器输出功率P=10.5=0.5kW；如负载的功率因数cos =1 ，则变压器输出功率P=1kW。,P、Q、S
20、之间存在如下关系:,有功功率P、无功功率Q 和视在功率S 构成的三角形称 为功率三角形:,有功功率和无功功率守恒，但视在功率不守恒。则网络N吸收的总的有功P和无功Q可叠加求得:,，,V,A,A,解：,得：,功率因数,有功功率为,无功功率为,视有功率,1.问题的提出：日常生活中很多负载为感性的，其等 效电路及相量关系如下图。,3.7 功率因数的提高,P = PR = UICOS ,其中消耗的有功功率为：,有功功率的表达式说明当功率一定时，若提高电压 U 和功率因素 cos，可以减小线路中的电流，从而减小线路上的损耗，提高传输效率。电力系统中就是采用高压传输和并联电容提高功率因素的方式来提高传输效
21、率。,2. 提高功率因数的原则：,必须保证原负载的工作状态不变。即：加至负载上的电压和负载的有功功率不变。,并电容,3. 提高功率因数的方法：,显然并联电容后,原负载的电压和电流不变,吸收的有功功率和无功功率不变,即:负载的工作状态不变。但电路的功率因数提高了。,4. 并联电容值的计算,设原电路的功率因数为 cos L，要求补偿到 cos 须并联多大电容？（设 U、P 为已知）,82,根据相量图可以确定并联电容的值，由图可知：,分析依据：补偿前后 P、U 不变。,83,例7 图示电路，已知：f =50Hz, U =220V, P =10kW, 线圈的功率因素 cos=0.6 ，采用并联电容方法
22、提高功率因素，问要使功率因数提高到0.9, 应并联多大的电容C，并联前后电路的总电流各为多大？,84,解：,所以并联电容为：,未并电容时，电路中的电流为：,并联电容后，电路中的电流为：,呈电容性。,呈电感性,功率因数补偿到什么程度？理论上可以补偿成以下三种情况:,功率因素补偿问题,呈电阻性,结论：在 角相同的情况下，补偿成容性要求使用的电容 容量更大，经济上不合算，所以一般工作在欠补偿状态。,感性（ 较小）,容性（ 较大）,C 较大,过补偿,欠补偿,87,3.8 电路的谐振,一 串联电路的谐振,谐振的定义 含有 R、L、C 的一端口电路，外施正弦激励，在特定条件下出现端口电压、电流同相位的现象
23、时，称电路发生了谐振。因此谐振电路的端口电压、电流满足：,1 .串联谐振的条件,图所示的 R、L、C 串联电路发生谐振时称串联谐振。,电路的输入阻抗为：,88,根据谐振定义，当 时电路发生谐振，由此得 R、L、C 串联电路的谐振条件是,谐振角频率为： ， 谐振频率为： 上式说明R、L、C串联电路的谐振频率仅由电路的参数决 定，因此谐振频率又称固有频率。 由谐振条件得串联电路实现谐振或避免谐振的方式为： （1） L、C 不变，改变 达到谐振。 （2） 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变 C ) 达到谐振。,2. R、L、C 串联电路谐振时的特点,89,二 并联电路的谐振,1. G、C、L 并联电路,当图所示的 G、C、L 并联电路发生谐振时称并联谐振 ，并联电路的入端导纳为：,谐振时应满足 谐振角频率,采取与串联谐振电路同样的分析方法得并联谐振电路的特点为： （1）谐振时电路端口电压 和端口电流 同相位； （2）谐振时入端导纳 Y = G 为纯电导，导纳 |Y | 最小，因此电路中的电压达到最大。,90,
