1、复习课: 数列求和教学目标重点：探索并掌握一些基本的数列求前 n 项和的方法.难点：掌握特殊数列求和的常用方法（错位相减、分组求和、裂项相消）.能力点：由特殊到一般及由一般到特殊的思想是解决数列问题的重要思想.教育点：培养学生观察、分析、归纳能力.自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻.易错点：在具体的求和问题中，学生容易忽略对字母的讨论.学法与教具1.学法：讲授法、讨论法. 2.教具：多媒体、投影仪.一、 【知识结构】 数列求和分组求和拆项相消错位相减倒序相加二、 【知识梳理】1.等差数列前 n 项和 Sn_，推导方法：_；等比数列前 n 项和 SnError!推导方法：乘公比，错位相减法.
2、2.常见数列的前 n 项和(1)123n_；(2)2462n_；(3)135(2n1)_；(4)122 23 2n 2_；(5)132 33 3n 3_.3.数列求和的常用方法(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. (3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(4)倒序相加：例如，等差数列前 n 项和公式的推导.4.常见的拆项公式(1) ；1nn 1 1n 1n 1(2) ；12n 12n 1 12( 12n 1 12n 1)(3) .1n n 1 n
3、1 n【范例导航】例 1 求和：(1)S n ；32 94 258 6516 n2n 12n(2)Sn 2 2 2.(x 1x) (x2 1x2) (xn 1xn)【分析】将数列分解转化为若干个等差或等比数列，从而求得原数列的和.【解答】(1)由于 an n ，n2n 12n 12nS n (1 121) (2 122) (3 123) (n 12n)(123n) (12 122 123 12n) nn 1212(1 12n)1 12 1.nn 12 12n(2)当 x1 时，S n4n.当 x 1 时，Sn 2 2 2 (x 1x) (x2 1x2) (xn 1xn) (x2 2 1x2)
4、(x4 2 1x4) (x2n 2 1x2n)(x 2 x4x 2n)2n (1x2 1x4 1x2n) 2nx2x2n 1x2 1 x 21 x 2n1 x 2 2n.x2n 1x2n 2 1x2nx2 1S nError!【点评】某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化.特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论.变式训练:求和 Sn1 .(1 12) (1 12 14) (1 12 14 12n 1)解析 和式中第 k 项为ak1 2 .12 14 12k 11 (12)k1 12 (
5、1 12k)S n2 (1 12) (1 122) (1 12n)2(111 ( )n个 12 122 12n2 2n2.(n12(1 12n)1 12 ) 12n 1例 2 设数列a n满足 a13a 23 2a33 n1 an ，n N*.n3(1)求数列a n的通项；(2)设 bn ，求数列 bn的前 n 项和 Sn.nan【分析】解答本题的突破口在于将所给条件式视为数列3 n1 an的前 n 项和，从而利用 an 与 Sn 的关系求出通项 3n1 an，进而求得 an.【解答】(1)a 13a 23 2a33 n1 an ， n3当 n2 时，a13a 23 2a33 n2 an1 ，
6、 n 13得 3n1 an ，a n .13 13n在中，令 n1，得 a1 ，适合 an ，13 13na n .13n(2)b n ，b nn3 n.nanS n323 233 3n3 n， 3S n3 223 333 4n3 n1 . 得 2Snn3 n1 (33 23 33 n)，即 2Snn3 n1 ，31 3n1 3S n .2n 13n 14 34【点评】乘公比错位相减是数列求和的一种重要方法，但值得注意的是，这种方法运算过程复杂，运算量大，应加强对解题过程的训练，重视运算能力的培养.变式训练:已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 Snn2a n (nN *).(1)证明
7、：数列a n1为等比数列，并求数列 an的通项公式；(2)若 bn(2 n 1)an2n1，数列b n的前 n 项和为 Tn.求满足不等式 2 013 的 n 的最小值.Tn 22n 1答案：(1)证明 因为 Snn2a n，即 Sn2a nn，所以 Sn1 2a n1 (n1) ( n2，nN *).两式相减化简，得 an2a n1 1.所以 an12(a n1 1) ( n2，nN *)，所以数列a n1为等比数列.因为 Snn2a n，令 n1，得 a11.a112，所以 an12 n，所以 an2 n1.(2)解 因为 bn(2n1)a n2n1，所以 bn(2n1)2 n.所以 Tn
8、3252 272 3(2 n1)2 n1 (2n1)2 n， 2Tn32 252 3(2n1)2 n(2n1)2 n1 ， ，得T n322(2 22 32 n)(2n1)2 n1 62 (2n1)2 n1 2 2n2 (2 n1)2 n122 2n 11 22(2n1)2 n1 .所以 Tn2(2n1)2 n1 .若 2 013，则 2 013，即 2n1 2 013.Tn 22n 1 2 2n 12n 1 22n 1由于 2101 024,2 112 048，所以 n111，即 n10.所以满足不等式 2 013 的 n 的最小值是 10.Tn 22n 1例 3 已知数列a n中，a 11
9、，当 n2 时，其前 n 项和 Sn 满足 S a n .2n (Sn 12)(1)求 Sn 的表达式；(2)设 bn ，求b n的前 n 项和 Tn.Sn2n 1【分析】裂项相消求和法，基本方法是把数列各项拆成两项的差，使求和时中间各项相互抵消.【解答】(1)S a n ，a nS nS n1 (n2) ，S (S nS n1 ) ，2n (Sn 12) 2n (Sn 12)即 2Sn1 SnS n1 S n， 由题意 Sn1 Sn0，式两边同除以 Sn1 Sn，得 2，1Sn 1Sn 1数列 是首项为 1，公差为 2 的等差数列.1Sn 1S1 1a1 12(n1)2n1，S n .1Sn
10、 12n 1(2)又 bn Sn2n 1 12n 12n 1 ，12( 12n 1 12n 1)T nb 1b 2b n .12(1 13) (13 15) ( 12n 1 12n 1) 12(1 12n 1) n2n 1【点评】使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的.变式训练:已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 a11，a n1 Sn(n1,2,3，).12(1)求数列a n的通项公式；(2)当 bnlog (3an1 )时，求证：数列 的前 n 项和 Tn .32 1b
11、nbn 1 n1 n答案 (1)解 由已知得Error! (n2) ，得到 an1 an (n2).32数列a n是以 a2为首项，以 为公比的等比数列.又 a2 S1 a1 ，32 12 12 12a na 2 n2 n2 (n2).(32) 12(32)a nError!(2)证明 b nlog (3an1 )32log n.3232(32)n 1 .1bnbn 1 1n1 n 1n 11 nT n 1b1b2 1b2b3 1b3b4 1bnbn 1 1 .(11 12) (12 13) (13 14) (1n 11 n) 11 n n1 n四、 【解法小结】1.数列求和的方法(1)一般的
12、数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和.(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相减来完成.不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和.2.数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和.(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和.(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.3.失误与防范1.直接用公式求和时
13、，注意公式的应用范围和公式的推导过程.2.重点通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，或拆为基本数列求和，或转化为基本数列求和.求和过程中同时要对项数作出准确判断.4.含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论. 等价转换思想是解决数列问题的基本思想方法，它可将复杂的数列转化为等差、等比数列问题来解决.五、 【布置作业】必做题：1. 秋末冬初，流感盛行，特别是甲型 H1N1 流感某医院近 30 天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列a n，已知 a11，a 22，且 an2 a n1(1) n(n N )，则该医院 30 天入院治疗甲流的人数共有_解析
14、： 由于 an2 a n1(1) n，所以 a1a 3a 291，a 2，a 4，a 30构成公差为 2 的等差数列，所以 a1a 2a 29a 3015152 2255.15142答案： 2552. 已知a n是首项为 1 的等比数列，S n 是a n的前 n 项和，且 9S3S 6，则数列 的前 5 项和为1an( )A. 或 5 B. 或 5158 3116C. D.3116 158解析：本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质，属于中等题。显然 q1，所以3639(q)1-=2q，所以 1na是首项为 1，公比为 2的等比数列， 前5 项和5()261T.答案：C3. 【
15、2010河北隆尧一中五月模拟】等差数列 中， 是其前 项和， ，则 = nanS1081,2Sa1S（ ）A11 B11 C.10 D10【答案】A【解析】 ，得 ，由 ，得1()2nSad 1()2nSad1082S， ， ， ，10821()52Sad1选 A4. (2011北京崇文一模) 已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且 Sn n2 n.数列 bn满足12 112bn2 2b n1 b n0(nN )，且 b311，b 1b 2b 9153.(1)求数列a n，b n的通项公式；(2)设 cn ，数列c n的前 n 项和为 Tn，求使不等式 Tn 对一切 nN 都成立的32an
16、112bn 1 k57最大正整数 k 的值解析： (1)当 n1 时，a 1S 16；当 n2 时，a nS nS n1 n5.(12n2 112n) 12n 12 112n 1而当 n1 时，n56，ann5.又 bn2 2b n1 b n0，即 bn2 b n1 b n1 b n，bn是等差数列，又 b311，b 1b 2b 9153，解得 b15，d3.bn3n2.(2)cn32an 112bn 112n 12n 112( 12n 1 12n 1)Tnc 1c 2 c n12(1 13) (13 15) ( 12n 1 12n 1) .n2n 1Tn1 Tn n 12n 3 n2n 1
17、0，12n 32n 1Tn单调递增，故(T n)minT 1 .13令 ，得 k19，所以 kmax18.13 k57选做题：1. (2012潍坊调研) “嫦娥奔月，举国欢庆” ，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为 2 km，以后每秒钟通过的路程都增加 2 km，在达到离地面 240 km 的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的时间大约是( )A10 秒种 B13 秒种C15 秒种 D20 秒种解析： 设每一秒钟通过的路程依次为 a1，a 2，a 3，a n，则数列a n是首项为 a12，公差为 d2 的等差数列，由求和公式得 na1 240，nn
18、1d2即 2nn(n1)240，解得 n15.故选 C.答案： C2. (2011天津)已知a n为等差数列，其公差为2，且 a7 是 a3 与 a9 的等比中项，S n 为 an的前 n 项和，nN *，则 S10 的值为 ( )A.110 B.90 C.90 D.110答案：D3. 已知数列 2 008,2 009,1， 2 008，2 009，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前 2 009 项之和 S2 009 等于_解析： 由题意 an1 a n1 a n，a na n2 a n1 ，两式相加得 an2 a n1 ，an5 a n1 ，即a n是以
19、 6 为周期的数列2 00933465.a1a 2a 2 009a 1a 2a 3a 4a 52 0082 00912 0082 0091，即 S2 0091.答案： 1.六、 【教后反思】1. 数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目.本教案把握了数列求和复习的要点，相关知识以表格的形式呈现；例题选择典型，涵盖了数列求和问题的长考题型，突出了重点方法，并且通过同类型的练习进行巩固；课后通过基本题、模拟题和高考题对学生的知识掌握进行考查，使本节内容充分落实.2. 数列的前 n 项和公式都可以看作项数 n 的函数，是函数思想在数列中的应用.对于学生容易忽略数列求和的有关参数讨论，需要在练习中加强.
